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#rst2hooktail_source
====================================
商群
====================================
正規部分群と群から、剰余類を集めた集合が群になります。こ...
正規部分群の演算
------------------------------------------------
群 $G$ と、その正規部分群 $H$ を考えます。 $H$ の、 $G$ ...
<tex>
(aH)(bH) \ \rightarrow \ abH \tag{1}
</tex>
この演算が確かに一意的だという証明に、 $H$ が正規部分群だ...
<tex>
ah_{1}bh_{2}&=ah_{1}b(aa^{-1})h_{2} \\
&=ah_{1}a^{-1}abh_{2} \\
&=(ah_{1}a^{-1})h_{2}ab
</tex>
ここで、定義より $ah_{1}a^{-1} \in H$ ですから、これに $h...
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正規部分群 $H$ には、次の演算規則が導入できます。可換だと...
1. $aHbH=abH$
2. $aHa^{-1}H=H$
3. $(aHbH)cH=abHcH=abcH$
商群
--------------------------------------------
群 $G$ の一つの正規部分群を $H$ とします。このとき、 $G$ ...
<tex>
G/H = \{H,a_{1}H,a_{2}H,... \}
</tex>
一般の商集合は群にはなりませんが、 $H$ が正規部分群ならば...
.. [*] 商群の単位元は $H$ だという点に注意してください。
.. [*] 商群の各元は $aH$ のような形をしています。 準同型...
位数の関係
------------------------------------------
有限群 $G$ の商群 $G/H$ は、 $G$ の剰余類の集合です。 $G$...
<tex>
|G/H| \leq |G| \tag{1}
</tex>
さらに、 ラグランジェの定理_ より次の関係も言えるでしょう。
<tex>
|G|=|H||G:H|=|H||G/H| \tag{2}
</tex>
商群の位数は、常に群の位数の約数になっているということで...
整数の加群 $Z$ の商群
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
練習問題として整数の加群 $Z$ を考えてみます。 $Z$ に対し...
<tex>
nZ=\{ ...,-2n,-n,0,n,2n,...\} \subset Z
</tex>
いま、 $Z$ は $n$ の剰余で類別できます。剰余類は $[m]$ の...
<tex>
Z=[0]+[1]+[2]+...+[n-1]
</tex>
商群は、この剰余類を元とする集合 $\{[0],[1],...,[n-1] \}...
例えば、 $5$ の剰余類を考えているとき、 $[2]=\{...,-8,-3,...
<tex>
[k] + [l] = [k+l] \ {\rm mod.} n
</tex>
この演算規則は、 $n$ 次の巡回群に成り立つものと全く同じも...
.. _完全代表系と商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _有限巡回群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Fini...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuotientGroup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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商群
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正規部分群と群から、剰余類を集めた集合が群になります。こ...
正規部分群の演算
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群 $G$ と、その正規部分群 $H$ を考えます。 $H$ の、 $G$ ...
<tex>
(aH)(bH) \ \rightarrow \ abH \tag{1}
</tex>
この演算が確かに一意的だという証明に、 $H$ が正規部分群だ...
<tex>
ah_{1}bh_{2}&=ah_{1}b(aa^{-1})h_{2} \\
&=ah_{1}a^{-1}abh_{2} \\
&=(ah_{1}a^{-1})h_{2}ab
</tex>
ここで、定義より $ah_{1}a^{-1} \in H$ ですから、これに $h...
まとめ
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正規部分群 $H$ には、次の演算規則が導入できます。可換だと...
1. $aHbH=abH$
2. $aHa^{-1}H=H$
3. $(aHbH)cH=abHcH=abcH$
商群
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群 $G$ の一つの正規部分群を $H$ とします。このとき、 $G$ ...
<tex>
G/H = \{H,a_{1}H,a_{2}H,... \}
</tex>
一般の商集合は群にはなりませんが、 $H$ が正規部分群ならば...
.. [*] 商群の単位元は $H$ だという点に注意してください。
.. [*] 商群の各元は $aH$ のような形をしています。 準同型...
位数の関係
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有限群 $G$ の商群 $G/H$ は、 $G$ の剰余類の集合です。 $G$...
<tex>
|G/H| \leq |G| \tag{1}
</tex>
さらに、 ラグランジェの定理_ より次の関係も言えるでしょう。
<tex>
|G|=|H||G:H|=|H||G/H| \tag{2}
</tex>
商群の位数は、常に群の位数の約数になっているということで...
整数の加群 $Z$ の商群
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
練習問題として整数の加群 $Z$ を考えてみます。 $Z$ に対し...
<tex>
nZ=\{ ...,-2n,-n,0,n,2n,...\} \subset Z
</tex>
いま、 $Z$ は $n$ の剰余で類別できます。剰余類は $[m]$ の...
<tex>
Z=[0]+[1]+[2]+...+[n-1]
</tex>
商群は、この剰余類を元とする集合 $\{[0],[1],...,[n-1] \}...
例えば、 $5$ の剰余類を考えているとき、 $[2]=\{...,-8,-3,...
<tex>
[k] + [l] = [k+l] \ {\rm mod.} n
</tex>
この演算規則は、 $n$ 次の巡回群に成り立つものと全く同じも...
.. _完全代表系と商集合: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _有限巡回群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Fini...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
.. _ラグランジェの定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuotientGroup@@
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