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重心を求める
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重心について、少し書こうと思います。重心という概念は直感...
本稿では、まず質点系の重心を求め、次に剛体の重心を求めま...
重心
---------------------------------------------------------...
重心という概念は直感的にも非常に分かりやすいので、くどく...
質点系の重心
------------------------------------------------------
まずは物体がたくさんの質点の集まりである場合を考えてみま...
.. image:: Joh-CG1.gif
質点には重力のみがかかっているとします。もしこの物体を原...
1. まず、質点にかかる力を全部合わせただけの力を感じるはず...
(質点にかかる重力は赤い矢印で示してあります。)
2. 各質点は原点から離れたところにあるので、
原点にはトルクも働きます。重さとは別に、"ねじられるよ...
左の図の原点で、この物体を支えている人が感じている力およ...
.. [*] トルクというのは、物体を回そうとする作用のことです...
これから行う計算は二つです。
1. 上左の図の赤い矢印を全部足したものが、上右の図の赤い矢...
2. 上左の図の青色の矢印と、上右の図の青色の矢印に等しいは...
力の釣り合い
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
まず、上左の図で原点で感じる重力と、上右の図で原点で感じ...
<tex>
(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6})g = Mg
</tex>
両辺で $g$ が共通ですので、割ってしまうと、次の形に帰着し...
<tex>
m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6} = M \tag{1}
</tex>
これで、仮想的な質点の質量 $M$ がわかりました。
トルクの釣り合い
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
次に、トルクの釣り合いを考えてみましょう。物体の座標を $\...
<tex>
(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+m_{4}x_{4}+m_{5}x_{5}+m...
</tex>
ここで $g$ は各項共通なので割ってしまいます。
<tex>
m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+m_{4}x_{4}+m_{5}x_{5}+m_...
</tex>
このようにして、上右図の質点の $x$ 座標 $x_{c}$ が求まり...
.. image:: Joh-CG5.gif
さきほどと同じようにトルクの釣り合いを考えれば、次の式が...
<tex>
m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}+m_{4}y_{4}+m_{5}y_{5}+m_...
</tex>
式(2)と式(3)をまとめてベクトル表記すれば、次のように書け...
<tex>
m_{1}\bm{r}_{1}+m_{2}\bm{r}_{2}+m_{3}\bm{r}_{3}+m_{4}\bm{...
</tex>
これで、上右の図の質点の座標も分かってしまいました。この...
.. [*] 太極拳や形意拳など、"気"の力を重視するような拳法を...
例として、6個質点がある場合を考えていましたが、質点の数が...
<tex>
\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i} = M \tag{5}
</tex>
<tex>
\displaystyle \bm{r}_{c}={\sum \limits _{i}m_{i}\bm{r}_{i...
</tex>
剛体の重心
----------------------------------------------------------
物体が質点の集合ではなく、大きな塊である場合も基本的な考...
<tex>
\displaystyle \intop \limits _{V}\rho dV =M \tag{7}
</tex>
<tex>
\displaystyle \bm{r}_{c}={\intop \limits _{V}\rho \bm{r} ...
</tex>
一つだけ例題を解いてみます。底面の半径 $a$ 、高さ $h$ の...
.. image:: Joh-CG2.gif
重心が $z$ 軸上にあることは対称性から明らかなので、 $z$ ...
<tex>
M=\intop \limits _{V}\rho dV = \frac{1}{3}\rho \pi ha^2 ...
</tex>
微小体積要素としては薄い円盤状の $dV=\pi x^2 dz$ ( $dV=\p...
.. image:: Joh-dV2.gif
重心位置を求める計算は次のようになります。
<tex>
\displaystyle |\bm{r}_{c}| &={\intop \limits _{V}\rho z d...
&={\int _{0}^{h} \rho z \pi \Big( \frac{a(h-z)}{h} \Big)^...
&={\frac{1}{12}\rho \pi h^2 a^2 \over \frac{1}{3}\rho \p...
&=\frac{1}{4}h
\tag{10}
</tex>
円錐の重心は、底面の中心から測って、ちょうど高さの四分の...
オートジャイロの重心を求める
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
重心の位置を正確に求める必要がある実際の例として、オート...
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/varia...
