記事ソース/絶対値等の取り扱いに関する諸注意(主に高校数学の範囲から)
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#rst2hooktail_source
=========================================================...
絶対値等の取り扱いに関する諸注意(主に高校数学の範囲から)
=========================================================...
ここでは雑多な問題に対して、私が「注意しなければならない...
と思ったことをいくつか書いていきます。
(1)対数関数の微分
=============================
まずは、示すべき式を見てみましょう。
<tex>
\frac{d}{dx}(log_e|x|)= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
です。
底がaの対数関数の微分
----------------------------
まずは、
<tex>
\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x}log_a e \tag{##}
</tex>
を示します。 $x>0$ の時、以下のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_a (x+h...
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x}) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \log_a (1+\frac...
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_a (1+\frac{h}{x})^{x/h...
</tex>
ここで、 $\frac{h}{x}=t$ とおくと、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_a...
</tex>
となります。ここで、 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t}$ はある定...
.. [*] この $e$ のことを、自然対数の底とか、ネイピア数と...
よって、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{1}{x} \log_a e \\
&= \frac{1}{x \log_e a} \tag{##}
</tex>
これで、式 $(2)$ が示せました。
特に、底がネイピア数 $e$ の時の微分は簡単になり、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e x = \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
となります。だんだん式 $(1)$ に近づいてきましたね。
式(1)の導出
--------------------------
次に、 $\log_e|x|$ の微分に範囲を拡張します。今までで $x>...
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e |x| &= \frac{d}{dx} \log_e (-x) \\
&= \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) \\
&= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
よって、式 $(1)$ が示せました。
(2)ルートの問題
===========================
まずは基本の一変数から、虚数単位を $i$ とおくと、
<tex>
\sqrt{x} = \begin{cases}
\sqrt{x} \ \ (\mathrm{when}\ \ x \geq 0) \\
i \sqrt{-x} \ \ (\mathrm{when}\ \ x < 0)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
です [*]_ 。ここで、左辺は負を含む実数値をとるルート関数...
(普段私たちが使っているルート関数)です。以降、二変数の...
.. [*] 大学で複素関数論を習うときには、ルート、つまり、1/...
ここで、変数が二つある時は注意すべきことが起こります。
<tex>
\sqrt{xy} = \begin{cases}
\sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when} \ \ x>0 \ \ \mathrm{and} \ ...
i \sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when}\ \ xy \leq 0) \\
- \sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when} \ \ x<0 \ \ \mathrm{and}\...
\end{cases} \tag{##}
</tex>
最後の行に気をつけてください。 $x<0$ かつ $y<0$ の時は、
次のような式変形をすれば、理解できるでしょう。
<tex>
\sqrt{xy} &= i \sqrt{-x} \cdot i \sqrt{-y} \\
&= i^2 \sqrt{(-x)(-y)} \\
&= - \sqrt{xy} \tag{##}
</tex>
であって、
<tex>
-1 &= i \cdot i \\
&= \sqrt{-1} \sqrt{-1} \\
&\neq \sqrt{(-1)^2} \\
&= 1
</tex>
なのです。
(3)Excelでの注意
==========================
Excelで、関数を計算するのは便利ですが、
一つ注意を要することを見つけました。
それは、 $-3^2= 9$ となることです。
なぜかというと、以上のように書いたとき、
コンピューターは、二乗の計算、 $3^2$ よりも、先に $-3$ と...
優先してしまうからです。よって、
Excelに置いては、 $-3^2= (-3)^2 = 9$ という計算が行われま...
よって、 $-3^2=-9$ としたい時は、 $-(3^2)=-9$ とする必要...
最後に
============
今のところ、これくらいの事を要注意事項として上げることが...
これからもすこしずつ増やす予定なので、よろしくお願いしま...
今日はこれまで。お疲れ様でした^^
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-06-05@@
@@category:物理数学@@
@@id:needAttention@@
終了行:
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#rst2hooktail_source
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絶対値等の取り扱いに関する諸注意(主に高校数学の範囲から)
=========================================================...
