記事ソース/相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換
=========================================================...
今回は物理とは距離を置いて、物理を勉強する上で僕がつきあ...
数学的問題の一つを、厳密さに欠けますが、書こうと思います。
厳密には、積分の順序を交換する時、それぞれの積分が絶対収...
言わねばなりません。
相関関数
======================
実数の物理量 $\phi_1(t_0)$ と、 $\phi_2(t_0)$ の相互相関...
<tex>
C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \p...
</tex>
と定義されます。注意しておくこととして、相互相関関数は、...
相関関数のフーリエ変換
=========================
これをフーリエ変換するとどうなるか、と言うのが、今回の問...
やってみますと、
<tex>
\mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \...
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}...
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t...
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \ph...
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega)
</tex>
となります。ここで、 $\phi_1$ と $\phi_2$ を入れ替えれば...
余談ですが、もしかすると、ヤコビアンに関する知識が必要か...
つまりは、 $s=t+t_0$ と置くと、 $t_0=t_0$ 、 $t=s-t_0$ よ...
<tex>
dt_0 dt &= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}...
\dfrac{\partial t}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t}{\pa...
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}...
\dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial t_0} & \dfrac{\partial ...
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= dt_0 d(t+t_0)
</tex>
です。
畳み込み積分とフーリエ変換
===============================
畳み込み積分というものを定義します。
<tex>
h(t) \equiv \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t-...
</tex>
これもフーリエ変換してみましょう。
<tex>
\mathcal{F}(h(t)) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega t...
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(...
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(...
&= \mathcal{F} \phi_2( \omega ) \int_{-\infty}^\infty e^{...
&= \mathcal{F} \phi_2 ( \omega ) \mathcal{F} \phi_1 ( \om...
</tex>
こうなりました。何かの参考になれば幸いです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-07@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierCorre@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換
=========================================================...
今回は物理とは距離を置いて、物理を勉強する上で僕がつきあ...
数学的問題の一つを、厳密さに欠けますが、書こうと思います。
厳密には、積分の順序を交換する時、それぞれの積分が絶対収...
言わねばなりません。
相関関数
======================
実数の物理量 $\phi_1(t_0)$ と、 $\phi_2(t_0)$ の相互相関...
<tex>
C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \p...
</tex>
と定義されます。注意しておくこととして、相互相関関数は、...
相関関数のフーリエ変換
=========================
これをフーリエ変換するとどうなるか、と言うのが、今回の問...
やってみますと、
<tex>
\mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \...
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}...
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t...
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \ph...
&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega)
</tex>
となります。ここで、 $\phi_1$ と $\phi_2$ を入れ替えれば...
余談ですが、もしかすると、ヤコビアンに関する知識が必要か...
つまりは、 $s=t+t_0$ と置くと、 $t_0=t_0$ 、 $t=s-t_0$ よ...
<tex>
dt_0 dt &= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}...
\dfrac{\partial t}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t}{\pa...
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}...
\dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial t_0} & \dfrac{\partial ...
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\
&= dt_0 d(t+t_0)
</tex>
です。
畳み込み積分とフーリエ変換
===============================
畳み込み積分というものを定義します。
<tex>
h(t) \equiv \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t-...
</tex>
これもフーリエ変換してみましょう。
<tex>
\mathcal{F}(h(t)) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega t...
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(...
&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(...
&= \mathcal{F} \phi_2( \omega ) \int_{-\infty}^\infty e^{...
&= \mathcal{F} \phi_2 ( \omega ) \mathcal{F} \phi_1 ( \om...
</tex>
こうなりました。何かの参考になれば幸いです。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2011-06-07@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierCorre@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.