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正多面体群2
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正四面体群、正六面体群、正八面体群、正十二面体群、正二十...
正四面体群
-----------------------------------------
正四面体を自分自身に重ねる回転には、二種類の軸がありまし...
.. image:: Joh-Tetra1.gif
:align: center
まず、図中、左側の変換では、頂点 $(1,2,3,4)$ が $(1,3,4,2...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 2 \\
\end{array}
\Big) =
(2 \ 3)(2 \ 4)
</tex>
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 2 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(2 \ 4)(2 \ 3)
</tex>
頂点 $1$ を通る軸の周りに回す回転では、頂点 $2,3,4$ が巡...
一方、図の右側の変換では、頂点 $(1,2,3,4)$ が $(2,1,4,3)$...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 2)(3 \ 4)
</tex>
すなわち、正四面体群 $P(4)$ の元による、正四面体の頂点の...
<tex>
P(4) \simeq A_{4}
</tex>
これにより、正四面体群 $P(4)$ の位数は、交代群の位数の公...
<tex>
|P(4)|= |A_{4}|=\frac{4!}{2} = 12
</tex>
回転の種類を全部数え上げるのと、そんなに労力は変わらなか...
正六面体群と正八面体
---------------------------------------------------------...
正六面体群の位数は、対角線の置換だと考え、次のように求め...
<tex>
P(6) \simeq S_{4}
</tex>
<tex>
|P(6)| = |S_{4}| = 4! = 24
</tex>
ところで、正六面体の面の中心を結ぶと、内接する正八面体が...
.. image:: Joh-CubeOtc3.gif
:align: center
このような双対関係により、正六面体を不動に保つ変換と、正...
これにより、ただちに次の関係が言えます。
<tex>
P(8) \simeq P(6) \simeq S_{4}
</tex>
<tex>
|P(8)| = |P(6)| = |S_{4}| = 24
</tex>
.. [*] 例えば、正六面体の各面の中心の点にだけ印をつけ、正...
正十二面体と正二十面体
----------------------------------------------------------
実は、正十二面体と正二十面体も双対関係にあり、どちらかの...
.. figure:: Joh-poly12-20.gif
<tex>
P(12) \simeq P(20)
</tex>
<tex>
|P(12)| = |P(20)|
</tex>
どおりで、正十二面体群と正二十面体群の位数は同じだったわ...
また、正十二面体や正二十面体でも、(正四面体で先に示したよ...
<tex>
P(12) \simeq P(20) \simeq A_{5}
</tex>
.. [*] 正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体はそれぞ...
補
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
正十二面体が $5$ 次の交代群に対応することは、当初面倒なの...
正十二面体の面は正五角形をしていますので、星型に五本の対...
.. image:: Joh-Pentagram.gif
:align: center
この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内...
.. image:: Joh-Dodecahedron.png
:align: center
正十二面体はちょうど、正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せ...
さて、上の図のうちの一つだけに注目しましょう。正十二面体...
まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に、 $120$ 度もしくは $...
.. image:: Joh-Dodeca2.gif
:align: center
結局、上記の二種類に恒等置換を加えて、正十二面体群のうち...
まず、正六面体の対角線回りに $120$ 度回す回転を考えると(...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccccc}
1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
6 & 1 & 5 & 7 & 3 & 4 \\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 6 \\
6 & 1 & 3 \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{ccc}
4 & 5 & 7 \\
5 & 7 & 4 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 3)(3 \ 6)(4 \ 5)(4 \ 7)
</tex>
この変換は偶置換であることが分かりました。 $240$ 度回す変...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
5 & 6 & 2 & 1 & 8 & 7 & 3 & 4\\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 4 & 5 & 8\\
5 & 1 & 8 & 4 \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{cccc}
2 & 3 & 6 & 7 \\
6 & 2 & 7 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 5)(1 \ 4)(4 \ 8)(2 \ 6)(2 \ 3)(3 \ 7)
</tex>
こちらもやはり偶置換であることが分かりました。 $P(6) \sim...
正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には $5$ 種類ありま...
<tex>
P(12) \sim 5 \times A_{4} = A_{5}
</tex>
.. _正六面体群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Cubi...
.. _正多面体群1: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Po...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: PolyhedronGroup2@@
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正多面体群2
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正四面体群、正六面体群、正八面体群、正十二面体群、正二十...
