記事ソース/多変数の変数系の微分の逆変換
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#rst2hooktail_source
=========================================================...
多変数の変数系の微分の逆変換
=========================================================...
皆さんは、極座標つまり $(x,y)$ と $(r , \theta)$ の変換行...
.. [*] $r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x)$ です...
<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} \neq (\dfrac{\partial x}{\...
</tex>
であることに戸惑った経験はありませんか?
そういうことができるのは、どんな時なのかということについ...
具体例(2次元極座標)
=========================
<tex>
x = r \cos \theta, y = \sin \theta \tag{##}
</tex>
<tex>
r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) \tag{##}
</tex>
の微分形式を考えてみます。
<tex>
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\part...
\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \th...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta /r & \cos \theta /r
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
そして逆変換は、
<tex>
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ですね。確かに、
<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} = \cos \theta \neq (\cos \...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} = \cos \theta/r \neq ...
</tex>
と逆関数の微分法は成り立っていないようです。
一般論
==========================
ここで、一般的な場合に拡張して関係を調べてみましょう。変...
二対二組 $(a,b),(x,y)$ の変数間の変換を考えます。
<tex>
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial a}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\part...
\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial b}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立していたとすると、仮定より、
上式の行列は逆を持ちます。すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{1}{\dfrac{\partial a}{\partial x}\dfrac{\partial b...
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \\
&\equiv J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。ここで記号 $\equiv$ はこれでヤコビアン $J$ を...
これと、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と比較します。すると、
<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立します。
再び極座標
================================
さて、得られた結果の検証をしてみましょう。 $(a,b,x,y) \to...
まず、式 $(4)$ より、
<tex>
J = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)/r = 1/r \tag{##}
</tex>
となります。はたして、等式は成り立つのでしょうか?式 $(11...
<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} & -\dfrac{\partial r...
-\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial r...
\end{pmatrix}
&=
r \begin{pmatrix}
\cos \theta/r & - \sin \theta \\
\sin \theta/r & \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
見事、成り立ちましたね。変数の数を増やし一般化してまとめ...
.. important::
N変数 $(x_i)$ からN変数 $(y_i)$ への変換はランク落ちしな...
逆変換が得られる。なお、この時には一般に $\dfrac{dy_i}{d...
では、熱力学でよく使われる変数の微分形はどうなのでしょう?
いよいよ熱力学の話
================================
なじみがあると思われる式から始めましょう。
<tex>
dU = TdS -pdV \tag{##}
</tex>
この式は、一変数 $ U $ に対し、二変数 $S,V$ の関数となっ...
熱力学では、等温過程、等圧過程、定積過程、断熱過程など様...
その種々の量を計算するのでした。つまり、それは二変数の自...
例えば、エントロピー $S$ の任意の関数 $g(S)$ を用いて、
<tex>
dV = g(S)dS \tag{##}
</tex>
などの変化方向に制限をつけることになります。すると、なん...
<tex>
dU &= \left( \dfrac{\partial U}{\partial S} \right)_V dS ...
&= TdS -pdV \\
&= TdS -pg(S)dS \\
&= (T-pg(S))dS \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\dfrac{dU}{dS} &= (T-pg(S)) \\
&= (\dfrac{dS}{dU})^{-1}
\tag{##}
</tex>
となり、お馴染みのインバース(逆数)の関係が出てきました。
もう一言付け足すとすれば、等積過程 $dV=0$ の場合、 $g(S)=...
<tex>
(\dfrac{dU}{dS})_V = (\dfrac{\partial U}{\partial S})_V =...
</tex>
となります。これはお馴染みの関係ではないでしょうか?
これもまたまとめておきます。
.. important::
熱力学的関係式に於いて、ピストンの変化軌道を決定したら、...
ランク落ちしない限り、変換の同じ過程(制限)の逆を考える...
この時には $\dfrac{dy}{dx}= (\dfrac{dx}{dy})^{-1} $ は成...
つまり
========================
今考えている変換が、一変数対一変数の時のみ逆数の関係が成...
多変数同士の変換では、変換行列の逆行列が正しい逆を与える...
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-05-19@@
@@category:熱力学@@
@@id:invOfDifOfMPF@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
多変数の変数系の微分の逆変換
=========================================================...
皆さんは、極座標つまり $(x,y)$ と $(r , \theta)$ の変換行...
.. [*] $r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x)$ です...
