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正五角形の作図
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この記事では、正五角形の作図を考えてみたいと思います。 作...
正五角形の作図は、円周を $5$ つに等分する問題と同じです。...
<tex>
f(x)=x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
</tex>
ここで $E$ を $Q$ 上のベクトル空間と見たとき、 $\{ \zeta ...
自明な部分群を除くと、 $\cal G \it (E/Q)$ は正規部分群 $\...
ここまでは、既に勉強したガロア理論の基本定理から予想され...
ガロア理論の計算
=========================================================...
まず、 $E$ の元 $ \alpha =a_{1} \zeta +a_{2}{\zeta}^{2}+a...
<tex>
{\sigma}^2 ( \alpha) &= {\sigma}^2(a_{1} \zeta +a_{2}{\ze...
&= a_{1}{\sigma}^2( \zeta )+a_{2}{\sigma}^2({\zeta}^{2})...
&= a_{1}{\sigma}( \zeta^2 )+a_{2}{\sigma}({\zeta}^{4})+a...
&= a_{1}( \zeta^4 )+a_{2}({\zeta}^{8})+a_{3}({\zeta}^{12...
&= a_{1} \zeta^4 +a_{2}{\zeta}^{3}+a_{3}{\zeta^2}+a_{4}{\...
</tex>
一行目と最終行を見比べて、 ${\sigma}^2(\alpha )=\alpha$ ...
<tex>
\alpha = b_{1}(\zeta + \zeta^4)+b_{2}(\zeta^2 + \zeta^3)
</tex>
そこで、さらに $\zeta + \zeta^4 = \mu_{1} ,\ \ \zeta^2 +...
<tex>
{\mu}_{1}+{\mu}_{2}= {\zeta} + {\zeta}^2 + {\zeta}^3 + {\...
</tex>
<tex>
\mu_{1}\mu_{2}&= (\zeta + \zeta^4 )( \zeta^2 + \zeta^3 ) \\
&= \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 = -1
</tex>
これを見てピンッと来て欲しいのですが、 $\mu_{1},\mu_{2}$ ...
.. [*] 作図可能数について ギリシャ三大作図問題3_ で触れ...
解の公式より、 $\mu$ を求めることが出来ます。
<tex>
\mu_{1} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}
</tex>
<tex>
\mu_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}
</tex>
ただし、 $\mu_{1}$ と $\mu_{2}$ の符号は、 $\{ \zeta , {\...
.. image:: Joh-PentaConst2.gif
これより、より具体的に $B=Q(\sqrt{5})$ であることが分かり...
.. [*] なんだかガロア群や同型写像を色々考えましたが、結局...
正五角形の作図法
-----------------------------------------------------------
ここからはおまけですが、いよいよ作図法を考えることにしま...
.. image:: Joh-PentagonConst3.gif
【正五角形の作図法】
1. 縦横に二本の線を引き、交点を $O$ とします。 $O$ を中心...
2. 円と直線の交点を、 $A,B,C,D$ と名づけます。 $OD$ の中...
3. 線分 $AE$ の長さは $OA$ を $1$ とすると $\frac{\sqrt{5...
4. $E$ を中心に半径 $AE$ の円を描き $OB$ との交点を $F$ ...
5. 線分 $OF$ の長さは $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ になってい...
6. $A$ を中心に半径 $AF$ の円を描きます。最初の円との交...
.. _ガロア理論の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _ギリシャ三大作図問題3: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _1のn乗根: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/1sNt...
.. _作図できる正多角形: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: ConstructPentagon@@
終了行:
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正五角形の作図
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この記事では、正五角形の作図を考えてみたいと思います。 作...
正五角形の作図は、円周を $5$ つに等分する問題と同じです。...
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f(x)=x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)
</tex>
ここで $E$ を $Q$ 上のベクトル空間と見たとき、 $\{ \zeta ...
自明な部分群を除くと、 $\cal G \it (E/Q)$ は正規部分群 $\...
ここまでは、既に勉強したガロア理論の基本定理から予想され...
ガロア理論の計算
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まず、 $E$ の元 $ \alpha =a_{1} \zeta +a_{2}{\zeta}^{2}+a...
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{\sigma}^2 ( \alpha) &= {\sigma}^2(a_{1} \zeta +a_{2}{\ze...
&= a_{1}{\sigma}^2( \zeta )+a_{2}{\sigma}^2({\zeta}^{2})...
&= a_{1}{\sigma}( \zeta^2 )+a_{2}{\sigma}({\zeta}^{4})+a...
&= a_{1}( \zeta^4 )+a_{2}({\zeta}^{8})+a_{3}({\zeta}^{12...
&= a_{1} \zeta^4 +a_{2}{\zeta}^{3}+a_{3}{\zeta^2}+a_{4}{\...
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一行目と最終行を見比べて、 ${\sigma}^2(\alpha )=\alpha$ ...
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\alpha = b_{1}(\zeta + \zeta^4)+b_{2}(\zeta^2 + \zeta^3)
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そこで、さらに $\zeta + \zeta^4 = \mu_{1} ,\ \ \zeta^2 +...
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{\mu}_{1}+{\mu}_{2}= {\zeta} + {\zeta}^2 + {\zeta}^3 + {\...
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\mu_{1}\mu_{2}&= (\zeta + \zeta^4 )( \zeta^2 + \zeta^3 ) \\
&= \zeta^3 + \zeta^4 + \zeta + \zeta^2 = -1
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これを見てピンッと来て欲しいのですが、 $\mu_{1},\mu_{2}$ ...
.. [*] 作図可能数について ギリシャ三大作図問題3_ で触れ...
解の公式より、 $\mu$ を求めることが出来ます。
<tex>
\mu_{1} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}
</tex>
<tex>
\mu_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}
</tex>
ただし、 $\mu_{1}$ と $\mu_{2}$ の符号は、 $\{ \zeta , {\...
.. image:: Joh-PentaConst2.gif
これより、より具体的に $B=Q(\sqrt{5})$ であることが分かり...
.. [*] なんだかガロア群や同型写像を色々考えましたが、結局...
正五角形の作図法
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ここからはおまけですが、いよいよ作図法を考えることにしま...
.. image:: Joh-PentagonConst3.gif
【正五角形の作図法】
1. 縦横に二本の線を引き、交点を $O$ とします。 $O$ を中心...
2. 円と直線の交点を、 $A,B,C,D$ と名づけます。 $OD$ の中...
3. 線分 $AE$ の長さは $OA$ を $1$ とすると $\frac{\sqrt{5...
4. $E$ を中心に半径 $AE$ の円を描き $OB$ との交点を $F$ ...
5. 線分 $OF$ の長さは $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ になってい...
6. $A$ を中心に半径 $AF$ の円を描きます。最初の円との交...
.. _ガロア理論の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _ギリシャ三大作図問題3: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _1のn乗根: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/1sNt...
.. _作図できる正多角形: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
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