正四面体群
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正四面体を自分自身に重ねる回転には、二種類の軸がありまし...
.. image:: Joh-Tetra1.gif
:align: center
まず、図中、左側の変換では、頂点 $(1,2,3,4)$ が $(1,3,4,2...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 2 \\
\end{array}
\Big) =
(2 \ 3)(2 \ 4)
</tex>
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 2 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(2 \ 4)(2 \ 3)
</tex>
頂点 $1$ を通る軸の周りに回す回転では、頂点 $2,3,4$ が巡...
一方、図の右側の変換では、頂点 $(1,2,3,4)$ が $(2,1,4,3)$...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 2)(3 \ 4)
</tex>
すなわち、正四面体群 $P(4)$ の元による、正四面体の頂点の...
<tex>
P(4) \simeq A_{4}
</tex>
これにより、正四面体群 $P(4)$ の位数は、交代群の位数の公...
<tex>
|P(4)|= |A_{4}|=\frac{4!}{2} = 12
</tex>
回転の種類を全部数え上げるのと、そんなに労力は変わらなか...
正六面体群と正八面体
---------------------------------------------------------...
正六面体群の位数は、対角線の置換だと考え、次のように求め...
<tex>
P(6) \simeq S_{4}
</tex>
<tex>
|P(6)| = |S_{4}| = 4! = 24
</tex>
ところで、正六面体の面の中心を結ぶと、内接する正八面体が...
.. image:: Joh-CubeOtc3.gif
:align: center
このような双対関係により、正六面体を不動に保つ変換と、正...
これにより、ただちに次の関係が言えます。
<tex>
P(8) \simeq P(6) \simeq S_{4}
</tex>
<tex>
|P(8)| = |P(6)| = |S_{4}| = 24
</tex>
.. [*] 例えば、正六面体の各面の中心の点にだけ印をつけ、正...
正十二面体と正二十面体
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実は、正十二面体と正二十面体も双対関係にあり、どちらかの...
.. figure:: Joh-poly12-20.gif
<tex>
P(12) \simeq P(20)
</tex>
<tex>
|P(12)| = |P(20)|
</tex>
どおりで、正十二面体群と正二十面体群の位数は同じだったわ...
また、正十二面体や正二十面体でも、(正四面体で先に示したよ...
<tex>
P(12) \simeq P(20) \simeq A_{5}
</tex>
.. [*] 正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体はそれぞ...
補
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
正十二面体が $5$ 次の交代群に対応することは、当初面倒なの...
正十二面体の面は正五角形をしていますので、星型に五本の対...
.. image:: Joh-Pentagram.gif
:align: center
この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内...
.. image:: Joh-Dodecahedron.png
:align: center
正十二面体はちょうど、正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せ...
さて、上の図のうちの一つだけに注目しましょう。正十二面体...
まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に、 $120$ 度もしくは $...
.. image:: Joh-Dodeca2.gif
:align: center
結局、上記の二種類に恒等置換を加えて、正十二面体群のうち...
まず、正六面体の対角線回りに $120$ 度回す回転を考えると(...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccccc}
1 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
6 & 1 & 5 & 7 & 3 & 4 \\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{ccc}
1 & 3 & 6 \\
6 & 1 & 3 \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{ccc}
4 & 5 & 7 \\
5 & 7 & 4 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 3)(3 \ 6)(4 \ 5)(4 \ 7)
</tex>
この変換は偶置換であることが分かりました。 $240$ 度回す変...
<tex>
\Big( \begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\
5 & 6 & 2 & 1 & 8 & 7 & 3 & 4\\
\end{array}
\Big) =
\Big( \begin{array}{cccc}
1 & 4 & 5 & 8\\
5 & 1 & 8 & 4 \\
\end{array}
\Big)
\Big( \begin{array}{cccc}
2 & 3 & 6 & 7 \\
6 & 2 & 7 & 3 \\
\end{array}
\Big) =
(1 \ 5)(1 \ 4)(4 \ 8)(2 \ 6)(2 \ 3)(3 \ 7)
</tex>
こちらもやはり偶置換であることが分かりました。 $P(6) \sim...
正十二面体に正六面体を内接させるさせ方には $5$ 種類ありま...
<tex>
P(12) \sim 5 \times A_{4} = A_{5}
</tex>
.. _正六面体群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Cubi...
.. _正多面体群1: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Po...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: PolyhedronGroup2@@
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