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#rst2hooktail_source
=============================================
対称群
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いくつかの記号の列を並べ替えるとき、並べ替える方法には何...
例えば、3つの記号 $(abc)$ を並べ替えると、 $(acb),(bac),...
このような、『並べ替えという演算操作そのもの』を元として...
.. [*] 京都に大将軍(たいしょうぐん)という地名があります。...
.. [*] 対称群のことを置換群とも呼ぶこともあります。全く同...
対称群
--------------------------------------------------------
まずは、全ての並べ替えの操作を元とする集合が、群になるこ...
1. 並び替えの方法について、この集合には全ての方法が含まれ...
2. 結合則がなりたちます。(いくつか試して、確認してみてく...
3. 単位元が存在します。(単位元は『順番を何にも変えない』...
4. 逆元が存在します。(元に戻すための逆の並べ替えもあるは...
.. [*] 一般に、並べ替え操作は非可換であることも確認してみ...
記号や関係する概念
-----------------------------------------------------------
簡単のため、 $(abc)$ を $(bca)$ に並べ変える操作を、次の...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & c & a \\
\end{array}
\Big)
</tex>
3つの文字列の並べ替え操作からなる対称群には、6個の元(群...
例えば、3次対称群は具体的に次のように書けます。
<tex>
S_{3}=\Big\{ \Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & b & c \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & c & b \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & a & c \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & c & a \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
c & a & b \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
c & b & a \\
\end{array}
\Big) \Big\}
</tex>
.. [*] 対称群は、高次代数方程式の解の公式を探求する過程で...
また、文字列を表わすのにアルファベットではなく、数字を使...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 2 & 1 & 5 & 4\\
\end{array}
\Big)
</tex>
互換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
とくに、文字列の中の二つだけを入れ替えて、他の順番は変え...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & c & b \\
\end{array}
\Big)
</tex>
簡単のため、このような互換を $(bc)$ のように略記してしま...
巡回置換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全部の並びを、一つずつずらすような置換を、 *巡回置換* と...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
b & c & d & a\\
\end{array}
\Big)
</tex>
全ての巡回置換だけを集めると群になりますが、これを *巡回...
巡回置換も、簡単のために $(a \ b \ c \ d)$ のように略記し...
一般に巡回置換は互換の積として表わすことが可能で、 $n$ 項...
.. admonition:: theorem
n次の巡回置換は、高々n-1個の互換の積に分解できます。
.. admonition:: proof
証明は帰納法によります。 $n=2$ の場合は、明らかに $1$ 個...
系として、この定理は次のように書かれることもあります。
.. admonition:: theorem
任意の置換は、巡回置換の積として表わせます。
互換は巡回置換の一種なのですから、この定理は明らかです。
練習問題1:次の関係を確認してみましょう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 1 & 2 & 3\\
\end{array}
\Big) = (1 \ 5 \ 3)(2 \ 4)=(2 \ 4)(1 \ 5 \ 3)
</tex>
練習問題2:次の関係を確認してみましょう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
<tex>
(1 \ 2 \ 3)(2 \ 4) \ne (2 \ 4)(1 \ 2 \ 3)
</tex>
偶置換と奇置換
----------------------------------------------------------
対称群に関する概念で大事なものに、偶置換と奇置換というも...
.. admonition:: theorem
対称群に含まれる任意の元は、全て互換の積として表わせま...
さて、では対称群の元を互換の積として表わす表わし方ですが...
ところが、偶数個の互換の積として表わせるか、奇数個の互換...
.. admonition:: theorem
ある置換が偶置換か奇置換かは、生来的に決まっています。
.. admonition:: proof
任意の互換を二乗すると、元の状態に戻ります。つまり、単位...
対称群の元 $\sigma$ が偶数個の互換の積として表わせる場合...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymmetricGroup@@
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#rst2hooktail_source
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対称群
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いくつかの記号の列を並べ替えるとき、並べ替える方法には何...
例えば、3つの記号 $(abc)$ を並べ替えると、 $(acb),(bac),...
このような、『並べ替えという演算操作そのもの』を元として...
.. [*] 京都に大将軍(たいしょうぐん)という地名があります。...
.. [*] 対称群のことを置換群とも呼ぶこともあります。全く同...
対称群
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まずは、全ての並べ替えの操作を元とする集合が、群になるこ...
1. 並び替えの方法について、この集合には全ての方法が含まれ...
2. 結合則がなりたちます。(いくつか試して、確認してみてく...
3. 単位元が存在します。(単位元は『順番を何にも変えない』...
4. 逆元が存在します。(元に戻すための逆の並べ替えもあるは...
.. [*] 一般に、並べ替え操作は非可換であることも確認してみ...
記号や関係する概念
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簡単のため、 $(abc)$ を $(bca)$ に並べ変える操作を、次の...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & c & a \\
\end{array}
\Big)
</tex>
3つの文字列の並べ替え操作からなる対称群には、6個の元(群...
例えば、3次対称群は具体的に次のように書けます。
<tex>
S_{3}=\Big\{ \Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & b & c \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & c & b \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & a & c \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
b & c & a \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
c & a & b \\
\end{array}
\Big) ,
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
c & b & a \\
\end{array}
\Big) \Big\}
</tex>
.. [*] 対称群は、高次代数方程式の解の公式を探求する過程で...
また、文字列を表わすのにアルファベットではなく、数字を使...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
3 & 2 & 1 & 5 & 4\\
\end{array}
\Big)
</tex>
互換
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とくに、文字列の中の二つだけを入れ替えて、他の順番は変え...
<tex>
\Big( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
a & c & b \\
\end{array}
\Big)
</tex>
簡単のため、このような互換を $(bc)$ のように略記してしま...
巡回置換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全部の並びを、一つずつずらすような置換を、 *巡回置換* と...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
b & c & d & a\\
\end{array}
\Big)
</tex>
全ての巡回置換だけを集めると群になりますが、これを *巡回...
巡回置換も、簡単のために $(a \ b \ c \ d)$ のように略記し...
一般に巡回置換は互換の積として表わすことが可能で、 $n$ 項...
.. admonition:: theorem
n次の巡回置換は、高々n-1個の互換の積に分解できます。
.. admonition:: proof
証明は帰納法によります。 $n=2$ の場合は、明らかに $1$ 個...
系として、この定理は次のように書かれることもあります。
.. admonition:: theorem
任意の置換は、巡回置換の積として表わせます。
互換は巡回置換の一種なのですから、この定理は明らかです。
練習問題1:次の関係を確認してみましょう
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<tex>
\Big( \begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
5 & 4 & 1 & 2 & 3\\
\end{array}
\Big) = (1 \ 5 \ 3)(2 \ 4)=(2 \ 4)(1 \ 5 \ 3)
</tex>
練習問題2:次の関係を確認してみましょう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
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(1 \ 2 \ 3)(2 \ 4) \ne (2 \ 4)(1 \ 2 \ 3)
</tex>
偶置換と奇置換
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対称群に関する概念で大事なものに、偶置換と奇置換というも...
.. admonition:: theorem
対称群に含まれる任意の元は、全て互換の積として表わせま...
さて、では対称群の元を互換の積として表わす表わし方ですが...
ところが、偶数個の互換の積として表わせるか、奇数個の互換...
.. admonition:: theorem
ある置換が偶置換か奇置換かは、生来的に決まっています。
.. admonition:: proof
任意の互換を二乗すると、元の状態に戻ります。つまり、単位...
対称群の元 $\sigma$ が偶数個の互換の積として表わせる場合...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: SymmetricGroup@@
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