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==========================
色々な座標系
==========================
物理学で座標系を考えることはとても大事です。
まず、座標について勉強するとどんな世界が見えてくるのかに...
その後、具体的に色々な座標系を考える準備として、座標変換...
デカルト座標系以外での微分演算子(grad, div, curl等)がどう...
座標から見えてくること
--------------------------
物理の計算では、デカルト座標系以外の座標系が威力を発揮す...
適切な座標変換をほどこすと、方程式が簡単な形になって問題...
複雑な微分方程式が変数分離形に帰着して解けるようになるこ...
(物理学では、微分方程式を変数分離形に帰着させることが座...
このことは特に強調しておきます)。
逆に、座標変換を考えることは、座標変換によっても変化しな...
考察することにも発展することでしょう。座標変換に対して不...
解析力学、微分形式の理論、微分幾何学などを勉強するときに...
物理学でよく使われるベッセル関数、ルジャンドル関数などの...
ある座標系と密接な関係を持っていますので、
色々な座標系を勉強してからそうした特殊関数の勉強をした方...
なんだか座標変換の先には難しい世界が広がっていそうな感じ...
計量因子
--------------------------
デカルト座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ と、ある新しい座標系...
関係は一般に次のように表すことができます。お互い何か関数...
<tex>
x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},q_{3})
</tex>
<tex>
q_{i}=q_{i}(x_{1},x_{2},x_{3})
</tex>
ここから $(x_{1},x_{2},x_{3})$ の全微分は式(1)のように表...
<tex>
\displaystyle dx_{i}={\partial x_{i}\over \partial q_{1}}
dq_{1}+{\partial x_{i}\over \partial q_{2}}
dq_{2}+{\partial x_{i}\over \partial q_{3}}
dq_{3}
\tag{1}
</tex>
一方、空間上の微小な二点間の距離 $ds$ は次のように表現で...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})^{2...
</tex>
ここで $h$ という量がいきなり出てきましたが、これは計量因...
計量因子とは、二つの座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , $(q_{1...
が成り立つように無理矢理考えだされた量だと言っても良いで...
これは定義ですから、あまり式(2)で悩まないで下さい。
一般に $(q_{1},q_{2},q_{3})$ は必ずしも長さの次元を持つわ...
計量因子を掛けた量 $hdq_{i}$ は必ず長さの次元になることに...
計量因子とはそのような次元を持った量なのです。
式(1)を二乗して式(2)に代入すると一般に次式を得ます。これ...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial q_...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
ヤコビアンと計量因子
--------------------------
計量因子とヤコビアンとは関係があります。
ここの議論はすぐには使いませんから、ヤコビアンが何だった...
座標系を構成する曲面群が互いに直交する場合、計量因子の対...
簡単のためにそのような座標系だけを考えましょう。
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})^{2...
</tex>
計量因子は簡単のため $h_{11}$ を $h_{1}$ のように書いてし...
このとき面積要素、体積要素は次式のようになることがわかる...
<tex>
dS_{ij}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j}
</tex>
<tex>
dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
ヤコビアンの定義と比べてみると、式中に含まれる計量因子の...
ヤコビアンと計量因子は親戚だったのです。
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}={\partial (x_{i},x_{j})\over \pa...
</tex>
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}h_{k}={\partial (x_{i},x_{j},x_{k...
</tex>
微分ベクトル演算子
--------------------------
ベクトルの微積分に、三角形の記号がたくさん出てきたのを覚...
とか $\triangle \bm{V} $ といったものです。こういう記号は...
ベクトルを微分する記号です。物理学の方程式にはよく登場し...
(よく分からない人は、先に ベクトル解析_ のページを復習し...
三角形の記号で書いてある限りは座標系の取り方には拠らない...
実際に微分計算を行うときには座標の取り方によって計算が少...
ですから、デカルト座標系における微分ベクトル演算子と比べ...
他の座標系における微分ベクトル演算子がどう書けるのかを見...
今後、色々な微分方程式を色々な座標系の上で考えていくため...
厄介なことに、ベクトルの掛け算には、内積、外積などの種類...
微分ベクトル演算子の計算にも幾つかの種類があるのです。
以下に、勾配、発散、回転、ラプラシアンの4つの演算子につい...
(1)勾配(grad):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
勾配ベクトルは空間的な変化率を表すベクトルでした。
そのベクトルの方向は、最大限に変化が起こるような向きに取...
例えば $q_{1}=\mathrm{const.}$ なる曲面に垂直な方向の変化...
<tex>
\displaystyle \nabla \psi \Big\arrowvert _{1}={\partial \...