ここでは雑多な問題に対して、私が「注意しなければならない...
と思ったことをいくつか書いていきます。
(1)対数関数の微分
=============================
まずは、示すべき式を見てみましょう。
<tex>
\frac{d}{dx}(log_e|x|)= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
です。
底がaの対数関数の微分
----------------------------
まずは、
<tex>
\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x}log_a e \tag{##}
</tex>
を示します。 $x>0$ の時、以下のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_a (x+h...
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\log_a(1+\frac{h}{x}) \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \frac{x}{h} \log_a (1+\frac...
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_a (1+\frac{h}{x})^{x/h...
</tex>
ここで、 $\frac{h}{x}=t$ とおくと、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x = \lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_a...
</tex>
となります。ここで、 $\lim_{t \to 0}(1+t)^{1/t}$ はある定...
.. [*] この $e$ のことを、自然対数の底とか、ネイピア数と...
よって、式 $(4)$ は、次のようになります。
<tex>
\frac{d}{dx} \log_a x &= \frac{1}{x} \log_a e \\
&= \frac{1}{x \log_e a} \tag{##}
</tex>
これで、式 $(2)$ が示せました。
特に、底がネイピア数 $e$ の時の微分は簡単になり、
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e x = \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
となります。だんだん式 $(1)$ に近づいてきましたね。
式(1)の導出
--------------------------
次に、 $\log_e|x|$ の微分に範囲を拡張します。今までで $x>...
<tex>
\frac{d}{dx} \log_e |x| &= \frac{d}{dx} \log_e (-x) \\
&= \frac{1}{-x} \cdot \frac{d}{dx}(-x) \\
&= \frac{1}{x} \tag{##}
</tex>
よって、式 $(1)$ が示せました。
(2)ルートの問題
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まずは基本の一変数から、虚数単位を $i$ とおくと、
<tex>
\sqrt{x} = \begin{cases}
\sqrt{x} \ \ (\mathrm{when}\ \ x \geq 0) \\
i \sqrt{-x} \ \ (\mathrm{when}\ \ x < 0)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
です [*]_ 。ここで、左辺は負を含む実数値をとるルート関数...
(普段私たちが使っているルート関数)です。以降、二変数の...
.. [*] 大学で複素関数論を習うときには、ルート、つまり、1/...
ここで、変数が二つある時は注意すべきことが起こります。
<tex>
\sqrt{xy} = \begin{cases}
\sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when} \ \ x>0 \ \ \mathrm{and} \ ...
i \sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when}\ \ xy \leq 0) \\
- \sqrt{xy} \ \ (\mathrm{when} \ \ x<0 \ \ \mathrm{and}\...
\end{cases} \tag{##}
</tex>
最後の行に気をつけてください。 $x<0$ かつ $y<0$ の時は、
次のような式変形をすれば、理解できるでしょう。
<tex>
\sqrt{xy} &= i \sqrt{-x} \cdot i \sqrt{-y} \\
&= i^2 \sqrt{(-x)(-y)} \\
&= - \sqrt{xy} \tag{##}
</tex>
であって、
<tex>
-1 &= i \cdot i \\
&= \sqrt{-1} \sqrt{-1} \\
&\neq \sqrt{(-1)^2} \\
&= 1
</tex>
なのです。
(3)Excelでの注意
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Excelで、関数を計算するのは便利ですが、
一つ注意を要することを見つけました。
それは、 $-3^2= 9$ となることです。
なぜかというと、以上のように書いたとき、
コンピューターは、二乗の計算、 $3^2$ よりも、先に $-3$ と...
優先してしまうからです。よって、
Excelに置いては、 $-3^2= (-3)^2 = 9$ という計算が行われま...
よって、 $-3^2=-9$ としたい時は、 $-(3^2)=-9$ とする必要...
最後に
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今のところ、これくらいの事を要注意事項として上げることが...
これからもすこしずつ増やす予定なので、よろしくお願いしま...
今日はこれまで。お疲れ様でした^^
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-06-05@@
@@category:物理数学@@
@@id:needAttention@@
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