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四次方程式
=========================================================...
二次方程式、三次方程式に引き続き、四次方程式も考えてみま...
四次方程式
=====================================================
次の形の四次方程式の解を考えます。係数 $p,q,r,s$ は体 $F$...
<tex>
f(x)=x^{4} -px^{3} +qx^{2} -rx +s = 0 \tag{1}
</tex>
体 $F$ は $1$ の四乗根を全て含むものとし、 $f(x)$ の最小...
<tex>
\{ e\} \subset K \subset N \subset A_{4} \subset S_{4} \t...
</tex>
一応、それぞれの群の要素を書き出しておきます。それぞれ正...
<tex>
S_{4} = \{
& e , (1 \ 2), (1 \ 3), (1 \ 4), (2 \ 3) ,(2 \ 4), (3 \...
& (1 \ 2)(1 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(1 \ 4), (1 \ 3)...
& (2 \ 3)(1 \ 2), (2 \ 3)(1 \ 3), (2 \ 3)(2 \ 4), (2 \ 3)...
& (1 \ 2)(1 \ 3)(1 \ 4), (1 \ 2)(2 \ 3 )(3 \ 4), (1 \ 3)(...
& (2 \ 3)(1 \ 3)(1 \ 4), (2 \ 3)(3 \ 4)(1 \ 4) \}
</tex>
<tex>
A_{4} = \{
& e , (1 \ 2)(1 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(1 \ 4), (1 ...
& (2 \ 3)(1 \ 2), (2 \ 3)(1 \ 3), (2 \ 3)(2 \ 4), (2 \ 3)...
</tex>
<tex>
N = \{ e , (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(2 \ 4), (1 \ 4)(2 \ 3...
</tex>
<tex>
K = \{ e , (1 \ 2)(3 \ 4) \}
</tex>
念のため、 $S_{4}$ が可解群であることを確認してみましょう...
<tex>
E \supset B_{3} \supset B_{2} \supset B_{1} \supset F \t...
</tex>
ここで、交代群 $A_{4}$ によって、次式で定義される $\Delta...
<tex>
\Delta = (\alpha _{1} -\alpha _{2}) (\alpha _{1} -\alpha ...
</tex>
.. [*] 蛇足ですが、 $\Delta ^{2}$ は $S_{4}$ で不動ですの...
群 $N$ によって不動に保たれるのは、次のような元です。
<tex>
\theta _{1} = \alpha _{1} \alpha _{2} + \alpha _{3} \alph...
</tex>
<tex>
\theta _{2} = \alpha _{1} \alpha _{3} + \alpha _{2} \alph...
</tex>
<tex>
\theta _{3} = \alpha _{1} \alpha _{4} + \alpha _{2} \alph...
</tex>
群 $N$ の元は $\theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}$ を...
<tex>
B_{2} = F( \theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}) \tag{6}
</tex>
この $\theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}$ を使って、...
<tex>
(x-\theta _{1})(x- \theta _{2} )(x- \theta _{3}) = x^{3} ...
</tex>
ただし、式中の係数は次のように置いています。
<tex>
P = \theta _{1}+ \theta _{2} + \theta _{3} = q \tag{8-1}
</tex>
<tex>
Q &= \theta _{1} \theta _{2} + \theta _{2} \theta _{3} +...
&= pr - 4s \tag{8-2}
</tex>
<tex>
R &= \theta _{1}\theta _{2} \theta _{3} \\
&= s(p^{2} -4q) +r^{2} \tag{8-3}
</tex>
右辺二行目の $p,q,r,s$ による表現では、解と係数の関係を使...
<tex>
p = \alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \alpha _{4}...
</tex>
<tex>
q &= \alpha _{1}\alpha _{2} + \alpha _{2}\alpha _{4} + \a...
</tex>
<tex>
r = \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{4} + \alpha _{1}\alpha...
+\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4} + \alpha _{1}\alpha _{...
\tag{9-3}
</tex>
<tex>
s = \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4} \tag{9-4}
</tex>
方程式 $(7)$ の解は $B_{2}$ の解ですが、 $S_{4}$ によって...
<tex>
\xi _{1} &= \alpha _{1} + \alpha _{2} - \alpha _{3} -\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{2}) - p \tag{10-1}
</tex>
<tex>
\xi _{2} &= \alpha _{1} - \alpha _{2} + \alpha _{3} -\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{3}) - p \tag{10-2}
</tex>
<tex>
\xi _{3} &= \alpha _{1} - \alpha _{2} - \alpha _{3} +\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{4}) - p \tag{10-3}
</tex>
この $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ と式 $(9-1)$ によって、...
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{4}(p + \xi _{1} + \xi _{2} + \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{4}(p + \xi _{1} - \xi _{2} - \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{4}(p - \xi _{1} + \xi _{2} - \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{4} = \frac{1}{4}(p - \xi _{1} - \xi _{2} + \xi _...
</tex>
あとは $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ を $p,q,r,s$ で表わせ...
<tex>
\xi _{1}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{1} \tag{12-1}
</tex>
<tex>
\xi _{2}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{2} \tag{12-2}
</tex>
<tex>
\xi _{3}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{3} \tag{12-3}
</tex>
式 $(12)$ の平方根を取り、既出の三次分解方程式の解 $\thet...
.. [*] 群 $N$ の元は、 $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ は符...
.. _三次方程式は解ける: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _
.. _二次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Quad...
.. _三次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Cubi...
.. _フェラーリの方法: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuarticEq@@
終了行:
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四次方程式
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二次方程式、三次方程式に引き続き、四次方程式も考えてみま...