={1\over h_{1}}
{\partial \psi \over \partial q_{1}}
</tex>
他の成分も同様なので、結局、勾配は次式で表すことができま...
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over \pa...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial q_{3}}
\bigg)
</tex>
(2)発散(div):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
発散の定義は次式でしたね(忘れてしまった人は ベクトル解析...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V=\lim \limits _{\intop \limit...
</tex>
ここで、式中の無限小体積要素は $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma \Big\arrowver...
&=\Big[V_{1}h_{2}h_{3}+{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \...
dq_{1}\Big]dq_{2}dq_{3}-V_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}\\
&={\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
第二成分、第三成分についても同様の計算が成り立ちますから...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma =\Big[{\parti...
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
これを $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$ で割れ...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
(3)回転(curl):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
回転を求めるにはストークスの定理を使います。まず $q_{1}=\...
ストークスの定理より次式が成り立ちます。ストークスの定理...
忘れてしまった人は ベクトル解析_ のところを復習しておいて...
<tex>
\displaystyle \int _{S}\nabla \times V\cdot d\sigma =\nab...
</tex>
ここで右辺の周回積分は次の図を見れば意味が分かりますね。
図の1,2,3,4の直線に沿って順番に線積分をしていきます。
.. image:: Joh-stokes7.png
<tex>
\displaystyle \ointop \limits V\cdot d\lambda
&=V_{2}h_{2}dq_{2}+\Big[V_{3}h_{3}+{\partial (V_{3}h_{3})...
dq_{2}\Big]dq_{3}-\Big[V_{2}h_{2}+{\partial (V_{2}h_{2})\...
dq_{3}\Big]dq_{2}-V_{3}h_{3}dq_{3}\\
&=\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
これより次式が言えます。
<tex>
\displaystyle \nabla \times V\Big\arrowvert _{1}={1\over ...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
全ての成分について計算して足し合わせると、次のようになり...
<tex>
\displaystyle \nabla \times {\boldmath V}={1\over h_{2}h_...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
+{1\over h_{3}h_{1}}
\Big[{\partial (h_{1}V_{1})\over \partial q_{3}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{3}dq_{1}
+{1\over h_{1}h_{2}}
\Big[{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{1}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{1}dq_{2}
</tex>
これでは長くて覚えるのが大変ですから、次のように 行列式_ ...
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\bold...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partia...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
※回転のことを、curlではなくてrot(ローテーション)と呼ぶ人...
(4)ラプラシアン:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
最後にラプラシアンについて少しだけ触れます。
ラプラシアン $\triangle$ はナブラ $\nabla$ を二乗したもの...
だから、何も難しいことは無いのです。勾配の計算と発散の計...
ベクトルに作用するときには成分毎に作用させるのでしたね。
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi)
</tex>
<tex>
\triangle \bm{V}=(\nabla \cdot (\nabla V_{1}), \nabla \cd...
</tex>
すでに勾配と発散の計算は求めたのですから、ラプラシアンが...
おさらい
--------------------------
このページの結果は、また後でよく使いますから、公式として...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial q_...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over \pa...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial h_{3}}
\bigg)
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\bold...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partia...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi) =
{1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial \over \partial q_{1}}
(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}}{\partial \phi \over \partial...
+{\partial \over \partial q_{2}}
(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}}{\partial \phi \over \part...
+{\partial \over \partial q_{3}}
(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}}{\partial \phi \over \part...
\bigg]
</tex>
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/deter...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/ma...
@@author:Joh@@
@@accept:2005-01-23@@
@@category:物理数学@@
@@id:coordinates@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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色々な座標系
==========================
物理学で座標系を考えることはとても大事です。
まず、座標について勉強するとどんな世界が見えてくるのかに...
その後、具体的に色々な座標系を考える準備として、座標変換...
デカルト座標系以外での微分演算子(grad, div, curl等)がどう...
座標から見えてくること
--------------------------
物理の計算では、デカルト座標系以外の座標系が威力を発揮す...
適切な座標変換をほどこすと、方程式が簡単な形になって問題...
複雑な微分方程式が変数分離形に帰着して解けるようになるこ...
(物理学では、微分方程式を変数分離形に帰着させることが座...
このことは特に強調しておきます)。
逆に、座標変換を考えることは、座標変換によっても変化しな...
考察することにも発展することでしょう。座標変換に対して不...
解析力学、微分形式の理論、微分幾何学などを勉強するときに...
物理学でよく使われるベッセル関数、ルジャンドル関数などの...
ある座標系と密接な関係を持っていますので、
色々な座標系を勉強してからそうした特殊関数の勉強をした方...
なんだか座標変換の先には難しい世界が広がっていそうな感じ...
