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四次元空間中のベクトルの回転
=========================================================...
この記事では、Joh氏の ベクトルの回転_ を拡張して四次元空...
特殊な場合
=======================
四次元空間中の回転では、回転軸が二つに
なり、 $\bm{\omega}_1,\bm{\omega}_2$ となります。
簡単のため、それらは正規直交化されているものとします。
一番明らかな回転は、回転軸が
<tex>
\bm{\omega}_1=\begin{pmatrix}
\sin \theta \cos \phi \\
\sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta \\
0
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\bm{\omega}_2=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の時です。これは、四番目の次元の方向 $\bm{\omega}_2$ にま...
二次元球面の極座標表示の示す方向に対しても直交する回転で...
つまり、先に言いましたが、四番目の次元方向 $\bm{\omega}_2...
一般化
=======================
Joh氏の ベクトルの回転_ を一般化します。
拡張すべき式は、
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r})\bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
です。四次元の任意のベクトル $\bm{r}$ を
回転軸
<tex>
\bm{\omega}_1 =
\begin{pmatrix}
\omega_{11} \\
\omega_{12} \\
\omega_{13} \\
\omega_{14}
\end{pmatrix}
, \ \ \
\bm{\omega}_2 =
\begin{pmatrix}
\omega_{21} \\
\omega_{22} \\
\omega_{23} \\
\omega_{24}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の周りに角度 $ \eta $ だけ回転した
ベクトルを $ \bm{r}^\prime $ とするのです。
注意深く考えると、回転軸の方向にはいくら回転しても、値が...
よって、その方向の自由度を奪って回転面内のベクトルにして...
<tex>
\bm{\alpha}_1 = \bm{r} - (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm...
\tag{##}
</tex>
を考えれば、回転面内のベクトルで回転の始点となるベクトル
<tex>
\bm{\alpha}_1=
\begin{pmatrix}
\alpha_{11}\\
\alpha_{12}\\
\alpha_{13}\\
\alpha_{14}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ができます。後は、回転面内で $\bm{\alpha}_1$ に直交するベ...
これは次の様に求まります。 $x,y,z,w$ 軸方向の単位ベクトル...
.. [*] 三次元では三つのベクトルに対して右手系と左手系が定...
<tex>
\bm{\alpha}_2 = \begin{vmatrix}
\bm{i} & \bm{j} & \bm{k} & \bm{l} \\
\omega_{11} & \omega_{12} & \omega_{13} & \omega_{14} \\
\omega_{21} & \omega_{22} & \omega_{23} & \omega_{24} \\
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14}
\end{vmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。そんなに怖いものではありません。例えば、 $\bm...
それは、
<tex>
\bm{r}^\prime &= (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}...
[ \bm{r}- (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}_1 - (\...
\begin{vmatrix}
\bm{i} & \bm{j} & \bm{k} & \bm{l} \\
\omega_{11} & \omega_{12} & \omega_{13} & \omega_{14} \\
\omega_{21} & \omega_{22} & \omega_{23} & \omega_{24} \\
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14}
\end{vmatrix} \sin \eta \\
&= (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}_1 + (\bm{\ome...
\pm \bm{\alpha}_2 \sin \eta
\tag{##}
</tex>
となります。
四次元以上への拡張は容易ですね。五次元なら、回転の軸を正...
今日はここまで、お疲れさまでした。
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-04-03@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRotDim4@@
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四次元空間中のベクトルの回転
=========================================================...
この記事では、Joh氏の ベクトルの回転_ を拡張して四次元空...
特殊な場合
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四次元空間中の回転では、回転軸が二つに
なり、 $\bm{\omega}_1,\bm{\omega}_2$ となります。
簡単のため、それらは正規直交化されているものとします。
一番明らかな回転は、回転軸が
<tex>
\bm{\omega}_1=\begin{pmatrix}
\sin \theta \cos \phi \\
\sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta \\
0
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \
\bm{\omega}_2=\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の時です。これは、四番目の次元の方向 $\bm{\omega}_2$ にま...
二次元球面の極座標表示の示す方向に対しても直交する回転で...
つまり、先に言いましたが、四番目の次元方向 $\bm{\omega}_2...
一般化
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Joh氏の ベクトルの回転_ を一般化します。
拡張すべき式は、
<tex>
\bm{r}^\prime = (\bm{n} \cdot \bm{r})\bm{n} + [\bm{r}-(\...
</tex>
です。四次元の任意のベクトル $\bm{r}$ を
回転軸
<tex>
\bm{\omega}_1 =
\begin{pmatrix}
\omega_{11} \\
\omega_{12} \\
\omega_{13} \\
\omega_{14}
\end{pmatrix}
, \ \ \
\bm{\omega}_2 =
\begin{pmatrix}
\omega_{21} \\
\omega_{22} \\
\omega_{23} \\
\omega_{24}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
の周りに角度 $ \eta $ だけ回転した
ベクトルを $ \bm{r}^\prime $ とするのです。
注意深く考えると、回転軸の方向にはいくら回転しても、値が...
よって、その方向の自由度を奪って回転面内のベクトルにして...
<tex>
\bm{\alpha}_1 = \bm{r} - (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm...
\tag{##}
</tex>
を考えれば、回転面内のベクトルで回転の始点となるベクトル
<tex>
\bm{\alpha}_1=
\begin{pmatrix}
\alpha_{11}\\
\alpha_{12}\\
\alpha_{13}\\
\alpha_{14}
\end{pmatrix} \tag{##}
</tex>
ができます。後は、回転面内で $\bm{\alpha}_1$ に直交するベ...
これは次の様に求まります。 $x,y,z,w$ 軸方向の単位ベクトル...
.. [*] 三次元では三つのベクトルに対して右手系と左手系が定...
<tex>
\bm{\alpha}_2 = \begin{vmatrix}
\bm{i} & \bm{j} & \bm{k} & \bm{l} \\
\omega_{11} & \omega_{12} & \omega_{13} & \omega_{14} \\
\omega_{21} & \omega_{22} & \omega_{23} & \omega_{24} \\
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14}
\end{vmatrix}
\tag{##}
</tex>
となります。そんなに怖いものではありません。例えば、 $\bm...
それは、
<tex>
\bm{r}^\prime &= (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}...
[ \bm{r}- (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}_1 - (\...
\begin{vmatrix}
\bm{i} & \bm{j} & \bm{k} & \bm{l} \\
\omega_{11} & \omega_{12} & \omega_{13} & \omega_{14} \\
\omega_{21} & \omega_{22} & \omega_{23} & \omega_{24} \\
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14}
\end{vmatrix} \sin \eta \\
&= (\bm{\omega}_1 \cdot \bm{r}) \bm{\omega}_1 + (\bm{\ome...
\pm \bm{\alpha}_2 \sin \eta
\tag{##}
</tex>
となります。
四次元以上への拡張は容易ですね。五次元なら、回転の軸を正...
今日はここまで、お疲れさまでした。
.. _ベクトルの回転: http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-04-03@@
@@category:ベクトル解析@@
@@id:vectorRotDim4@@
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