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剰余類2
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この記事では、 剰余類_ で勉強した、部分群に対する群の指数...
指数の定理
---------------------------------------------------------
群 $G$ の部分群 $H$ が、さらに部分群 $K$ を持つ場合を考え...
<tex>
G \supset H \supset K
</tex>
このとき、指数について次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
$|G:K|=|G:H||H:K|$
まるで分数の計算のような美しい定理です。いずれ部分群の列 ...
.. admonition:: proof
群 $G$ が $H$ によって $G=a_{1}H+a_{2}H+....+a_{n}H$ と...
この定理を使えば ラグランジェの定理_ が一発で証明できます。
合同
---------------------------------------------------------
群を類別したとき、同じ類に含まれる元が同値関係にあること...
群 $G$ の元 $x,y$ が、 $x^{-1}y \in H$ を満たすとき、『 $...
<tex>
x,y \in G, \ x^{-1}y \in H \ \Longleftrightarrow \ x \sim...
</tex>
ここで $\sim$ の記号を使いましたが、次節に示すように $x$ ...
同値関係
----------------------------------------------
この関係が本当に同値関係になっているのか、反射律、対称律...
1. $x^{-1}x = e \in H$ となって、確かに反射律はなりたち...
2. $x^{-1}y\in H$ ならば $H$ は逆元を持ちますので $(x^{-...
3. $x^{-1}y \in H, \ y^{-1}z \in H$ ならば $(x^{-1}y)(y^...
このように、 *一つの部分群を決めると、その部分群をめぐっ...
<tex>
C_{a}=\{ x \in G |a^{-1}x \in H \} \tag{2}
</tex>
ところで $C_{a}$ の元は $a^{-1}x=y \in H$ と置くと、両辺...
<tex>
C_{a}=aH=\{ ah | h \in H\} \tag{3}
</tex>
群 $G$ の $H$ による剰余類といったとき、式 $(2)$ で書いて...
加法群の場合
--------------------------------------------------------
式 $(1)$ をもう一度考えます。
<tex>
x \sim y(H) \ \longleftrightarrow \ x^{-1}y \in H \tag{4}
</tex>
もし $G$ が加群ならば $x^{-1}=-x$ ですので、次のように書...
<tex>
x \sim y(H) \ \longleftrightarrow \ -x+y \in H \tag{5}
</tex>
このときの剰余類は $a+H$ の形になります。元が部分群に関し...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Remainder2@@
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#rst2hooktail_source
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剰余類2
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この記事では、 剰余類_ で勉強した、部分群に対する群の指数...
指数の定理
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群 $G$ の部分群 $H$ が、さらに部分群 $K$ を持つ場合を考え...
<tex>
G \supset H \supset K
</tex>
このとき、指数について次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
$|G:K|=|G:H||H:K|$
まるで分数の計算のような美しい定理です。いずれ部分群の列 ...
.. admonition:: proof
群 $G$ が $H$ によって $G=a_{1}H+a_{2}H+....+a_{n}H$ と...
この定理を使えば ラグランジェの定理_ が一発で証明できます。
合同
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群を類別したとき、同じ類に含まれる元が同値関係にあること...
群 $G$ の元 $x,y$ が、 $x^{-1}y \in H$ を満たすとき、『 $...
<tex>
x,y \in G, \ x^{-1}y \in H \ \Longleftrightarrow \ x \sim...
</tex>
ここで $\sim$ の記号を使いましたが、次節に示すように $x$ ...
同値関係
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この関係が本当に同値関係になっているのか、反射律、対称律...
1. $x^{-1}x = e \in H$ となって、確かに反射律はなりたち...
2. $x^{-1}y\in H$ ならば $H$ は逆元を持ちますので $(x^{-...
3. $x^{-1}y \in H, \ y^{-1}z \in H$ ならば $(x^{-1}y)(y^...
このように、 *一つの部分群を決めると、その部分群をめぐっ...
<tex>
C_{a}=\{ x \in G |a^{-1}x \in H \} \tag{2}
</tex>
ところで $C_{a}$ の元は $a^{-1}x=y \in H$ と置くと、両辺...
<tex>
C_{a}=aH=\{ ah | h \in H\} \tag{3}
</tex>
群 $G$ の $H$ による剰余類といったとき、式 $(2)$ で書いて...
加法群の場合
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式 $(1)$ をもう一度考えます。
<tex>
x \sim y(H) \ \longleftrightarrow \ x^{-1}y \in H \tag{4}
</tex>
もし $G$ が加群ならば $x^{-1}=-x$ ですので、次のように書...
<tex>
x \sim y(H) \ \longleftrightarrow \ -x+y \in H \tag{5}
</tex>
このときの剰余類は $a+H$ の形になります。元が部分群に関し...
.. _剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Remainder/
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: Remainder2@@
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