計量因子
--------------------------
デカルト座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ と、ある新しい座標系...
関係は一般に次のように表すことができます。お互い何か関数...
<tex>
x_{i}=x_{i}(q_{1},q_{2},q_{3})
</tex>
<tex>
q_{i}=q_{i}(x_{1},x_{2},x_{3})
</tex>
ここから $(x_{1},x_{2},x_{3})$ の全微分は式(1)のように表...
<tex>
\displaystyle dx_{i}={\partial x_{i}\over \partial q_{1}}
dq_{1}+{\partial x_{i}\over \partial q_{2}}
dq_{2}+{\partial x_{i}\over \partial q_{3}}
dq_{3}
\tag{1}
</tex>
一方、空間上の微小な二点間の距離 $ds$ は次のように表現で...
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})^{2...
</tex>
ここで $h$ という量がいきなり出てきましたが、これは計量因...
計量因子とは、二つの座標系 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ , $(q_{1...
が成り立つように無理矢理考えだされた量だと言っても良いで...
これは定義ですから、あまり式(2)で悩まないで下さい。
一般に $(q_{1},q_{2},q_{3})$ は必ずしも長さの次元を持つわ...
計量因子を掛けた量 $hdq_{i}$ は必ず長さの次元になることに...
計量因子とはそのような次元を持った量なのです。
式(1)を二乗して式(2)に代入すると一般に次式を得ます。これ...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial q_...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
ヤコビアンと計量因子
--------------------------
計量因子とヤコビアンとは関係があります。
ここの議論はすぐには使いませんから、ヤコビアンが何だった...
座標系を構成する曲面群が互いに直交する場合、計量因子の対...
簡単のためにそのような座標系だけを考えましょう。
<tex>
ds^{2}&=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}\\
&=(h_{11}dq_{1})^{2}+(h_{22}dq_{2})^{2}+(h_{33}dq_{3})^{2...
</tex>
計量因子は簡単のため $h_{11}$ を $h_{1}$ のように書いてし...
このとき面積要素、体積要素は次式のようになることがわかる...
<tex>
dS_{ij}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j}
</tex>
<tex>
dV=h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
ヤコビアンの定義と比べてみると、式中に含まれる計量因子の...
ヤコビアンと計量因子は親戚だったのです。
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}={\partial (x_{i},x_{j})\over \pa...
</tex>
<tex>
\displaystyle h_{i}h_{j}h_{k}={\partial (x_{i},x_{j},x_{k...
</tex>
微分ベクトル演算子
--------------------------
ベクトルの微積分に、三角形の記号がたくさん出てきたのを覚...
とか $\triangle \bm{V} $ といったものです。こういう記号は...
ベクトルを微分する記号です。物理学の方程式にはよく登場し...
(よく分からない人は、先に ベクトル解析_ のページを復習し...
三角形の記号で書いてある限りは座標系の取り方には拠らない...
実際に微分計算を行うときには座標の取り方によって計算が少...
ですから、デカルト座標系における微分ベクトル演算子と比べ...
他の座標系における微分ベクトル演算子がどう書けるのかを見...
今後、色々な微分方程式を色々な座標系の上で考えていくため...
厄介なことに、ベクトルの掛け算には、内積、外積などの種類...
微分ベクトル演算子の計算にも幾つかの種類があるのです。
以下に、勾配、発散、回転、ラプラシアンの4つの演算子につい...
(1)勾配(grad):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
勾配ベクトルは空間的な変化率を表すベクトルでした。
そのベクトルの方向は、最大限に変化が起こるような向きに取...
例えば $q_{1}=\mathrm{const.}$ なる曲面に垂直な方向の変化...
<tex>
\displaystyle \nabla \psi \Big\arrowvert _{1}={\partial \...
={1\over h_{1}}
{\partial \psi \over \partial q_{1}}
</tex>
他の成分も同様なので、結局、勾配は次式で表すことができま...
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over \pa...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial q_{3}}
\bigg)
</tex>
(2)発散(div):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
発散の定義は次式でしたね(忘れてしまった人は ベクトル解析...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V=\lim \limits _{\intop \limit...
</tex>
ここで、式中の無限小体積要素は $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma \Big\arrowver...
&=\Big[V_{1}h_{2}h_{3}+{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \...
dq_{1}\Big]dq_{2}dq_{3}-V_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}\\
&={\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
第二成分、第三成分についても同様の計算が成り立ちますから...
<tex>
\displaystyle \intop \limits V\cdot d\sigma =\Big[{\parti...
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{1}dq_{2}dq_{3}
</tex>
これを $d\tau =h_{1}h_{2}h_{3}dq_{1}dq_{2}dq_{3}$ で割れ...
