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=====================
斜面をすべる運動
=====================
運動方程式という基本法則を使って,なめらかな斜面をすべる...
これからやることでは,微分積分の考え方を使います.高校で...
斜面と物体
==========
下の図のような状況を考えます.角度 $\theta$ で傾いたなめ...
.. image:: sakima-slope_1.png
で,まずは想像してみます.この物体はこのあとどうなります...
働く力をみつける
================
この物体に働く力を考えます.なによりもさきに思い浮かべな...
.. image:: sakima-slope_2.png
実際には空気にも触れているでしょうが,いまは考えないこと...
座標軸を設定する
================
つぎにすることは,座標軸の設定です.座標は基本的に自由に...
.. image:: sakima-slope_3.png
そしてそれに垂直に $y$ 軸を設定します.
力を座標軸に沿った成分に分解する
===============================
座標軸を決めたので,働く力を軸に沿った成分に分解します....
.. image:: sakima-slope_4.png
図で $x$ 軸と $y$ 軸の交点に $\theta$ とつけていますが,...
y 軸方向には動かない
====================
以上で準備が整いました.あとは数式にしていきます.まずは...
<tex>
N = mg \cos\theta
</tex>
という等式が成り立つのはいいでしょうか.これは垂直抗力の...
x 軸方向には運動方程式
======================
最初にイメージしたように, $x$ 軸方向(斜面に沿った方向)...
<tex>
ma=mg\sin\theta
</tex>
と書けます.ここで加速度 $a$ を微分形で表します. $a$ は...
<tex>
m\frac{d^2x}{dt^2}=mg\sin\theta
</tex>
となり,微分方程式のできあがりです.これがすべてを表現し...
運動方程式を解く
================
物理的なお膳立てが済んだので,機械的に解いていきます.こ...
速度の計算
----------
運動方程式の両辺を $m$ で割ると
<tex>
\frac{d^2x}{dt^2}=g\sin\theta
</tex>
ここで左辺の2階微分はつぎのように書けます.
<tex>
\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=g\sin\theta
</tex>
両辺を時間 $t$ で積分すれば $\frac{dx}{dt}=$ の形になるの...
<tex>
\int d\left(\frac{dx}{dt}\right)=\int g\sin\theta\,dt
</tex>
となります.積分の計算ですが,右辺は定数なので単に $t$ を...
<tex>
\frac{dx}{dt}=g\sin\theta\cdot t+C_1
</tex>
これは $\frac{dx}{dt}=$ になっているので,速度が分かった...
<tex>
v = g\sin\theta\cdot t + C_1 \tag{1}
</tex>
位置の計算
----------
位置 $x$ についても知りたいので,式(1)の両辺をもう1回積分...
<tex>
dx=(g\sin\theta\cdot t+C_1)dt
</tex>
積分の式で書くと
<tex>
\int\,dx=\int(g\sin\theta\cdot t+C_1)\,dt
</tex>
であり、積分計算をすると位置の式がつぎのように表せます。
<tex>
x=\frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+C_1t+C_2 \tag{2}
</tex>
$x=$ になったので位置についても分かりました.これでおしま...
積分定数の意味
==============
積分定数は単なる定数ではなく,物理的な意味をもっています.
速度の式の積分定数
------------------
1つめの積分定数 $C_1$ は, $v=$ の式の右辺にあります.速...
<tex>
v=g\sin\theta\cdot t+C_1
</tex>
によると、 $C_1$ の単位は速度の単位と等しい,ということが...
<tex>
v(0)=g\sin\theta\cdot 0+C_1=C_1
</tex>
となり,ずいぶん簡単になりました. $t=0$ のとき $C_1$ は ...
<tex>
v=g\sin\theta\cdot t+v_0
</tex>
位置の式の積分定数
------------------
2つめの積分定数 $C_2$ は, $x =$ の式の右辺にあり,距離と...
<tex>
x = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+C_1t+C_2
</tex>
によると、 $C_2$ の単位は距離の単位 m(メートル)になるハ...
<tex>
x(0) = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot 0^2+v_0\cdot 0+C_2 = C_2
</tex>
$C_2$ は $t = 0$ のときの位置 $x(0)$ に等しいとなってます...
<tex>
x = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+v_0t+x_0
</tex>
となります.これらは高校物理で習う「等加速度運動の速度の...
.. _`三角比`: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/tri...
.. _`変数分離形`: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-06-07@@
@@category: 力学@@
@@id: slope@@
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#rst2hooktail_source
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斜面をすべる運動
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運動方程式という基本法則を使って,なめらかな斜面をすべる...
