記事ソース/状態数Ωと分配関数Zの関係
をテンプレートにして作成
査読
rst2hooktail
進行表
執筆中
かぎマニュ
物理のかぎプロジェクト
トップ
最近の更新
ヘルプ
開始行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
状態数Ωと分配関数Zの関係
=========================================================...
この記事ではミクロカノニカル集合で扱われる状態数Ωと、
カノニカル集合で扱われる分配関数の関係を求めます。
その方法は、エントロピーSを両方で求めて、
イコールと置くだけです。
ミクロカノニカル集合(ΩとS)
===============================
これは有名なボルツマンの式です。
えいっ!
<tex>
S = k_B \log \Omega \tag{##}
</tex>
カノニカル集合(ZとS)
===============================
これは少し考えないといけません。$\beta = \dfrac{1}{k_B T}...
<tex>
\langle E \rangle &= \dfrac{\sum_i E_i e^{- \beta E_i}}{\...
&= - \dfrac{\partial}{\partial \beta} \log Z \tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
F = - \dfrac{1}{\beta} \log Z \tag{##}
</tex>
でした。よって、
<tex>
S = \dfrac{\langle E \rangle - F}{T} \tag{##}
</tex>
を利用すればよく、
<tex>
S &= k_B\dfrac{\langle E \rangle - F}{k_B T} \\
&= k_B \beta ( - \dfrac{\partial}{\partial \beta} + \dfra...
&= k_B( 1 -\beta \dfrac{\partial}{\partial \beta}) \log Z...
&= - k_B \beta^2 \dfrac{\partial}{\partial \beta} \left( ...
</tex>
となります。ここで、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \beta} &= \dfrac{\partial T}{\p...
&= -\dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \...
</tex>
を利用すれば、
<tex>
S &= k_B \beta^2 \dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{...
&= - \dfrac{\partial}{\partial T} \left( - \dfrac{1}{\bet...
&= -\dfrac{\partial}{\partial T} F \tag{##}
</tex>
なんだ、これは $dF = -SdT- pdV$ から求まる結果と一致しま...
<tex>
S = - \left( \dfrac{\partial F}{\partial T} \right)_V \ta...
</tex>
です。
まとめ
===========================
これで、両手法でエントロピー $S$ が求まりました。イコール...
<tex>
S = k_B \log \Omega = \dfrac{\partial}{\partial T} \left(...
</tex>
これが、求めたかった $Z$ と $\Omega$ の関係です。
込み入った計算の結果の割には美しいと思います。
それでは、今回はこの辺で、お疲れ様でした。
追記:この後勉強していたら、この話題にぶつかりました。実...
では、 $k_B T \dfrac{\partial \log Z}{\partial T}$ は無視
して、 $S = k_B \log \Omega = k_B \log Z$ としてしまって...
参考文献として、Kerson Huang著 "Statistical Mechanics" Se...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-12-22@@
@@category:統計力学@@
@@id:distFuncAndStaNum@@
終了行:
#rst2hooktail_source
=========================================================...
状態数Ωと分配関数Zの関係
=========================================================...
この記事ではミクロカノニカル集合で扱われる状態数Ωと、
カノニカル集合で扱われる分配関数の関係を求めます。
その方法は、エントロピーSを両方で求めて、
イコールと置くだけです。
ミクロカノニカル集合(ΩとS)
===============================
これは有名なボルツマンの式です。
えいっ!
<tex>
S = k_B \log \Omega \tag{##}
</tex>
カノニカル集合(ZとS)
===============================
これは少し考えないといけません。$\beta = \dfrac{1}{k_B T}...
<tex>
\langle E \rangle &= \dfrac{\sum_i E_i e^{- \beta E_i}}{\...
&= - \dfrac{\partial}{\partial \beta} \log Z \tag{##}
</tex>
であり、
<tex>
F = - \dfrac{1}{\beta} \log Z \tag{##}
</tex>
でした。よって、
<tex>
S = \dfrac{\langle E \rangle - F}{T} \tag{##}
</tex>
を利用すればよく、
<tex>
S &= k_B\dfrac{\langle E \rangle - F}{k_B T} \\
&= k_B \beta ( - \dfrac{\partial}{\partial \beta} + \dfra...
&= k_B( 1 -\beta \dfrac{\partial}{\partial \beta}) \log Z...
&= - k_B \beta^2 \dfrac{\partial}{\partial \beta} \left( ...
</tex>
となります。ここで、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial \beta} &= \dfrac{\partial T}{\p...
&= -\dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{\partial T} \...
</tex>
を利用すれば、
<tex>
S &= k_B \beta^2 \dfrac{1}{k_B \beta^2} \dfrac{\partial}{...
&= - \dfrac{\partial}{\partial T} \left( - \dfrac{1}{\bet...
&= -\dfrac{\partial}{\partial T} F \tag{##}
</tex>
なんだ、これは $dF = -SdT- pdV$ から求まる結果と一致しま...
<tex>
S = - \left( \dfrac{\partial F}{\partial T} \right)_V \ta...
</tex>
です。
まとめ
===========================
これで、両手法でエントロピー $S$ が求まりました。イコール...
<tex>
S = k_B \log \Omega = \dfrac{\partial}{\partial T} \left(...
</tex>
これが、求めたかった $Z$ と $\Omega$ の関係です。
込み入った計算の結果の割には美しいと思います。
それでは、今回はこの辺で、お疲れ様でした。
追記:この後勉強していたら、この話題にぶつかりました。実...
では、 $k_B T \dfrac{\partial \log Z}{\partial T}$ は無視
して、 $S = k_B \log \Omega = k_B \log Z$ としてしまって...
参考文献として、Kerson Huang著 "Statistical Mechanics" Se...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-12-22@@
@@category:統計力学@@
@@id:distFuncAndStaNum@@
ページ名:
Modified by
物理のかぎプロジェクト
PukiWiki 1.4.6
Copyright © 2001-2005
PukiWiki Developers Team
. License is
GPL
.
Based on "PukiWiki" 1.3 by
yu-ji
Powered by PHP 5.3.29 HTML convert time to 0.002 sec.