記事ソース/続々・ベクトルの回転
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
続々・ベクトルの回転
=========================================================...
自分でもこの記事の結果が何を意味するのか、よくわかってい...
面白い結果がでたので、ここに記します。
おそらくリー群、リー代数を学んでいる人には、
当然の結果なのだと思います。
前の記事は、 続ベクトルの回転_ です。
次の記事は、 続々々ベクトルの回転_ です。
ベクトルの回転の行列表現
========================
これから、 続ベクトルの回転_ で出た回転の行列を別の方法で...
書いていきます。
大元の式は、 ベクトルの回転_ の式 $(1)$ であり、再び書い...
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
です。 続ベクトルの回転_ で導いたのは、、
<tex>
\bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} ll & ml & nl \\ lm & mm & ...
</tex>
となり、次に、
<tex>
N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0 \...
</tex>
と置くと,
<tex>
N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2 ...
</tex>
となって、
この両者の間には、 $I$ を単位行列として、
<tex>
\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I \tag{##}
</tex>
となることでした。よって,式 $(1)$ は、最終的に次の形にな...
<tex>
\bm{r}^\prime &= [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]...
&= [\bm{n}\bm{n} + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\bm{r} \...
</tex>
行列の指数関数
=================
行列 $A$ の指数関数 $\mathrm{exp}A$ は、次のように定義さ...
(東京大学出版会、ISBN4-13-062001-0)などを読んでいただけ...
<tex>
\mathrm{exp}A = I + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \frac...
</tex>
これを、どう使うかというと、 $A$ に $(3)$ の $N$ に実数パ...
つまり、
<tex>
\mathrm{exp}A &= \mathrm{exp}tN \\
&= I + \frac{t}{1!}N + \frac{t^2}{2!}N^2 + \frac{t^3}{3!}...
</tex>
を計算するのです。
ここで、 $N\ \ (l^2+ m^2+n^2=1)$ に成り立つ次の性質を利用...
<tex>
N = \begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix} \tag{3}
</tex>
<tex>
N^2 = \begin{pmatrix}
-m^2-n^2 & lm & ln \\
ml & -n^2-l^2 & mn \\
nl & nm & -l^2-m^2
\end{pmatrix} \tag{4}
</tex>
<tex>
N^3= -N \tag{##}
</tex>
<tex>
N^4= -N^2 \tag{##}
</tex>
では、さっそく式 $(8)$ の続きを計算してみましょう。
<tex>
\mathrm{exp}tN &= I + \frac{t}{1!}N + \frac{t^2}{2!}N^2 +...
&= (I + \frac{t^2}{2!}N^2 - \frac{t^4}{4!}N^2 + \frac{t^6...
&+ (tN - \frac{t^3}{3!}N + \frac{t^5}{5!}N -\frac{t^7}{7!...
&= (I + N^2) + N^2(-1 + \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} +...
&+ N(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!}...
&= \bm{n}\bm{n} -N^2\cos t + N \sin t \tag{##}
</tex>
となります。上の式では、サインとコサインのテイラー展開を...
用語の整理
======================
今回の話のキーワードは、リー群の中の「回転群」SO(3) です。
リー代数とは、行列 $N$ のことです。
リー群とは、 $g=\mathrm{exp}tN$ の事です。
リー代数 $N$ は、リー群の元 $g=\mathrm{exp}tN$ を生成する...
これからリー群について勉強しようとする人は下に挙げる参考...
@@reference: 吉川圭二, 理工系の基礎数学9 群と表現, 岩波...
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _続々々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoran...
@@author:クロメル@@
@@accept:2009-10-31@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot3@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
続々・ベクトルの回転
=========================================================...
自分でもこの記事の結果が何を意味するのか、よくわかってい...
