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=========================================================...
三次方程式
=========================================================...
ガロア理論を使って方程式の可解性を考える例として、二次方...
三次方程式を考えてみます。二次方程式よりもずっと複雑にな...
三次方程式
===========================================================
次の形の三次方程式を基本形として考えます。
<tex>
f(x)= x^{3} - px^{2} + qx - r = 0 \tag{1}
</tex>
ここで係数 $p,q,r$ は体 $F$ の元とします。また、 $F$ は $...
.. [*] $1$ の立方根は $1,\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}...
また、 $f(x)$ の最小分解体を $E$ とします。ガロア群 $\cal...
<tex>
\{ e\} \subset A_{3} \subset S_{3} \tag{2}
</tex>
.. [*] 重解を持つなど、方程式によってはガロア群が $S_{3}$...
交代群 $A_{3}$ の位数は $3$ で、 商群_ $S_{3}/A_{3}$ の...
<tex>
E \supset B \supset F \tag{3}
</tex>
ガロア群に正規部分群があり、それに対応して拡大体の昇鎖列...
<tex>
\Delta = (\alpha _{1} - \alpha_{2})(\alpha _{2}- \alpha ...
</tex>
また、 $[B:F]=2$ を思い出せば、 $B= F(\Delta )$ が言えま...
<tex>
L(1,\alpha _{1}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{1}) = \alpha _{1} + \omega \alpha_{2} ...
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{1}) = \alpha _{1} + \omega ^{2}\al...
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{2}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{2}) =\omega ^{2} L(\omega ,\alpha _{1}...
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2} ,\alpha _{2}) =\omega L(\omega ^{2},\alpha...
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{3}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{3}) =\omega L(\omega ,\alpha _{1}) \...
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2} ,\alpha _{3}) =\omega ^{2} L(\omega ^{2},\a...
</tex>
三次方程式の解は、 累開冪拡大体とガロア群の関係_ の式 $(4...
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{1}) + L(\omega ,\a...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{2}) + L(\omega ,\a...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{3}) + L(\omega ,\a...
</tex>
ただし、これではまだ式 $(1)$ の係数だけを使った表現になっ...
まず、解と係数の関係が使えそうです。
<tex>
\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} =p \tag{6-1}
</tex>
<tex>
\alpha _{1}\alpha _{2} + \alpha _{2}\alpha _{3} + \alpha ...
</tex>
<tex>
\alpha _{1} \alpha _{2} \alpha _{3} =r \tag{6-3}
</tex>
また、先ほど定義した $\Delta$ は、 $p,q,r$ を使って次のよ...
<tex>
\Delta ^{2} = -4p^{3}r -27 r^{2} +18pqr -4q^{3} + p^{2}q^...
</tex>
さらに、 $L(\omega , \alpha _{3})^{3}$ と $L(\omega ^{2} ...
<tex>
L(\omega , \alpha _{3})^{3} = p^{3}- \frac{9}{2}(pq-3r) -...
\Delta \tag{8-1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2} , \alpha _{1})^{3} = p^{3}- \frac{9}{2}(pq-...
\Delta \tag{8-2}
</tex>
式 $(6)(7)(8)$ と式 $(5)$ を見比べれば、 $\alpha _{1} , \...
<tex>
\xi _{1} =
\root 3\of {p^{3}- \frac{9}{2}(pq-3r) -\frac{3}{2}i \sqrt...
\sqrt{ -4p^{3}r -27 r^{2} +18pqr -4q^{3} + p^{2}q^{2} }}
</tex>
また、 $\xi _{1}\xi _{2} = p^{2}-3q$ を満たすように、 $\x...
<tex>
L(1,\alpha _{1}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{1}) = \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{1}) = \xi _{2}
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{2}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{2}) = \omega ^{2} \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{2}) =\omega \xi _{2}
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{3}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{3}) =\omega \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{3}) = \omega ^{2} \xi _{2}
</tex>
よって、式 $(1)$ の解は次のように表わせます。
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{3} (p + \xi _{1} + \xi _{2}) \tag{...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{3} (p + \omega ^{2}\xi _{1} + \ome...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{3} (p + \omega \xi _{1} +\omega ^{...
</tex>
.. [*] 特に、 $p=0$ の場合、 カルダノの公式_ に帰着するこ...
練習問題
---------------------------------------------------------...
この記事で考えた方法で、次の三次方程式の解を求めてみて下...
<tex>
x^{3} + 5x^{2} -9x + 3 = 0
</tex>
.. _二次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Qua...
.. _カルダノの公式:
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupSer...
.. _正規部分群の組成列: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _交代群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SymExpre...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
.. _商群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/QuotientGr...
.. _累開冪拡大体とガロア群の関係: http://www12.plala.or.j...
.. _ガロア理論の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/Ga...
.. _ガロア群と可解群: http://www12.plala.or.jp/ksp/Radica...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: CubicEq@@
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#rst2hooktail_source
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三次方程式
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ガロア理論を使って方程式の可解性を考える例として、二次方...
三次方程式を考えてみます。二次方程式よりもずっと複雑にな...
三次方程式
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次の形の三次方程式を基本形として考えます。
<tex>
f(x)= x^{3} - px^{2} + qx - r = 0 \tag{1}
</tex>
ここで係数 $p,q,r$ は体 $F$ の元とします。また、 $F$ は $...
