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#rst2hooktail_source
=========================================================...
相互作用表示
=========================================================...
時間順序積(time-ordered product、T-productとも言う。)の計...
どうやってすればいいのという方むけです.逐次近似の三次の...
計算してみることにします。
前の記事は、 シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示_
次の記事は、 時間順序積_
相互作用表示
===================
シュレーディンガー表示では、状態ベクトルが時間発展をし、
ハイゼンベルク表示では、演算子が時間発展をしましたね。
ここで、相互作用表示という、時間発展のある部分を状態ベク...
時間発展のまたある部分は演算子が受け持つ表示について考え...
ハミルトニアン $\hat{H}_0$ が、うまく解けるときを考えます。
ここで $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}$ という形のハミルトニアン
をもつ系を考えます。
シュレーディンガー表示の状態ベクトル $|\psi(t)\rangle $ ...
相互表示作用での状態ベクトル $| \psi_I (t) \rangle$ は次...
<tex>
| \psi_I (t) \rangle &=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}|\ps...
&= e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}e^{-\frac{i}{\hbar}(\hat...
&= e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{V} t}|\psi(0)\rangle \tag{##}
</tex>
これをみると $\hat{V}$ が状態ベクトルの時間発展を表してい...
よって、 $| \psi_I (t) \rangle &=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H...
<tex>
|\psi(t)\rangle &=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| \psi_I...
</tex>
をシュレーディンガー方程式に代入します。
シュレーディンガー方程式は
<tex>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}| \psi (t) \rangle = (\h...
</tex>
でしたので代入すると、
<tex>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{...
= (\hat{H}_0 + \hat{V}) e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| ...
</tex>
変形して、
<tex>
\hat{H}_0 e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} | \psi_I(t) \ra...
= (\hat{H}_0 + \hat{V}) e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| ...
</tex>
両辺から $\hat{H}_0 e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} | \ps...
を掛けてやると、
<tex>
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}| \psi_I (t) \rangle
&= e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-\frac{i}{\h...
&= \hat{V}_I(t) | \psi_I(t) \rangle \tag{##}
</tex>
となります。
ところで、今の話に出てきた $\hat{V}_I(t)=e^{\frac{i}{\hba...
運動方程式
<tex>
\frac{d}{dt}\hat{V}_I(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}_0,\hat{V...
</tex>
に従います。 $\hat{V}$ の時間依存性は、ハミルトニアンの解...
一方で、状態ベクトルの時間発展式は
、式(6)の両辺を積分することにより、逐次的に求められます。
<tex>
|\psi_I(t)\rangle &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\in...
&= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \ha...
+(-\frac{i}{\hbar})^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} ...
&= \sum^\infty_{n=0} (-\frac{i}{\hbar})^n \int_{t_0}^t dt...
\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)|\psi_I...
</tex>
さて、次はいよいよ時間順序積の出番です。続きは こちら_
.. _シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示 : http://h...
.. _時間順序積 : http://hooktail.sub.jp/quantum/t-Product/
.. _こちら : http://hooktail.sub.jp/quantum/t-Product/
@@author:クロメル@@
@@accept:2009-06-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:interRep@@
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#rst2hooktail_source
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相互作用表示
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時間順序積(time-ordered product、T-productとも言う。)の計...
どうやってすればいいのという方むけです.逐次近似の三次の...
計算してみることにします。
前の記事は、 シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示_
次の記事は、 時間順序積_
相互作用表示
===================
シュレーディンガー表示では、状態ベクトルが時間発展をし、
ハイゼンベルク表示では、演算子が時間発展をしましたね。
ここで、相互作用表示という、時間発展のある部分を状態ベク...
時間発展のまたある部分は演算子が受け持つ表示について考え...
ハミルトニアン $\hat{H}_0$ が、うまく解けるときを考えます。
ここで $\hat{H}=\hat{H}_0+\hat{V}$ という形のハミルトニアン
をもつ系を考えます。
シュレーディンガー表示の状態ベクトル $|\psi(t)\rangle $ ...
相互表示作用での状態ベクトル $| \psi_I (t) \rangle$ は次...
<tex>
| \psi_I (t) \rangle &=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}|\ps...
&= e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}e^{-\frac{i}{\hbar}(\hat...
&= e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{V} t}|\psi(0)\rangle \tag{##}
</tex>
これをみると $\hat{V}$ が状態ベクトルの時間発展を表してい...
よって、 $| \psi_I (t) \rangle &=e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H...
<tex>
|\psi(t)\rangle &=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| \psi_I...
</tex>
をシュレーディンガー方程式に代入します。
シュレーディンガー方程式は
<tex>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}| \psi (t) \rangle = (\h...
</tex>
でしたので代入すると、
<tex>
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{...
= (\hat{H}_0 + \hat{V}) e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| ...
</tex>
変形して、
<tex>
\hat{H}_0 e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} | \psi_I(t) \ra...
= (\hat{H}_0 + \hat{V}) e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t}| ...
</tex>
両辺から $\hat{H}_0 e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} | \ps...
を掛けてやると、
<tex>
i\hbar \frac{\partial}{\partial t}| \psi_I (t) \rangle
&= e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0 t} \hat{V} e^{-\frac{i}{\h...
&= \hat{V}_I(t) | \psi_I(t) \rangle \tag{##}
</tex>
となります。
ところで、今の話に出てきた $\hat{V}_I(t)=e^{\frac{i}{\hba...
運動方程式
<tex>
\frac{d}{dt}\hat{V}_I(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}_0,\hat{V...
</tex>
に従います。 $\hat{V}$ の時間依存性は、ハミルトニアンの解...
一方で、状態ベクトルの時間発展式は
、式(6)の両辺を積分することにより、逐次的に求められます。
<tex>
|\psi_I(t)\rangle &= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\in...
&= |\psi_I(0)\rangle-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t dt_1 \ha...
+(-\frac{i}{\hbar})^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} ...
&= \sum^\infty_{n=0} (-\frac{i}{\hbar})^n \int_{t_0}^t dt...
\hat{V}_I(t_1)\hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)|\psi_I...
</tex>
さて、次はいよいよ時間順序積の出番です。続きは こちら_
.. _シュレーディンガー表示とハイゼンベルク表示 : http://h...
.. _時間順序積 : http://hooktail.sub.jp/quantum/t-Product/
.. _こちら : http://hooktail.sub.jp/quantum/t-Product/
@@author:クロメル@@
@@accept:2009-06-05@@
@@category:量子力学@@
@@id:interRep@@
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物理のかぎプロジェクト
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