四次方程式
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次の形の四次方程式の解を考えます。係数 $p,q,r,s$ は体 $F$...
<tex>
f(x)=x^{4} -px^{3} +qx^{2} -rx +s = 0 \tag{1}
</tex>
体 $F$ は $1$ の四乗根を全て含むものとし、 $f(x)$ の最小...
<tex>
\{ e\} \subset K \subset N \subset A_{4} \subset S_{4} \t...
</tex>
一応、それぞれの群の要素を書き出しておきます。それぞれ正...
<tex>
S_{4} = \{
& e , (1 \ 2), (1 \ 3), (1 \ 4), (2 \ 3) ,(2 \ 4), (3 \...
& (1 \ 2)(1 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(1 \ 4), (1 \ 3)...
& (2 \ 3)(1 \ 2), (2 \ 3)(1 \ 3), (2 \ 3)(2 \ 4), (2 \ 3)...
& (1 \ 2)(1 \ 3)(1 \ 4), (1 \ 2)(2 \ 3 )(3 \ 4), (1 \ 3)(...
& (2 \ 3)(1 \ 3)(1 \ 4), (2 \ 3)(3 \ 4)(1 \ 4) \}
</tex>
<tex>
A_{4} = \{
& e , (1 \ 2)(1 \ 4), (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(1 \ 4), (1 ...
& (2 \ 3)(1 \ 2), (2 \ 3)(1 \ 3), (2 \ 3)(2 \ 4), (2 \ 3)...
</tex>
<tex>
N = \{ e , (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(2 \ 4), (1 \ 4)(2 \ 3...
</tex>
<tex>
K = \{ e , (1 \ 2)(3 \ 4) \}
</tex>
念のため、 $S_{4}$ が可解群であることを確認してみましょう...
<tex>
E \supset B_{3} \supset B_{2} \supset B_{1} \supset F \t...
</tex>
ここで、交代群 $A_{4}$ によって、次式で定義される $\Delta...
<tex>
\Delta = (\alpha _{1} -\alpha _{2}) (\alpha _{1} -\alpha ...
</tex>
.. [*] 蛇足ですが、 $\Delta ^{2}$ は $S_{4}$ で不動ですの...
群 $N$ によって不動に保たれるのは、次のような元です。
<tex>
\theta _{1} = \alpha _{1} \alpha _{2} + \alpha _{3} \alph...
</tex>
<tex>
\theta _{2} = \alpha _{1} \alpha _{3} + \alpha _{2} \alph...
</tex>
<tex>
\theta _{3} = \alpha _{1} \alpha _{4} + \alpha _{2} \alph...
</tex>
群 $N$ の元は $\theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}$ を...
<tex>
B_{2} = F( \theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}) \tag{6}
</tex>
この $\theta _{1}, \theta _{2} , \theta _{3}$ を使って、...
<tex>
(x-\theta _{1})(x- \theta _{2} )(x- \theta _{3}) = x^{3} ...
</tex>
ただし、式中の係数は次のように置いています。
<tex>
P = \theta _{1}+ \theta _{2} + \theta _{3} = q \tag{8-1}
</tex>
<tex>
Q &= \theta _{1} \theta _{2} + \theta _{2} \theta _{3} +...
&= pr - 4s \tag{8-2}
</tex>
<tex>
R &= \theta _{1}\theta _{2} \theta _{3} \\
&= s(p^{2} -4q) +r^{2} \tag{8-3}
</tex>
右辺二行目の $p,q,r,s$ による表現では、解と係数の関係を使...
<tex>
p = \alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} + \alpha _{4}...
</tex>
<tex>
q &= \alpha _{1}\alpha _{2} + \alpha _{2}\alpha _{4} + \a...
</tex>
<tex>
r = \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{4} + \alpha _{1}\alpha...
+\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4} + \alpha _{1}\alpha _{...
\tag{9-3}
</tex>
<tex>
s = \alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\alpha _{4} \tag{9-4}
</tex>
方程式 $(7)$ の解は $B_{2}$ の解ですが、 $S_{4}$ によって...
<tex>
\xi _{1} &= \alpha _{1} + \alpha _{2} - \alpha _{3} -\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{2}) - p \tag{10-1}
</tex>
<tex>
\xi _{2} &= \alpha _{1} - \alpha _{2} + \alpha _{3} -\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{3}) - p \tag{10-2}
</tex>
<tex>
\xi _{3} &= \alpha _{1} - \alpha _{2} - \alpha _{3} +\alp...
&= 2(\alpha _{1} + \alpha _{4}) - p \tag{10-3}
</tex>
この $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ と式 $(9-1)$ によって、...
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{4}(p + \xi _{1} + \xi _{2} + \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{4}(p + \xi _{1} - \xi _{2} - \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{4}(p - \xi _{1} + \xi _{2} - \xi _...
</tex>
<tex>
\alpha _{4} = \frac{1}{4}(p - \xi _{1} - \xi _{2} + \xi _...
</tex>
あとは $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ を $p,q,r,s$ で表わせ...
<tex>
\xi _{1}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{1} \tag{12-1}
</tex>
<tex>
\xi _{2}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{2} \tag{12-2}
</tex>
<tex>
\xi _{3}^{2} =p^{2} - 4q +4\theta _{3} \tag{12-3}
</tex>
式 $(12)$ の平方根を取り、既出の三次分解方程式の解 $\thet...
.. [*] 群 $N$ の元は、 $\xi _{1}, \xi_{2},\xi _{3}$ は符...
.. _三次方程式は解ける: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _
.. _二次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Quad...
.. _三次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Cubi...
.. _フェラーリの方法: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: QuarticEq@@
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