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==================================================
三次方程式の解の公式
==================================================
二次方程式の解の公式は学校で必ず習いますが、三次方程式の...
立体完成
--------------------------------------------------
二次方程式を勉強したとき、 *平方完成* という操作がありま...
<tex>
x^{2} + ax +b = 0 & \Leftrightarrow \ \Big(x+{1\over 2} ...
& \Leftrightarrow \ y^{2}+C=0
</tex>
ただし、最後の行では、確かに一次の項が消えてしまったこと...
これと似た操作により、三次式から $x$ の二次の項を表面上消...
<tex>
x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 & \Leftrightarrow \ \Big(x+{1\over 3}
a\Big)^{3}+ \Big( b- \frac{1}{3}a^{2}\Big) \Big( x+\frac{...
& \Leftrightarrow \ y^{3}+3py +2q=0 \tag{1}
</tex>
ただし、最後の行では、見やすくするために、 $x+\frac{1}{3}...
カルダノの公式の歴史1
---------------------------------------------------------...
カルダノの公式と呼ばれる三次方程式の解の公式が発見される...
現在、カルダノの公式と呼ばれている解法は、二コロ・フォン...
.. [*] フォンタナに敬意を表して、カルダノ=タルタリアの公...
.. figure:: Joh-Tartaglia.png
ニコロ・フォンタナ(タルタリア)
カルダノの公式
---------------------------------------------------------...
式(1)からスタートします。
<tex>
y^{3}+3py +2q=0 \tag{1}
</tex>
カルダノ(実はフォンタナ)の方法で秀逸なのは、ここで $y=u+v...
<tex>
y^{3}+3py +2q &=(u+v)^{3} +3p(u+v)+2q \\
&= u^{3} + 3(p+uv)(u+v)+ v^{3} +2q =0 \tag{2}
</tex>
式(2)を成り立たせるには、次の二式が成り立てば良いことが判...
<tex>
u^{3} + v^{3} +2q =0 \tag{3}
</tex>
<tex>
(p+uv)(u+v) =0 \tag{4}
</tex>
.. [*] 式 $(3)(4)$ が成り立つことは、式 $(2)$ がなりたつ...
式(4)の条件は、 $u+v \neq 0$ より、 $uv=-p$ と書き直せま...
<tex>
u^{3} + v^{3} = -2q \tag{5}
</tex>
<tex>
u^{3} v^{3} = -p^{3} \tag{6}
</tex>
式(5)(6)を見て、何かピンと来るでしょうか?式(5)(6)は、 $u...
<tex>
\xi^{2} + 2q \xi -p^{3} =0 \tag{7}
</tex>
これを 二次方程式の解の公式_ を用いて解けば、解として $\x...
<tex>
u^{3} = -q+\sqrt{q^{2}+p^{3}} \tag{8}
</tex>
<tex>
v^{3}= -q-\sqrt{q^{2}+p^{3}} \tag{9}
</tex>
式(8)(9)を解くと、それぞれ三個の三乗根が出てきますが、 $u...
虚数が $i$ 出てくる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ここで、式(8)(9)を解く準備として、最も簡単な次の形の三次...
<tex>
z^{3} =1 \tag{10}
</tex>
これは因数分解可能で、 $(z-1)(z^2 +z +1)=0$ と変形するこ...
<tex>
\omega_{1}=1, \ \omega_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \ \ome...
</tex>
この $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ を使い、一般に ...
<tex>
&u_{1}=\omega_{1} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&u_{2}=\omega_{2} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&u_{3}=\omega_{3} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}
</tex>
同様に、式(9)の三乗根も次のように表わされます。
<tex>
&v_{1}=\omega_{1} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&v_{2}=\omega_{2} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&v_{3}=\omega_{3} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}
</tex>
この中で、 $uv=-p$ を満たす $u+v$ の組み合わせ $y=u+v$ は...
