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商体
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商体とは呼んで名のごとく、分数で作った体です。
ある整域 $Z$ にたいし、 $Z$ の元 $x,y$ を分母と分子に組み...
例えば、任意の有理数は既約な整数 $p,q$ によって $\frac{p}...
定義は簡単だったと思います。まず、この集合が体になること...
体になること
------------------------------------------------------
ポイントは、 $\frac{p}{q}$ の形をした分数が、全て商体は含...
1. $\frac{p}{q} \pm \frac{r}{s}= \frac{ps \pm rq}{qs}$ ...
2. 同様に、乗法 $\frac{p}{q} \frac{r}{s}= \frac{pr}{qs}$...
3. $\frac{r}{s} \ (r,s \ne 0)$ に対して $\frac{s}{r}$ と...
商体を作るもとの集合を整域としたのは、一般の環では零因子...
より抽象的な定義
-------------------------------------------------------
もっと難しい議論に備えて、もう少し定義を抽象化しておきま...
まず、整域 $Z$ の直積集合 $Z \times Z$ を考えます。 $Z \t...
<tex>
ab'=a'b \ \Longleftrightarrow \ (a,b) \sim (a',b')
</tex>
.. [*] この同値関係によって、約分して同じになる $\frac{4}...
この同値関係を使って $Z \times Z$ の元を類別できますから...
<tex>
\phi : \ [a,b] \in {Z^{2}}_{(x,y)} \ \ \longmapsto \ \ X_...
</tex>
この写像は一対一の単射だとします。また、 $F$ の元には、次...
<tex>
X_{[a,b]}+X_{[c,d]}=X_{[ad+bc,bd]} \tag{1}
</tex>
<tex>
X_{[a,b]}X_{[c,d]}=X_{[ac,bd]} \tag{2}
</tex>
加法の零元は $X_{[0,1]}$ 、乗法の単位元は $X_{[1,1]}$ で...
.. [*] 式 $(1)$ と式 $(2)$ を最初に見せられて、これが加法...
次に、整域 $Z$ から体 $F$ への写像を次のように定めてみま...
<tex>
\psi : \psi (a) = X_{[a,e]} \ \ (a \in Z, \ \phi (a) \i...
</tex>
この写像は一対一に像が決まりますから単射で、しかも加法と...
<tex>
\psi (a+b) = \psi (a) + \psi (b)
</tex>
<tex>
\psi (ab) = \psi (a) \psi (b)
</tex>
いま、整域 $Z$ に対応する $F$ の元として、 $[a,e]$ のよう...
ここまでの議論を踏まえ、次の二つの条件を満たす集合を商体...
1. 整域 $Z$ と体 $F$ に対し、ある単射の準同型写像 $\psi :...
2. 一般に $F$ の元は、整域の元 $(a,b)$ と写像 $\psi$ を使...
大事な定理
---------------------------------------------------------
体の拡大に関連して、商体の概念が出てくる定理を一つ紹介し...
.. admonition:: theorem
整域 $Z$ を含む体の中で最小のものは、 $Z$ の商体です。
.. admonition:: proof
整域 $Z$ を含む体を $F$ とします。 $Z \subset F$ 。 $F$ ...
単に分数を集めただけに見えた商体ですが、この定理は体の拡...
.. admonition:: theorem
整数環を含む最小の体は、有理数体です。
次の定理は、 素体_ の記事で定理の証明に使いますので、ここ...
.. admonition:: theorem
整域 $Z,Z'$ が同型ならば、商体 $F,F'$ も同型になります。
.. admonition:: proof
同型写像 $f: Z \longmapsto Z'$ に対し、 $F$ から $F'$ へ...
.. _素体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/PrimeFiled/
.. _整数の加法群の剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _部分体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SubRingS...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-25@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuotinentField@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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商体
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商体とは呼んで名のごとく、分数で作った体です。
ある整域 $Z$ にたいし、 $Z$ の元 $x,y$ を分母と分子に組み...
例えば、任意の有理数は既約な整数 $p,q$ によって $\frac{p}...
定義は簡単だったと思います。まず、この集合が体になること...
体になること
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ポイントは、 $\frac{p}{q}$ の形をした分数が、全て商体は含...
1. $\frac{p}{q} \pm \frac{r}{s}= \frac{ps \pm rq}{qs}$ ...
2. 同様に、乗法 $\frac{p}{q} \frac{r}{s}= \frac{pr}{qs}$...
3. $\frac{r}{s} \ (r,s \ne 0)$ に対して $\frac{s}{r}$ と...
商体を作るもとの集合を整域としたのは、一般の環では零因子...
より抽象的な定義
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もっと難しい議論に備えて、もう少し定義を抽象化しておきま...
まず、整域 $Z$ の直積集合 $Z \times Z$ を考えます。 $Z \t...
<tex>
ab'=a'b \ \Longleftrightarrow \ (a,b) \sim (a',b')
</tex>
.. [*] この同値関係によって、約分して同じになる $\frac{4}...
この同値関係を使って $Z \times Z$ の元を類別できますから...
<tex>
\phi : \ [a,b] \in {Z^{2}}_{(x,y)} \ \ \longmapsto \ \ X_...
</tex>
この写像は一対一の単射だとします。また、 $F$ の元には、次...
<tex>
X_{[a,b]}+X_{[c,d]}=X_{[ad+bc,bd]} \tag{1}
</tex>
<tex>
X_{[a,b]}X_{[c,d]}=X_{[ac,bd]} \tag{2}
</tex>
加法の零元は $X_{[0,1]}$ 、乗法の単位元は $X_{[1,1]}$ で...
.. [*] 式 $(1)$ と式 $(2)$ を最初に見せられて、これが加法...
次に、整域 $Z$ から体 $F$ への写像を次のように定めてみま...
<tex>
\psi : \psi (a) = X_{[a,e]} \ \ (a \in Z, \ \phi (a) \i...
</tex>
この写像は一対一に像が決まりますから単射で、しかも加法と...
<tex>
\psi (a+b) = \psi (a) + \psi (b)
</tex>
<tex>
\psi (ab) = \psi (a) \psi (b)
</tex>
いま、整域 $Z$ に対応する $F$ の元として、 $[a,e]$ のよう...
ここまでの議論を踏まえ、次の二つの条件を満たす集合を商体...
1. 整域 $Z$ と体 $F$ に対し、ある単射の準同型写像 $\psi :...
2. 一般に $F$ の元は、整域の元 $(a,b)$ と写像 $\psi$ を使...
大事な定理
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体の拡大に関連して、商体の概念が出てくる定理を一つ紹介し...
.. admonition:: theorem
整域 $Z$ を含む体の中で最小のものは、 $Z$ の商体です。
.. admonition:: proof
整域 $Z$ を含む体を $F$ とします。 $Z \subset F$ 。 $F$ ...
単に分数を集めただけに見えた商体ですが、この定理は体の拡...
.. admonition:: theorem
整数環を含む最小の体は、有理数体です。
次の定理は、 素体_ の記事で定理の証明に使いますので、ここ...
.. admonition:: theorem
整域 $Z,Z'$ が同型ならば、商体 $F,F'$ も同型になります。
.. admonition:: proof
同型写像 $f: Z \longmapsto Z'$ に対し、 $F$ から $F'$ へ...
.. _素体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/PrimeFiled/
.. _整数の加法群の剰余類: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _部分体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SubRingS...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-25@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuotinentField@@
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