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多脚場の求め方
=========================================================...
この記事では、正規直交標構を構成する多脚場の計量からの求...
この記事だけでも分かるように書きますが、
参考文献に上げた中原トポロジーがあるとなお良いです。
基本的な設定
=========================
微分幾何では、座標基底において $T_pM$ は $\{e_\mu \} = \{...
で、 $T_p^\ast M$ は $\{e^\mu \} = \{ dx^\mu \}$ で張られ...
ここで、 $m$ 次実正則行列 $e_\alpha^{\ \ \mu} \in GL(m,\m...
<tex>
\hat{e}_\alpha = e_\alpha^{\ \ \mu} \dfrac{\partial}{\par...
</tex>
の様な基底ベクトルの線形結合を考えます。ただし、 $\mathrm...
同様に $\hat{e}_\beta$ を用意し、計量 $g = g_{\mu \nu} dx...
<tex>
g(\hat{e}_\alpha,\hat{e}_\beta) = e_\alpha^{\ \ \mu} e_\b...
</tex>
また、 $e_\alpha^{\ \ \mu} $ の逆行列を $e^\alpha_{\ \ \m...
として、これを $g_{\mu \nu}$ について解くと、
<tex>
g_{\mu \nu} = e^\alpha_{\ \ \mu} e^\beta_{\ \ \nu} \delta...
</tex>
となります。 $\hat{e}_\alpha$ の双対基底 $\hat{\theta}^\a...
<tex>
\langle \hat{\theta}^\alpha, \hat{e}_\beta \rangle = \del...
</tex>
で定義すると、 $\hat{\theta}^\alpha$ は、
<tex>
\hat{\theta}^\alpha = e^\alpha_{\ \ \mu} dx^\mu \tag{##}
</tex>
となります。これを使うと計量は、
<tex>
g = g_{\mu \nu} dx^\mu \otimes dx^\nu = \delta_{\alpha \b...
</tex>
となります。式 $(2)$ を満たす $\hat{e}_\alpha$ 、式 $(6)$...
本題
===================
この記事の関心は、この多脚場 $e_\alpha^{\ \ \mu}$ をどう...
すばり言ってしまうと、対角化をして正規化することで多脚場...
ここで行列の知識を使います。 $g_{\mu \nu}$ は実対称行列 $...
<tex>
R G R^{-1} = R G R^{T} = \Lambda \tag{##}
</tex>
のように対角化できます。( $R^T$ が $G$ の固有ベクトルを列...
<tex>
r_\alpha^{\ \ \mu} g_{\mu \nu} r_\beta^{\ \ \nu} = \lambd...
</tex>
となります。 $\sqrt{\lambda}$ は、 $\lambda$ の平方根です...
<tex>
e_\kappa^{\ \ \mu} &= \sqrt{\lambda}^\alpha_{\ \ \kappa} ...
e_\xi^{\ \ \nu} &= \sqrt{\lambda}^\beta_{\ \ \xi} r_\beta...
\tag{##}
</tex>
と置けば、多脚場が求まります。つまり、式 $(8)$ は、
<tex>
e_\kappa^{\ \ \mu} g_{\mu \nu} e_\xi^{\ \ \nu} = \delta_...
</tex>
と変形できます。今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _参考URL: https://oguemon.com/study/linear-algebra/...
@@reference: 中原幹夫著 佐久間一浩訳,理論物理学のための幾...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-19@@
@@category:微分・位相幾何@@
@@id:vielbein@@
終了行:
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多脚場の求め方
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この記事では、正規直交標構を構成する多脚場の計量からの求...
この記事だけでも分かるように書きますが、
参考文献に上げた中原トポロジーがあるとなお良いです。
基本的な設定
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微分幾何では、座標基底において $T_pM$ は $\{e_\mu \} = \{...
で、 $T_p^\ast M$ は $\{e^\mu \} = \{ dx^\mu \}$ で張られ...
ここで、 $m$ 次実正則行列 $e_\alpha^{\ \ \mu} \in GL(m,\m...
<tex>
\hat{e}_\alpha = e_\alpha^{\ \ \mu} \dfrac{\partial}{\par...
</tex>
の様な基底ベクトルの線形結合を考えます。ただし、 $\mathrm...
同様に $\hat{e}_\beta$ を用意し、計量 $g = g_{\mu \nu} dx...
<tex>
g(\hat{e}_\alpha,\hat{e}_\beta) = e_\alpha^{\ \ \mu} e_\b...
</tex>
また、 $e_\alpha^{\ \ \mu} $ の逆行列を $e^\alpha_{\ \ \m...
として、これを $g_{\mu \nu}$ について解くと、
<tex>
g_{\mu \nu} = e^\alpha_{\ \ \mu} e^\beta_{\ \ \nu} \delta...
</tex>
となります。 $\hat{e}_\alpha$ の双対基底 $\hat{\theta}^\a...
<tex>
\langle \hat{\theta}^\alpha, \hat{e}_\beta \rangle = \del...
</tex>
で定義すると、 $\hat{\theta}^\alpha$ は、
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\hat{\theta}^\alpha = e^\alpha_{\ \ \mu} dx^\mu \tag{##}
</tex>
となります。これを使うと計量は、
<tex>
g = g_{\mu \nu} dx^\mu \otimes dx^\nu = \delta_{\alpha \b...
</tex>
となります。式 $(2)$ を満たす $\hat{e}_\alpha$ 、式 $(6)$...
本題
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この記事の関心は、この多脚場 $e_\alpha^{\ \ \mu}$ をどう...
すばり言ってしまうと、対角化をして正規化することで多脚場...
ここで行列の知識を使います。 $g_{\mu \nu}$ は実対称行列 $...
<tex>
R G R^{-1} = R G R^{T} = \Lambda \tag{##}
</tex>
のように対角化できます。( $R^T$ が $G$ の固有ベクトルを列...
<tex>
r_\alpha^{\ \ \mu} g_{\mu \nu} r_\beta^{\ \ \nu} = \lambd...
</tex>
となります。 $\sqrt{\lambda}$ は、 $\lambda$ の平方根です...
<tex>
e_\kappa^{\ \ \mu} &= \sqrt{\lambda}^\alpha_{\ \ \kappa} ...
e_\xi^{\ \ \nu} &= \sqrt{\lambda}^\beta_{\ \ \xi} r_\beta...
\tag{##}
</tex>
と置けば、多脚場が求まります。つまり、式 $(8)$ は、
<tex>
e_\kappa^{\ \ \mu} g_{\mu \nu} e_\xi^{\ \ \nu} = \delta_...
</tex>
と変形できます。今日はここまで、お疲れさまでした!
.. _参考URL: https://oguemon.com/study/linear-algebra/...
@@reference: 中原幹夫著 佐久間一浩訳,理論物理学のための幾...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-19@@
@@category:微分・位相幾何@@
@@id:vielbein@@
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