これからやることでは,微分積分の考え方を使います.高校で...
斜面と物体
==========
下の図のような状況を考えます.角度 $\theta$ で傾いたなめ...
.. image:: sakima-slope_1.png
で,まずは想像してみます.この物体はこのあとどうなります...
働く力をみつける
================
この物体に働く力を考えます.なによりもさきに思い浮かべな...
.. image:: sakima-slope_2.png
実際には空気にも触れているでしょうが,いまは考えないこと...
座標軸を設定する
================
つぎにすることは,座標軸の設定です.座標は基本的に自由に...
.. image:: sakima-slope_3.png
そしてそれに垂直に $y$ 軸を設定します.
力を座標軸に沿った成分に分解する
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座標軸を決めたので,働く力を軸に沿った成分に分解します....
.. image:: sakima-slope_4.png
図で $x$ 軸と $y$ 軸の交点に $\theta$ とつけていますが,...
y 軸方向には動かない
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以上で準備が整いました.あとは数式にしていきます.まずは...
<tex>
N = mg \cos\theta
</tex>
という等式が成り立つのはいいでしょうか.これは垂直抗力の...
x 軸方向には運動方程式
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最初にイメージしたように, $x$ 軸方向(斜面に沿った方向)...
<tex>
ma=mg\sin\theta
</tex>
と書けます.ここで加速度 $a$ を微分形で表します. $a$ は...
<tex>
m\frac{d^2x}{dt^2}=mg\sin\theta
</tex>
となり,微分方程式のできあがりです.これがすべてを表現し...
運動方程式を解く
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物理的なお膳立てが済んだので,機械的に解いていきます.こ...
速度の計算
----------
運動方程式の両辺を $m$ で割ると
<tex>
\frac{d^2x}{dt^2}=g\sin\theta
</tex>
ここで左辺の2階微分はつぎのように書けます.
<tex>
\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=g\sin\theta
</tex>
両辺を時間 $t$ で積分すれば $\frac{dx}{dt}=$ の形になるの...
<tex>
\int d\left(\frac{dx}{dt}\right)=\int g\sin\theta\,dt
</tex>
となります.積分の計算ですが,右辺は定数なので単に $t$ を...
<tex>
\frac{dx}{dt}=g\sin\theta\cdot t+C_1
</tex>
これは $\frac{dx}{dt}=$ になっているので,速度が分かった...
<tex>
v = g\sin\theta\cdot t + C_1 \tag{1}
</tex>
位置の計算
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位置 $x$ についても知りたいので,式(1)の両辺をもう1回積分...
<tex>
dx=(g\sin\theta\cdot t+C_1)dt
</tex>
積分の式で書くと
<tex>
\int\,dx=\int(g\sin\theta\cdot t+C_1)\,dt
</tex>
であり、積分計算をすると位置の式がつぎのように表せます。
<tex>
x=\frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+C_1t+C_2 \tag{2}
</tex>
$x=$ になったので位置についても分かりました.これでおしま...
積分定数の意味
==============
積分定数は単なる定数ではなく,物理的な意味をもっています.
速度の式の積分定数
------------------
1つめの積分定数 $C_1$ は, $v=$ の式の右辺にあります.速...
<tex>
v=g\sin\theta\cdot t+C_1
</tex>
によると、 $C_1$ の単位は速度の単位と等しい,ということが...
<tex>
v(0)=g\sin\theta\cdot 0+C_1=C_1
</tex>
となり,ずいぶん簡単になりました. $t=0$ のとき $C_1$ は ...
<tex>
v=g\sin\theta\cdot t+v_0
</tex>
位置の式の積分定数
------------------
2つめの積分定数 $C_2$ は, $x =$ の式の右辺にあり,距離と...
<tex>
x = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+C_1t+C_2
</tex>
によると、 $C_2$ の単位は距離の単位 m(メートル)になるハ...
<tex>
x(0) = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot 0^2+v_0\cdot 0+C_2 = C_2
</tex>
$C_2$ は $t = 0$ のときの位置 $x(0)$ に等しいとなってます...
<tex>
x = \frac{1}{2}g\sin\theta\cdot t^2+v_0t+x_0
</tex>
となります.これらは高校物理で習う「等加速度運動の速度の...
.. _`三角比`: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/tri...
.. _`変数分離形`: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-06-07@@
@@category: 力学@@
@@id: slope@@
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