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
(3)回転(curl):
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
回転を求めるにはストークスの定理を使います。まず $q_{1}=\...
ストークスの定理より次式が成り立ちます。ストークスの定理...
忘れてしまった人は ベクトル解析_ のところを復習しておいて...
<tex>
\displaystyle \int _{S}\nabla \times V\cdot d\sigma =\nab...
</tex>
ここで右辺の周回積分は次の図を見れば意味が分かりますね。
図の1,2,3,4の直線に沿って順番に線積分をしていきます。
.. image:: Joh-stokes7.png
<tex>
\displaystyle \ointop \limits V\cdot d\lambda
&=V_{2}h_{2}dq_{2}+\Big[V_{3}h_{3}+{\partial (V_{3}h_{3})...
dq_{2}\Big]dq_{3}-\Big[V_{2}h_{2}+{\partial (V_{2}h_{2})\...
dq_{3}\Big]dq_{2}-V_{3}h_{3}dq_{3}\\
&=\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
これより次式が言えます。
<tex>
\displaystyle \nabla \times V\Big\arrowvert _{1}={1\over ...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
</tex>
全ての成分について計算して足し合わせると、次のようになり...
<tex>
\displaystyle \nabla \times {\boldmath V}={1\over h_{2}h_...
\Big[{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{2}}
-{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{3}}
\Big]dq_{2}dq_{3}
+{1\over h_{3}h_{1}}
\Big[{\partial (h_{1}V_{1})\over \partial q_{3}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{3}dq_{1}
+{1\over h_{1}h_{2}}
\Big[{\partial (h_{2}V_{2})\over \partial q_{1}}
-{\partial (h_{3}V_{3})\over \partial q_{1}}
\Big]dq_{1}dq_{2}
</tex>
これでは長くて覚えるのが大変ですから、次のように 行列式_ ...
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\bold...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partia...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
※回転のことを、curlではなくてrot(ローテーション)と呼ぶ人...
(4)ラプラシアン:
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
最後にラプラシアンについて少しだけ触れます。
ラプラシアン $\triangle$ はナブラ $\nabla$ を二乗したもの...
だから、何も難しいことは無いのです。勾配の計算と発散の計...
ベクトルに作用するときには成分毎に作用させるのでしたね。
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi)
</tex>
<tex>
\triangle \bm{V}=(\nabla \cdot (\nabla V_{1}), \nabla \cd...
</tex>
すでに勾配と発散の計算は求めたのですから、ラプラシアンが...
おさらい
--------------------------
このページの結果は、また後でよく使いますから、公式として...
<tex>
\displaystyle h_{ij}^{2}={\partial x_{1}\over \partial q_...
{\partial x_{1}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{2}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{2}\over \partial q_{j}}
+{\partial x_{3}\over \partial q_{i}}
{\partial x_{3}\over \partial q_{j}}
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \phi =\bigg({\partial \phi \over \pa...
,\ {\partial \phi \over \partial s_{2}}
,\ {\partial \phi \over \partial s_{3}}
\bigg)=\bigg({1\over h_{1}}
{\partial \phi \over \partial q_{1}}
,\ {1\over h_{2}}
{\partial \phi \over \partial q_{2}}
,\ {1\over h_{3}}
{\partial \phi \over \partial h_{3}}
\bigg)
</tex>
<tex>
\displaystyle \nabla \cdot V={1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial (V_{1}h_{2}h_{3})\over \partial q_{1}}
+{\partial (V_{2}h_{3}h_{1})\over \partial q_{2}}
+{\partial (V_{3}h_{1}h_{2})\over \partial q_{3}}
\bigg]
</tex>
<tex>
\nabla \times {\boldmath V}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}}
\left|
\begin{array}{ccc}
h_{1}{\boldmath e}_1 & h_{2}{\boldmath e}_2 & h_{3}{\bold...
\frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partia...
h_{1} V_1 & h_{2} V_2 & h_{3} V_3 \\
\end{array}
\right|
</tex>
<tex>
\triangle \phi =\nabla \cdot (\nabla \phi) =
{1\over h_{1}h_{2}h_{3}}
\bigg[{\partial \over \partial q_{1}}
(\frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}}{\partial \phi \over \partial...
+{\partial \over \partial q_{2}}
(\frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}}{\partial \phi \over \part...
+{\partial \over \partial q_{3}}
(\frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}}{\partial \phi \over \part...
\bigg]
</tex>
.. _行列式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/deter...
.. _ベクトル解析: http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/ma...
@@author:Joh@@
@@accept:2005-01-23@@
@@category:物理数学@@
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