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体に関する基本的なこと
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体に関して、重要な概念をいくつか紹介します。群論ですでに...
またこの後、体に関する基本的事柄を順番に漏れなく取り上げ...
環やイデアルを体と同時並行的に取り上げる教科書も多くあり...
重要な体
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
幾つかの集合は非常に頻繁に使われるため、記号が慣用的に決...
1. 有理数体 $Q$
2. 実数体 $R$
3. 複素数体 $C$
4. 体 $F$ に何か元 $a \notin F$ を付け加えるとき、 $a$ を...
5. 剰余体 $Z/p,Z_{p},F_{p}$ (次節で説明します。)
整数の剰余体
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数全体 $Z$ の素数 $p$ による剰余類 $Z/p$ は体になります...
<tex>
[a]([b]+[c])=[a][b+c]=[a(b+c)]=[ab+ac]=[ab]+[ac]=[a][b]+[...
</tex>
記号は、 $Z/p$ の他に $Z_{p}, F_{p}$ などと書くこともあり...
.. [*] ちなみに $p$ が素数のとき、 $Z/p$ から $0$ を抜い...
体と方程式
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
多項式 $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$ ...
特に抽象的な方程式論の立場からは、これらの *係数がどの体...
また、方程式の *解がどの体に含まれるか* も非常に重要です...
先ほどの $x^{2}+x+1=0$ の例に見たように、体 $F$ 上の方程...
極論すれば、抽象的な立場からの方程式論は体論であると言い...
位数
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
体の元の数を *位数* と呼びます。位数が有限か無限かによっ...
部分体・拡大体・中間体
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
体 $F$ に対し、体 $G$ が次の包含関係にあるとき、 $G$ を $...
<tex>
G \subset F
</tex>
逆に、 $F$ に対し体 $E$ が次の包含関係にあるとき、 $E$ を...
<tex>
F \subset E
</tex>
体 $F$ が、 $G$ の拡大体であって同時に $E$ の部分体である...
<tex>
G \subset F \subset E
</tex>
準同型写像・同型写像
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
準同型写像はすでに群論で勉強したと思います。体は加法と乗...
<tex>
\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)
</tex>
<tex>
\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)
</tex>
特に、写像が全単射の場合を同型写像と呼ぶことも群論と同じ...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
.. _拡大体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Extension/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: FieldBasic@@
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体に関する基本的なこと
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体に関して、重要な概念をいくつか紹介します。群論ですでに...
またこの後、体に関する基本的事柄を順番に漏れなく取り上げ...
環やイデアルを体と同時並行的に取り上げる教科書も多くあり...
重要な体
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幾つかの集合は非常に頻繁に使われるため、記号が慣用的に決...
1. 有理数体 $Q$
2. 実数体 $R$
3. 複素数体 $C$
4. 体 $F$ に何か元 $a \notin F$ を付け加えるとき、 $a$ を...
5. 剰余体 $Z/p,Z_{p},F_{p}$ (次節で説明します。)
整数の剰余体
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整数全体 $Z$ の素数 $p$ による剰余類 $Z/p$ は体になります...
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[a]([b]+[c])=[a][b+c]=[a(b+c)]=[ab+ac]=[ab]+[ac]=[a][b]+[...
</tex>
記号は、 $Z/p$ の他に $Z_{p}, F_{p}$ などと書くこともあり...
.. [*] ちなみに $p$ が素数のとき、 $Z/p$ から $0$ を抜い...
体と方程式
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多項式 $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$ ...
特に抽象的な方程式論の立場からは、これらの *係数がどの体...
また、方程式の *解がどの体に含まれるか* も非常に重要です...
先ほどの $x^{2}+x+1=0$ の例に見たように、体 $F$ 上の方程...
極論すれば、抽象的な立場からの方程式論は体論であると言い...
位数
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体の元の数を *位数* と呼びます。位数が有限か無限かによっ...
部分体・拡大体・中間体
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体 $F$ に対し、体 $G$ が次の包含関係にあるとき、 $G$ を $...
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G \subset F
</tex>
逆に、 $F$ に対し体 $E$ が次の包含関係にあるとき、 $E$ を...
<tex>
F \subset E
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体 $F$ が、 $G$ の拡大体であって同時に $E$ の部分体である...
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G \subset F \subset E
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準同型写像・同型写像
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準同型写像はすでに群論で勉強したと思います。体は加法と乗...
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\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)
</tex>
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\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)
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特に、写像が全単射の場合を同型写像と呼ぶことも群論と同じ...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
.. _拡大体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Extension/
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: FieldBasic@@
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