記事ソース/積分領域について補足
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
==============================================
積分領域について補足
==============================================
面積分や体積積分の際、積分領域について、単純曲面、単連結...
ストークスの定理に関して、理解して欲しいのは単連結という...
1.近傍
---------------------------------------------------------...
何か集合があり、その集合の元同士の間に『距離』が与えられ...
三次元ユークリッド空間 $R^{3}$ で、ある領域 $D$ に含まれ...
<tex>
V_{\varepsilon}(A) = \{ x \in D| \ \ |A-x| < \varepsilon...
</tex>
.. Joh-Neighborhood.gif
.. [*] $\varepsilon$ は、イメージとしては十分に小さい距...
.. [*] 集合が一般に $n$ 次元ユークリッド空間なら、近傍は ...
2.開集合
---------------------------------------------------------...
集合 $D$ 内の任意の点 $A$ に対し、(十分小さな) $\vareps...
.. figure:: Joh-OpenDomain01.gif
分かりやすいイメージは、境界を含まない領域は開集合だ。(...
3.閉包
---------------------------------------------------------...
集合 $M$ に対し、その *閉包* $\bar{M}$ を次のように定義...
<tex>
\bar{M} = \{ x| V_{\varepsilon} (x) \cap M \ne \phi \}
</tex>
もし $M$ が開集合ならば $\bar{M}$ は $M$ よりほんの少し大...
.. figure:: Joh-Closure01.gif
開集合をすっぽり包み込む閉集合から閉包というのだろう。
例えば、有理数の集合を $Q$ とすると、 $\bar{Q}$ は実数全...
4.閉集合
---------------------------------------------------------...
閉包と自分自身が一致するような集合を *閉集合* と呼びます。
<tex>
M=\bar{M}
</tex>
また、開集合を含む最小の閉集合は、閉包であることが示せま...
.. figure:: Joh-ClosedDomain01.gif
イメージとしては、境界を含む集合という感じ。
5.弧状連結
---------------------------------------------------------...
集合に含まれる任意の二点を、滑らかな曲線で結ぶことが可能...
.. figure:: Joh-ExDomain01.gif
滑らかな曲線でつなげない集合の例。確かに、こんな集合を領...
6.単連結
---------------------------------------------------------...
領域内に描いた任意の閉曲線を、そのまま連続的に一点にまで...
.. figure:: Joh-SimplyConnectedDomain01.gif
逆に、領域内に描いた閉曲線を連続的に縮めていっても一点に...
7.凸型領域、凹型領域
---------------------------------------------------------...
領域内に描いた任意の線分が、全て領域内に含まれる場合、 *...
.. image:: Joh-ConvexConcaveDomain.gif
8.星形領域
---------------------------------------------------------...
ある特定の点から、領域内の任意の点に引いた線分が、全てそ...
.. image:: Joh-StarShapedDomain.gif
凹型領域の中には、星形領域になるものとならないものがあり...
ストークスの定理に関して注意点
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ストークスの定理(面積分⇔周回積分)を使う際、定理に関わる...
.. image:: Joh-SimplyConnectedDomain02.gif
つまり、このような場合、好き勝手に閉曲線を決めるわけには...
例えば、単連結な領域ではグリーンの定理が成り立ちますから...
<tex>
\ointop _{C} Pdx+Qdy = \int \int \limits _{S} \left( \fra...
</tex>
ところが、もし $P=\frac{-y}{x^{2} + y^{2}}, \ Q=\frac{-y}...
いままで、あまり積分領域や被積分関数の定義域に神経質では...
.. [*] 多重連結領域でも、どこかに切れ目を入れて領域を切り...
.. image:: Joh-MultiplyConnected02.gif
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorintegralDomain@@
終了行:
#rst2hooktail_source
==============================================
積分領域について補足
==============================================
面積分や体積積分の際、積分領域について、単純曲面、単連結...
ストークスの定理に関して、理解して欲しいのは単連結という...
1.近傍
---------------------------------------------------------...
何か集合があり、その集合の元同士の間に『距離』が与えられ...
三次元ユークリッド空間 $R^{3}$ で、ある領域 $D$ に含まれ...
<tex>
V_{\varepsilon}(A) = \{ x \in D| \ \ |A-x| < \varepsilon...
</tex>
.. Joh-Neighborhood.gif
.. [*] $\varepsilon$ は、イメージとしては十分に小さい距...
.. [*] 集合が一般に $n$ 次元ユークリッド空間なら、近傍は ...
2.開集合
---------------------------------------------------------...
集合 $D$ 内の任意の点 $A$ に対し、(十分小さな) $\vareps...
.. figure:: Joh-OpenDomain01.gif
分かりやすいイメージは、境界を含まない領域は開集合だ。(...
3.閉包
---------------------------------------------------------...
集合 $M$ に対し、その *閉包* $\bar{M}$ を次のように定義...
<tex>
\bar{M} = \{ x| V_{\varepsilon} (x) \cap M \ne \phi \}
</tex>
もし $M$ が開集合ならば $\bar{M}$ は $M$ よりほんの少し大...
.. figure:: Joh-Closure01.gif
開集合をすっぽり包み込む閉集合から閉包というのだろう。
例えば、有理数の集合を $Q$ とすると、 $\bar{Q}$ は実数全...
4.閉集合
---------------------------------------------------------...
閉包と自分自身が一致するような集合を *閉集合* と呼びます。
<tex>
M=\bar{M}
</tex>
また、開集合を含む最小の閉集合は、閉包であることが示せま...
.. figure:: Joh-ClosedDomain01.gif
イメージとしては、境界を含む集合という感じ。
5.弧状連結
---------------------------------------------------------...
集合に含まれる任意の二点を、滑らかな曲線で結ぶことが可能...
.. figure:: Joh-ExDomain01.gif
滑らかな曲線でつなげない集合の例。確かに、こんな集合を領...
6.単連結
---------------------------------------------------------...
領域内に描いた任意の閉曲線を、そのまま連続的に一点にまで...
.. figure:: Joh-SimplyConnectedDomain01.gif
逆に、領域内に描いた閉曲線を連続的に縮めていっても一点に...
7.凸型領域、凹型領域
---------------------------------------------------------...
領域内に描いた任意の線分が、全て領域内に含まれる場合、 *...
.. image:: Joh-ConvexConcaveDomain.gif
8.星形領域
---------------------------------------------------------...
ある特定の点から、領域内の任意の点に引いた線分が、全てそ...
.. image:: Joh-StarShapedDomain.gif
凹型領域の中には、星形領域になるものとならないものがあり...
ストークスの定理に関して注意点
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ストークスの定理(面積分⇔周回積分)を使う際、定理に関わる...
.. image:: Joh-SimplyConnectedDomain02.gif
つまり、このような場合、好き勝手に閉曲線を決めるわけには...
例えば、単連結な領域ではグリーンの定理が成り立ちますから...
<tex>
\ointop _{C} Pdx+Qdy = \int \int \limits _{S} \left( \fra...
</tex>
ところが、もし $P=\frac{-y}{x^{2} + y^{2}}, \ Q=\frac{-y}...
いままで、あまり積分領域や被積分関数の定義域に神経質では...
.. [*] 多重連結領域でも、どこかに切れ目を入れて領域を切り...
.. image:: Joh-MultiplyConnected02.gif
.. _平面のグリーンの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorintegralDomain@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.