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対称式・交代式と群
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この記事では、対称式や交代式と対称群の関係を勉強します。...
対称式と置換
--------------------------------------
多項式のうち、文字を入れ替えても式が変わらないものを *対...
<tex>
x^{3}+3x^{2} y + 3xy^{2} + y^{3}
</tex>
この $x,y$ に互換 $(xy)$ を作用させて、 $x,y$ を入れ替え...
<tex>
y^{3}+3y^{2} x + 3yx^{2} + x^{3}
</tex>
もちろん式は変わりません。次の式も対称式の例です。
<tex>
a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \tag{1}
</tex>
これに三次の置換を作用させると、次のような式を得るでしょ...
<tex>
b^{3} +a^{3} +c^{3} -3bac \tag{2}
</tex>
<tex>
c^{3} +b^{3} +a^{3} -3cba \tag{3}
</tex>
<tex>
a^{3} +c^{3} +b^{3} -3acb \tag{4}
</tex>
<tex>
b^{3} +c^{3} +a^{3} -3bca \tag{5}
</tex>
<tex>
c^{3} +a^{3} +b^{3} -3cab \tag{6}
</tex>
さて、 $n$ 個の文字を含む多項式に対し、その多項式が対称式...
一般に、置換操作は全て互換の積で表わせるということでした...
例えば、上の例で言えば、(1)〜(6)式全てを確認する必要はな...
一般に、 $n$ 個の文字の置換には $n!$ 種類ありますが、 $n$...
.. [*] このような関係を共役と言います。詳しくは 共役類_ ...
交代式と交代群
---------------------------------------------------------
一方、文字を入れ替えると式全体の符号が変わってしまうよう...
<tex>
(a-b)(a-c)(b-c)
</tex>
交代式に互換を一つ施すと符号が変わりますが、続けてもう一...
交代群
-----------------------------------------------------
交代群 $A_{n}$ が群になることを確かめてみましょう。
1. 二つの偶置換 $p,q$ がそれぞれ単独に作用して交代式 $F$ ...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元が存在します。(何も順番を変えない置換です。)
4. 逆元が存在することは次の証明のようにして示せます。
.. admonition:: proof
ある互換 $(a \ b)$ の逆元が $(b \ a)$ と示せることを使...
.. [*] 単位元は偶置換に含まれます。ある互換 $p$ を二乗す...
.. important::
n次の対称群のうち、偶置換だけから作った部分群を交代群と...
.. [*] 奇置換だけを集めても群にはなりません。単位元が無い...
交代群の位数
----------------------------------------------------
ある偶置換を $\sigma$ と置きます。 $\sigma$ に、例えば互...
一方、任意の奇置換 $\tau$ に対して、同じ論法で一つだけ偶...
よって『偶置換の個数 $=$ 奇置換の個数』が導かれます。 *偶...
一般に $n$ 次の対称群について $|S_{n}|=n!$ が言えましたの...
<tex>
|A_{n}| = \frac{n!}{2}
</tex>
補足:基本対称式
----------------------------------------------------------
対称式には色々なものがありますが、特にその基本となるのが...
実際に例を見れば、すぐに意味が分かると思います。例えば $n...
<tex>
P_1=x_{1}+x_{2}+x_{3}
</tex>
<tex>
P_2=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}
</tex>
<tex>
P_3=x_{1}x_{2}x_{3}
</tex>
一方、 $n$ 個の文字 $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ から選びう...
例えば $n=3$ の場合は次のものです。
<tex>
S_{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})
</tex>
基本対称式や最簡交代式は、これ以降の群の理論には直接必要...
.. _半群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SemiGroup
.. _共役類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Conjugat...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymExpression@@
終了行:
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対称式・交代式と群
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この記事では、対称式や交代式と対称群の関係を勉強します。...
対称式と置換
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多項式のうち、文字を入れ替えても式が変わらないものを *対...
<tex>
x^{3}+3x^{2} y + 3xy^{2} + y^{3}
</tex>
この $x,y$ に互換 $(xy)$ を作用させて、 $x,y$ を入れ替え...
<tex>
y^{3}+3y^{2} x + 3yx^{2} + x^{3}
</tex>
もちろん式は変わりません。次の式も対称式の例です。
<tex>
a^{3} +b^{3} +c^{3} -3abc \tag{1}
</tex>
これに三次の置換を作用させると、次のような式を得るでしょ...
<tex>
b^{3} +a^{3} +c^{3} -3bac \tag{2}
</tex>
<tex>
c^{3} +b^{3} +a^{3} -3cba \tag{3}
</tex>
<tex>
a^{3} +c^{3} +b^{3} -3acb \tag{4}
</tex>
<tex>
b^{3} +c^{3} +a^{3} -3bca \tag{5}
</tex>
<tex>
c^{3} +a^{3} +b^{3} -3cab \tag{6}
</tex>
さて、 $n$ 個の文字を含む多項式に対し、その多項式が対称式...
一般に、置換操作は全て互換の積で表わせるということでした...
例えば、上の例で言えば、(1)〜(6)式全てを確認する必要はな...
一般に、 $n$ 個の文字の置換には $n!$ 種類ありますが、 $n$...
.. [*] このような関係を共役と言います。詳しくは 共役類_ ...
交代式と交代群
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一方、文字を入れ替えると式全体の符号が変わってしまうよう...
<tex>
(a-b)(a-c)(b-c)
</tex>
交代式に互換を一つ施すと符号が変わりますが、続けてもう一...
交代群
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交代群 $A_{n}$ が群になることを確かめてみましょう。
1. 二つの偶置換 $p,q$ がそれぞれ単独に作用して交代式 $F$ ...
2. 結合則がなりたちます。
3. 単位元が存在します。(何も順番を変えない置換です。)
4. 逆元が存在することは次の証明のようにして示せます。
.. admonition:: proof
ある互換 $(a \ b)$ の逆元が $(b \ a)$ と示せることを使...
.. [*] 単位元は偶置換に含まれます。ある互換 $p$ を二乗す...
.. important::
n次の対称群のうち、偶置換だけから作った部分群を交代群と...
.. [*] 奇置換だけを集めても群にはなりません。単位元が無い...
交代群の位数
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ある偶置換を $\sigma$ と置きます。 $\sigma$ に、例えば互...
一方、任意の奇置換 $\tau$ に対して、同じ論法で一つだけ偶...
よって『偶置換の個数 $=$ 奇置換の個数』が導かれます。 *偶...
一般に $n$ 次の対称群について $|S_{n}|=n!$ が言えましたの...
<tex>
|A_{n}| = \frac{n!}{2}
</tex>
補足:基本対称式
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対称式には色々なものがありますが、特にその基本となるのが...
実際に例を見れば、すぐに意味が分かると思います。例えば $n...
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P_1=x_{1}+x_{2}+x_{3}
</tex>
<tex>
P_2=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}
</tex>
<tex>
P_3=x_{1}x_{2}x_{3}
</tex>
一方、 $n$ 個の文字 $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ から選びう...
例えば $n=3$ の場合は次のものです。
<tex>
S_{3}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})
</tex>
基本対称式や最簡交代式は、これ以降の群の理論には直接必要...
.. _半群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SemiGroup
.. _共役類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Conjugat...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymExpression@@
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