<tex>
&y_{1}=u_{1} + v_{1} \\
&y_{2}=u_{2} + v_{3} \\
&y_{3}=u_{3} + v_{2}
</tex>
立体完成のところで $x+\frac{1}{3}a=y$ と置きましたので、...
<tex>
x_{1}&=u_{1} + v_{1} -\frac{1}{3}a \\
&= \omega_{1} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} + \omega...
&= \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9ab}{54}+\sqrt{( \frac{2...
& + \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}-9ab}{54})-\sqrt{(\frac...
</tex>
<tex>
x_{2}&=u_{2} + v_{3} -\frac{1}{3}a \\
&= \omega_{2} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} + \omega...
&= \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9...
& + \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}...
</tex>
<tex>
x_{3}&=u_{3} + v_{2} -\frac{1}{3}a \\
&= \omega_{3} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} + \omega...
&= \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9...
& + \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}...
</tex>
$x+\frac{1}{3}a=y$ , $b-\frac{1}{3}a^{2} =3p$ , $c+\frac{...
カルダノの公式の歴史2
---------------------------------------------------------...
二次方程式の解の公式が発見されてから、三次方程式の解の公...
カルダノの公式の有用性ゆえに、架空の数としてであれ、人々...
.. [*] 数学史上あまり重要ではないので脚注にしますが、カル...
カルダノの公式の歴史3
---------------------------------------------------------...
カルダノは前出の自著 $Ars \ Magna$ の中で四次方程式の解法...
さて、カルダノの公式の発表以降、当然の流れとして五次以上...
.. figure:: Joh-Abel.gif
ノルウェーの切手にもなっているアーベル
.. figure:: Joh-Galois.png
わずか21歳で決闘に倒れた悲劇の天才・ガロア
.. _平方完成の図形的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _二次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _売ってます: http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-03-28@@
@@category: 代数学@@
@@id:CubicEquation@@
終了行:
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三次方程式の解の公式
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二次方程式の解の公式は学校で必ず習いますが、三次方程式の...
立体完成
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二次方程式を勉強したとき、 *平方完成* という操作がありま...
<tex>
x^{2} + ax +b = 0 & \Leftrightarrow \ \Big(x+{1\over 2} ...
& \Leftrightarrow \ y^{2}+C=0
</tex>
ただし、最後の行では、確かに一次の項が消えてしまったこと...
これと似た操作により、三次式から $x$ の二次の項を表面上消...
<tex>
x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 & \Leftrightarrow \ \Big(x+{1\over 3}
a\Big)^{3}+ \Big( b- \frac{1}{3}a^{2}\Big) \Big( x+\frac{...
& \Leftrightarrow \ y^{3}+3py +2q=0 \tag{1}
</tex>
ただし、最後の行では、見やすくするために、 $x+\frac{1}{3}...
カルダノの公式の歴史1
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カルダノの公式と呼ばれる三次方程式の解の公式が発見される...
現在、カルダノの公式と呼ばれている解法は、二コロ・フォン...
.. [*] フォンタナに敬意を表して、カルダノ=タルタリアの公...
.. figure:: Joh-Tartaglia.png
ニコロ・フォンタナ(タルタリア)
カルダノの公式
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式(1)からスタートします。
<tex>
y^{3}+3py +2q=0 \tag{1}
</tex>
カルダノ(実はフォンタナ)の方法で秀逸なのは、ここで $y=u+v...
<tex>
y^{3}+3py +2q &=(u+v)^{3} +3p(u+v)+2q \\
&= u^{3} + 3(p+uv)(u+v)+ v^{3} +2q =0 \tag{2}
</tex>
式(2)を成り立たせるには、次の二式が成り立てば良いことが判...
<tex>
u^{3} + v^{3} +2q =0 \tag{3}
</tex>
<tex>
(p+uv)(u+v) =0 \tag{4}
</tex>
.. [*] 式 $(3)(4)$ が成り立つことは、式 $(2)$ がなりたつ...
