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多重線形性とテンソル空間
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ここまで勉強したことを少しおさらいしておきましょう。ベク...
同様にして、多変数関数に対して多重線形性という性質を考え...
ここまでのところをよく整理・復習してから先に進んで下さい。
多重線形性
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
多重線形性という性質は、線形性を多変数関数にまで拡張した...
<tex>
f(x_{1},x_{2},..,\alpha x_{i1}+\beta x_{i2},.,x_{n}) = \a...
</tex>
つまり、 $n$ 個の変数に対し、各々個別に線形性が成り立つ関...
テンソル空間の基底は $\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}\otimes...
テンソルの直積
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
このセクションでは、テンソル空間の元同士の積がどうなるか...
私達は、 テンソルとベクトル空間_ の記事で、 $V \otimes V$...
<tex>
x \otimes y(x',y') = x(x')y(y') \tag{1}
</tex>
左辺を $V \otimes V$ 空間のひとつの元と見ても良いですが、...
いま、式 $(1)$ を拡張し、 $\otimes^{m}V$ の元 $\eta$ と $...
<tex>
\eta \otimes \mu (x_{1},x_{2},...,x_{m+n}) = \eta (x_{1},...
</tex>
式 $(1)$ が式 $(2)$ の特別な場合であることが分かると思い...
一般に、積というのは何らかの作用を意味します。( 群の公理...
.. [*] 代数学的な視点では、結合則・交換則・逆演算の可能性...
式 $(2)$ で与えられる積は、次のような性質を満たすことが示...
【結合則】
<tex>
(\eta \otimes \mu) \otimes \xi = \eta \otimes (\mu \otime...
</tex>
【分配則】
<tex>
(\eta + \mu) \otimes \xi = \eta \otimes \xi + \mu \otime...
</tex>
<tex>
\eta \otimes (\mu + \xi ) = \eta \otimes \mu + \eta \oti...
</tex>
しかし、 *一般に交換則はなりたちません* 。テンソルの積は...
<tex>
\eta \otimes \mu \ne \mu \otimes \eta \tag{6}
</tex>
このことは、例えば $\bm{e_{i} \otimes \bm{e_{j}}}(\bm{e^{...
積の成分
---------------------------------------------------------...
ここまでの議論を使って、テンソルの積におけるテンソル成分...
<tex>
\eta = {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}\bm{e_{1}}\otimes \bm...
</tex>
<tex>
\mu = {\beta}^{j_{1}j_{2}...j_{n}}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e...
</tex>
式 $(7)(8)$ の両辺のテンソル積を取ると次式を得ます。
<tex>
\eta \otimes \mu &= {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}{\beta}^...
&= {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}{\beta}^{j_{1}j_{2}...j_{...
</tex>
一方、 $(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}\otimes \cdot \cdot ...
<tex>
{\gamma}^{k_{1}k_{2}...k_{m+n}} = {\alpha}^{i_{1}i_{2}......
</tex>
これは、テンソル成分の *テンソル積* (もしくは *外部積* ...
.. _群の公理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupA...
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _テンソルの加法と乗法: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MultilinearTensor@@
終了行:
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多重線形性とテンソル空間
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ここまで勉強したことを少しおさらいしておきましょう。ベク...
同様にして、多変数関数に対して多重線形性という性質を考え...
ここまでのところをよく整理・復習してから先に進んで下さい。
多重線形性
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多重線形性という性質は、線形性を多変数関数にまで拡張した...
<tex>
f(x_{1},x_{2},..,\alpha x_{i1}+\beta x_{i2},.,x_{n}) = \a...
</tex>
つまり、 $n$ 個の変数に対し、各々個別に線形性が成り立つ関...
テンソル空間の基底は $\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}\otimes...
テンソルの直積
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このセクションでは、テンソル空間の元同士の積がどうなるか...
私達は、 テンソルとベクトル空間_ の記事で、 $V \otimes V$...
<tex>
x \otimes y(x',y') = x(x')y(y') \tag{1}
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左辺を $V \otimes V$ 空間のひとつの元と見ても良いですが、...
いま、式 $(1)$ を拡張し、 $\otimes^{m}V$ の元 $\eta$ と $...
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\eta \otimes \mu (x_{1},x_{2},...,x_{m+n}) = \eta (x_{1},...
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式 $(1)$ が式 $(2)$ の特別な場合であることが分かると思い...
一般に、積というのは何らかの作用を意味します。( 群の公理...
.. [*] 代数学的な視点では、結合則・交換則・逆演算の可能性...
式 $(2)$ で与えられる積は、次のような性質を満たすことが示...
【結合則】
<tex>
(\eta \otimes \mu) \otimes \xi = \eta \otimes (\mu \otime...
</tex>
【分配則】
<tex>
(\eta + \mu) \otimes \xi = \eta \otimes \xi + \mu \otime...
</tex>
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\eta \otimes (\mu + \xi ) = \eta \otimes \mu + \eta \oti...
</tex>
しかし、 *一般に交換則はなりたちません* 。テンソルの積は...
<tex>
\eta \otimes \mu \ne \mu \otimes \eta \tag{6}
</tex>
このことは、例えば $\bm{e_{i} \otimes \bm{e_{j}}}(\bm{e^{...
積の成分
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ここまでの議論を使って、テンソルの積におけるテンソル成分...
<tex>
\eta = {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}\bm{e_{1}}\otimes \bm...
</tex>
<tex>
\mu = {\beta}^{j_{1}j_{2}...j_{n}}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e...
</tex>
式 $(7)(8)$ の両辺のテンソル積を取ると次式を得ます。
<tex>
\eta \otimes \mu &= {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}{\beta}^...
&= {\alpha}^{i_{1}i_{2}...i_{m}}{\beta}^{j_{1}j_{2}...j_{...
</tex>
一方、 $(\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}\otimes \cdot \cdot ...
<tex>
{\gamma}^{k_{1}k_{2}...k_{m+n}} = {\alpha}^{i_{1}i_{2}......
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これは、テンソル成分の *テンソル積* (もしくは *外部積* ...
.. _群の公理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupA...
.. _七次元の外積: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/index.html
.. _双線形関数: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _テンソルの加法と乗法: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: MultilinearTensor@@
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