.. _オートジャイロの重心を求める: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-04-30@@
@@category: 力学@@
@@id: CG@@
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重心を求める
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重心について、少し書こうと思います。重心という概念は直感...
本稿では、まず質点系の重心を求め、次に剛体の重心を求めま...
重心
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重心という概念は直感的にも非常に分かりやすいので、くどく...
質点系の重心
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まずは物体がたくさんの質点の集まりである場合を考えてみま...
.. image:: Joh-CG1.gif
質点には重力のみがかかっているとします。もしこの物体を原...
1. まず、質点にかかる力を全部合わせただけの力を感じるはず...
(質点にかかる重力は赤い矢印で示してあります。)
2. 各質点は原点から離れたところにあるので、
原点にはトルクも働きます。重さとは別に、"ねじられるよ...
左の図の原点で、この物体を支えている人が感じている力およ...
.. [*] トルクというのは、物体を回そうとする作用のことです...
これから行う計算は二つです。
1. 上左の図の赤い矢印を全部足したものが、上右の図の赤い矢...
2. 上左の図の青色の矢印と、上右の図の青色の矢印に等しいは...
力の釣り合い
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まず、上左の図で原点で感じる重力と、上右の図で原点で感じ...
<tex>
(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6})g = Mg
</tex>
両辺で $g$ が共通ですので、割ってしまうと、次の形に帰着し...
<tex>
m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6} = M \tag{1}
</tex>
これで、仮想的な質点の質量 $M$ がわかりました。
トルクの釣り合い
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次に、トルクの釣り合いを考えてみましょう。物体の座標を $\...
<tex>
(m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+m_{4}x_{4}+m_{5}x_{5}+m...
</tex>
ここで $g$ は各項共通なので割ってしまいます。
<tex>
m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}+m_{4}x_{4}+m_{5}x_{5}+m_...
</tex>
このようにして、上右図の質点の $x$ 座標 $x_{c}$ が求まり...
.. image:: Joh-CG5.gif
さきほどと同じようにトルクの釣り合いを考えれば、次の式が...
<tex>
m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}+m_{4}y_{4}+m_{5}y_{5}+m_...
</tex>
式(2)と式(3)をまとめてベクトル表記すれば、次のように書け...
<tex>
m_{1}\bm{r}_{1}+m_{2}\bm{r}_{2}+m_{3}\bm{r}_{3}+m_{4}\bm{...
</tex>
これで、上右の図の質点の座標も分かってしまいました。この...
.. [*] 太極拳や形意拳など、"気"の力を重視するような拳法を...
例として、6個質点がある場合を考えていましたが、質点の数が...
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\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i} = M \tag{5}
</tex>
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\displaystyle \bm{r}_{c}={\sum \limits _{i}m_{i}\bm{r}_{i...
</tex>
剛体の重心
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物体が質点の集合ではなく、大きな塊である場合も基本的な考...
<tex>
\displaystyle \intop \limits _{V}\rho dV =M \tag{7}
</tex>
<tex>
\displaystyle \bm{r}_{c}={\intop \limits _{V}\rho \bm{r} ...
</tex>
一つだけ例題を解いてみます。底面の半径 $a$ 、高さ $h$ の...
.. image:: Joh-CG2.gif
重心が $z$ 軸上にあることは対称性から明らかなので、 $z$ ...
<tex>
M=\intop \limits _{V}\rho dV = \frac{1}{3}\rho \pi ha^2 ...
</tex>
微小体積要素としては薄い円盤状の $dV=\pi x^2 dz$ ( $dV=\p...
.. image:: Joh-dV2.gif
重心位置を求める計算は次のようになります。
<tex>
\displaystyle |\bm{r}_{c}| &={\intop \limits _{V}\rho z d...
&={\int _{0}^{h} \rho z \pi \Big( \frac{a(h-z)}{h} \Big)^...
&={\frac{1}{12}\rho \pi h^2 a^2 \over \frac{1}{3}\rho \p...
&=\frac{1}{4}h
\tag{10}
</tex>
円錐の重心は、底面の中心から測って、ちょうど高さの四分の...
オートジャイロの重心を求める
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
重心の位置を正確に求める必要がある実際の例として、オート...
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/varia...
.. _オートジャイロの重心を求める: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-04-30@@
@@category: 力学@@
@@id: CG@@
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