<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} \neq (\dfrac{\partial x}{\...
</tex>
であることに戸惑った経験はありませんか?
そういうことができるのは、どんな時なのかということについ...
具体例(2次元極座標)
=========================
<tex>
x = r \cos \theta, y = \sin \theta \tag{##}
</tex>
<tex>
r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) \tag{##}
</tex>
の微分形式を考えてみます。
<tex>
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\part...
\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \th...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta /r & \cos \theta /r
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
そして逆変換は、
<tex>
\begin{pmatrix}
d x \\
d y
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
d r \\
d \theta
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ですね。確かに、
<tex>
\dfrac{\partial r}{\partial x} = \cos \theta \neq (\cos \...
</tex>
<tex>
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} = \cos \theta/r \neq ...
</tex>
と逆関数の微分法は成り立っていないようです。
一般論
==========================
ここで、一般的な場合に拡張して関係を調べてみましょう。変...
二対二組 $(a,b),(x,y)$ の変数間の変換を考えます。
<tex>
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial a}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\part...
\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial b}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立していたとすると、仮定より、
上式の行列は逆を持ちます。すると、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
&=
\dfrac{1}{\dfrac{\partial a}{\partial x}\dfrac{\partial b...
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \\
&\equiv J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
となります。ここで記号 $\equiv$ はこれでヤコビアン $J$ を...
これと、
<tex>
\begin{pmatrix}
dx \\
dy
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
da \\
db
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
と比較します。すると、
<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\par...
-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\par...
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
という関係が成立します。
再び極座標
================================
さて、得られた結果の検証をしてみましょう。 $(a,b,x,y) \to...
まず、式 $(4)$ より、
<tex>
J = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)/r = 1/r \tag{##}
</tex>
となります。はたして、等式は成り立つのでしょうか?式 $(11...
<tex>
J^{-1} \begin{pmatrix}
\dfrac{\partial \theta}{\partial y} & -\dfrac{\partial r...
-\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial r...
\end{pmatrix}
&=
r \begin{pmatrix}
\cos \theta/r & - \sin \theta \\
\sin \theta/r & \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\cos \theta & - r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\part...
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\part...
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
見事、成り立ちましたね。変数の数を増やし一般化してまとめ...
.. important::
N変数 $(x_i)$ からN変数 $(y_i)$ への変換はランク落ちしな...
逆変換が得られる。なお、この時には一般に $\dfrac{dy_i}{d...
では、熱力学でよく使われる変数の微分形はどうなのでしょう?
いよいよ熱力学の話
================================
なじみがあると思われる式から始めましょう。
<tex>
dU = TdS -pdV \tag{##}
</tex>
この式は、一変数 $ U $ に対し、二変数 $S,V$ の関数となっ...
熱力学では、等温過程、等圧過程、定積過程、断熱過程など様...
その種々の量を計算するのでした。つまり、それは二変数の自...
例えば、エントロピー $S$ の任意の関数 $g(S)$ を用いて、
<tex>
dV = g(S)dS \tag{##}
</tex>
などの変化方向に制限をつけることになります。すると、なん...
<tex>
dU &= \left( \dfrac{\partial U}{\partial S} \right)_V dS ...
&= TdS -pdV \\
&= TdS -pg(S)dS \\
&= (T-pg(S))dS \tag{##}
</tex>
より、
<tex>
\dfrac{dU}{dS} &= (T-pg(S)) \\
&= (\dfrac{dS}{dU})^{-1}
\tag{##}
</tex>
となり、お馴染みのインバース(逆数)の関係が出てきました。
もう一言付け足すとすれば、等積過程 $dV=0$ の場合、 $g(S)=...
<tex>
(\dfrac{dU}{dS})_V = (\dfrac{\partial U}{\partial S})_V =...
</tex>
となります。これはお馴染みの関係ではないでしょうか?
これもまたまとめておきます。
.. important::
熱力学的関係式に於いて、ピストンの変化軌道を決定したら、...
ランク落ちしない限り、変換の同じ過程(制限)の逆を考える...
この時には $\dfrac{dy}{dx}= (\dfrac{dx}{dy})^{-1} $ は成...
つまり
========================
今考えている変換が、一変数対一変数の時のみ逆数の関係が成...
多変数同士の変換では、変換行列の逆行列が正しい逆を与える...
今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-05-19@@
@@category:熱力学@@
@@id:invOfDifOfMPF@@
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