式(4)の条件は、 $u+v \neq 0$ より、 $uv=-p$ と書き直せま...
<tex>
u^{3} + v^{3} = -2q \tag{5}
</tex>
<tex>
u^{3} v^{3} = -p^{3} \tag{6}
</tex>
式(5)(6)を見て、何かピンと来るでしょうか?式(5)(6)は、 $u...
<tex>
\xi^{2} + 2q \xi -p^{3} =0 \tag{7}
</tex>
これを 二次方程式の解の公式_ を用いて解けば、解として $\x...
<tex>
u^{3} = -q+\sqrt{q^{2}+p^{3}} \tag{8}
</tex>
<tex>
v^{3}= -q-\sqrt{q^{2}+p^{3}} \tag{9}
</tex>
式(8)(9)を解くと、それぞれ三個の三乗根が出てきますが、 $u...
虚数が $i$ 出てくる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ここで、式(8)(9)を解く準備として、最も簡単な次の形の三次...
<tex>
z^{3} =1 \tag{10}
</tex>
これは因数分解可能で、 $(z-1)(z^2 +z +1)=0$ と変形するこ...
<tex>
\omega_{1}=1, \ \omega_{2}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \ \ome...
</tex>
この $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ を使い、一般に ...
<tex>
&u_{1}=\omega_{1} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&u_{2}=\omega_{2} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&u_{3}=\omega_{3} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}}
</tex>
同様に、式(9)の三乗根も次のように表わされます。
<tex>
&v_{1}=\omega_{1} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&v_{2}=\omega_{2} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}} \\
&v_{3}=\omega_{3} \root 3\of {-q-\sqrt{q^{2}+p^{3}}}
</tex>
この中で、 $uv=-p$ を満たす $u+v$ の組み合わせ $y=u+v$ は...
<tex>
&y_{1}=u_{1} + v_{1} \\
&y_{2}=u_{2} + v_{3} \\
&y_{3}=u_{3} + v_{2}
</tex>
立体完成のところで $x+\frac{1}{3}a=y$ と置きましたので、...
<tex>
x_{1}&=u_{1} + v_{1} -\frac{1}{3}a \\
&= \omega_{1} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} + \omega...
&= \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9ab}{54}+\sqrt{( \frac{2...
& + \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}-9ab}{54})-\sqrt{(\frac...
</tex>
<tex>
x_{2}&=u_{2} + v_{3} -\frac{1}{3}a \\
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&= \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9...
& + \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}...
</tex>
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x_{3}&=u_{3} + v_{2} -\frac{1}{3}a \\
&= \omega_{3} \root 3\of {-q+\sqrt{q^{2}+p^{3}}} + \omega...
&= \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-\frac{27c+2a^{3}-9...
& + \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \root 3\of {-(\frac{27c+2a^{3}...
</tex>
$x+\frac{1}{3}a=y$ , $b-\frac{1}{3}a^{2} =3p$ , $c+\frac{...
カルダノの公式の歴史2
---------------------------------------------------------...
二次方程式の解の公式が発見されてから、三次方程式の解の公...
カルダノの公式の有用性ゆえに、架空の数としてであれ、人々...
.. [*] 数学史上あまり重要ではないので脚注にしますが、カル...
カルダノの公式の歴史3
---------------------------------------------------------...
カルダノは前出の自著 $Ars \ Magna$ の中で四次方程式の解法...
さて、カルダノの公式の発表以降、当然の流れとして五次以上...
.. figure:: Joh-Abel.gif
ノルウェーの切手にもなっているアーベル
.. figure:: Joh-Galois.png
わずか21歳で決闘に倒れた悲劇の天才・ガロア
.. _平方完成の図形的イメージ: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _二次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _売ってます: http://www.amazon.co.uk/exec/obidos/ASIN/...
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-03-28@@
@@category: 代数学@@
@@id:CubicEquation@@
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