面白い結果がでたので、ここに記します。
おそらくリー群、リー代数を学んでいる人には、
当然の結果なのだと思います。
前の記事は、 続ベクトルの回転_ です。
次の記事は、 続々々ベクトルの回転_ です。
ベクトルの回転の行列表現
========================
これから、 続ベクトルの回転_ で出た回転の行列を別の方法で...
書いていきます。
大元の式は、 ベクトルの回転_ の式 $(1)$ であり、再び書い...
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r}) \bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
です。 続ベクトルの回転_ で導いたのは、、
<tex>
\bm{n}\bm{n} = \begin{pmatrix} ll & ml & nl \\ lm & mm & ...
</tex>
となり、次に、
<tex>
N= \begin{pmatrix} 0 & -n & m \\n & 0 & -l \\-m & l & 0 \...
</tex>
と置くと,
<tex>
N^2= \begin{pmatrix} -m^2-n^2 & ml & nl \\ lm & -n^2-l^2 ...
</tex>
となって、
この両者の間には、 $I$ を単位行列として、
<tex>
\bm{n}\bm{n}= N^2 + (l^2+m^2+n^2)I = N^2 + I \tag{##}
</tex>
となることでした。よって,式 $(1)$ は、最終的に次の形にな...
<tex>
\bm{r}^\prime &= [I + N^2 + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]...
&= [\bm{n}\bm{n} + (-\cos \phi N^2+\sin \phi N)]\bm{r} \...
</tex>
行列の指数関数
=================
行列 $A$ の指数関数 $\mathrm{exp}A$ は、次のように定義さ...
(東京大学出版会、ISBN4-13-062001-0)などを読んでいただけ...
<tex>
\mathrm{exp}A = I + \frac{A}{1!} + \frac{A^2}{2!} + \frac...
</tex>
これを、どう使うかというと、 $A$ に $(3)$ の $N$ に実数パ...
つまり、
<tex>
\mathrm{exp}A &= \mathrm{exp}tN \\
&= I + \frac{t}{1!}N + \frac{t^2}{2!}N^2 + \frac{t^3}{3!}...
</tex>
を計算するのです。
ここで、 $N\ \ (l^2+ m^2+n^2=1)$ に成り立つ次の性質を利用...
<tex>
N = \begin{pmatrix}
0 & -n & m \\
n & 0 & -l \\
-m & l & 0
\end{pmatrix} \tag{3}
</tex>
<tex>
N^2 = \begin{pmatrix}
-m^2-n^2 & lm & ln \\
ml & -n^2-l^2 & mn \\
nl & nm & -l^2-m^2
\end{pmatrix} \tag{4}
</tex>
<tex>
N^3= -N \tag{##}
</tex>
<tex>
N^4= -N^2 \tag{##}
</tex>
では、さっそく式 $(8)$ の続きを計算してみましょう。
<tex>
\mathrm{exp}tN &= I + \frac{t}{1!}N + \frac{t^2}{2!}N^2 +...
&= (I + \frac{t^2}{2!}N^2 - \frac{t^4}{4!}N^2 + \frac{t^6...
&+ (tN - \frac{t^3}{3!}N + \frac{t^5}{5!}N -\frac{t^7}{7!...
&= (I + N^2) + N^2(-1 + \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} +...
&+ N(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!}...
&= \bm{n}\bm{n} -N^2\cos t + N \sin t \tag{##}
</tex>
となります。上の式では、サインとコサインのテイラー展開を...
用語の整理
======================
今回の話のキーワードは、リー群の中の「回転群」SO(3) です。
リー代数とは、行列 $N$ のことです。
リー群とは、 $g=\mathrm{exp}tN$ の事です。
リー代数 $N$ は、リー群の元 $g=\mathrm{exp}tN$ を生成する...
これからリー群について勉強しようとする人は下に挙げる参考...
@@reference: 吉川圭二, 理工系の基礎数学9 群と表現, 岩波...
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
.. _続ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalys...
.. _続々々ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoran...
@@author:クロメル@@
@@accept:2009-10-31@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRot3@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.