.. [*] $1$ の立方根は $1,\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}...
また、 $f(x)$ の最小分解体を $E$ とします。ガロア群 $\cal...
<tex>
\{ e\} \subset A_{3} \subset S_{3} \tag{2}
</tex>
.. [*] 重解を持つなど、方程式によってはガロア群が $S_{3}$...
交代群 $A_{3}$ の位数は $3$ で、 商群_ $S_{3}/A_{3}$ の...
<tex>
E \supset B \supset F \tag{3}
</tex>
ガロア群に正規部分群があり、それに対応して拡大体の昇鎖列...
<tex>
\Delta = (\alpha _{1} - \alpha_{2})(\alpha _{2}- \alpha ...
</tex>
また、 $[B:F]=2$ を思い出せば、 $B= F(\Delta )$ が言えま...
<tex>
L(1,\alpha _{1}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{1}) = \alpha _{1} + \omega \alpha_{2} ...
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{1}) = \alpha _{1} + \omega ^{2}\al...
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{2}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{2}) =\omega ^{2} L(\omega ,\alpha _{1}...
</tex>
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L(\omega ^{2} ,\alpha _{2}) =\omega L(\omega ^{2},\alpha...
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{3}) = \alpha _{1}+\alpha_{2}+\alpha _{3} \t...
</tex>
<tex>
L(\omega ,\alpha _{3}) =\omega L(\omega ,\alpha _{1}) \...
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2} ,\alpha _{3}) =\omega ^{2} L(\omega ^{2},\a...
</tex>
三次方程式の解は、 累開冪拡大体とガロア群の関係_ の式 $(4...
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{1}) + L(\omega ,\a...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{2}) + L(\omega ,\a...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{3}(L(1,\alpha _{3}) + L(\omega ,\a...
</tex>
ただし、これではまだ式 $(1)$ の係数だけを使った表現になっ...
まず、解と係数の関係が使えそうです。
<tex>
\alpha _{1} + \alpha _{2} + \alpha _{3} =p \tag{6-1}
</tex>
<tex>
\alpha _{1}\alpha _{2} + \alpha _{2}\alpha _{3} + \alpha ...
</tex>
<tex>
\alpha _{1} \alpha _{2} \alpha _{3} =r \tag{6-3}
</tex>
また、先ほど定義した $\Delta$ は、 $p,q,r$ を使って次のよ...
<tex>
\Delta ^{2} = -4p^{3}r -27 r^{2} +18pqr -4q^{3} + p^{2}q^...
</tex>
さらに、 $L(\omega , \alpha _{3})^{3}$ と $L(\omega ^{2} ...
<tex>
L(\omega , \alpha _{3})^{3} = p^{3}- \frac{9}{2}(pq-3r) -...
\Delta \tag{8-1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2} , \alpha _{1})^{3} = p^{3}- \frac{9}{2}(pq-...
\Delta \tag{8-2}
</tex>
式 $(6)(7)(8)$ と式 $(5)$ を見比べれば、 $\alpha _{1} , \...
<tex>
\xi _{1} =
\root 3\of {p^{3}- \frac{9}{2}(pq-3r) -\frac{3}{2}i \sqrt...
\sqrt{ -4p^{3}r -27 r^{2} +18pqr -4q^{3} + p^{2}q^{2} }}
</tex>
また、 $\xi _{1}\xi _{2} = p^{2}-3q$ を満たすように、 $\x...
<tex>
L(1,\alpha _{1}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{1}) = \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{1}) = \xi _{2}
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{2}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{2}) = \omega ^{2} \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{2}) =\omega \xi _{2}
</tex>
<tex>
L(1,\alpha _{3}) = p
</tex>
<tex>
L(\omega,\alpha _{3}) =\omega \xi _{1}
</tex>
<tex>
L(\omega ^{2},\alpha _{3}) = \omega ^{2} \xi _{2}
</tex>
よって、式 $(1)$ の解は次のように表わせます。
<tex>
\alpha _{1} = \frac{1}{3} (p + \xi _{1} + \xi _{2}) \tag{...
</tex>
<tex>
\alpha _{2} = \frac{1}{3} (p + \omega ^{2}\xi _{1} + \ome...
</tex>
<tex>
\alpha _{3} = \frac{1}{3} (p + \omega \xi _{1} +\omega ^{...
</tex>
.. [*] 特に、 $p=0$ の場合、 カルダノの公式_ に帰着するこ...
練習問題
---------------------------------------------------------...
この記事で考えた方法で、次の三次方程式の解を求めてみて下...
<tex>
x^{3} + 5x^{2} -9x + 3 = 0
</tex>
.. _二次方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Qua...
.. _カルダノの公式:
.. _こちら: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupSer...
.. _正規部分群の組成列: http://www12.plala.or.jp/ksp/alge...
.. _交代群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/SymExpre...
.. _対称群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Symmetri...
.. _商群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/QuotientGr...
.. _累開冪拡大体とガロア群の関係: http://www12.plala.or.j...
.. _ガロア理論の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/Ga...
.. _ガロア群と可解群: http://www12.plala.or.jp/ksp/Radica...
@@author:Joh@@
@@accept: 2007-03-03@@
@@category: 代数学@@
@@id: CubicEq@@
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