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=========================================================...
三次元の調和関数(極座標表示)
=========================================================...
三次元の調和関数について書いてある文書を見つけられなかっ...
どうやら、簡単な事なのでわざわざ文書にする人がいらっしゃ...
球面調和関数については既知とします。
二次元の調和関数
=====================
二次元の調和関数といえば、複素関数論から $ \dfrac{\partia...
(ただ、筆者はそうして得られる関数が、ラプラシアンをとる...
極座標を基にした三次元の調和関数
======================================
極座標での三次元調和関数 $f(r,\theta,\phi)$ の定義を、一...
それは、
<tex>
\triangle f = 0 \tag{##}
</tex>
であり、極座標では、
<tex>
\left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left(...
</tex>
となります。これを解くには、動径方向の式と角度方向の式に...
<tex>
\Lambda =
\dfrac{1}{\sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} ...
</tex>
すると、 $Y_{\ell m}$ は
<tex>
\Lambda Y_{\ell m} = -\ell(\ell+1) Y_{\ell m} \tag{##}
</tex>
と言う固有値方程式を満たします。式 $(2)$ の解を $f = R(r)...
<tex>
\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \d...
</tex>
となります。これに $\dfrac{r^2}{RY}$ をかけて、
<tex>
\dfrac{1}{R} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfr...
</tex>
となり、式 $(4)$ を使って整理すれば、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{...
</tex>
が得られます。カッコを展開すると、
<tex>
R^{\prime \prime} + \dfrac{2}{r}R^{\prime} - \dfrac{\ell(...
</tex>
に帰着します。さて、これは簡単な微分方程式です。 $R(r)=r^...
<tex>
&n(n-1)r^{n-2} + 2 n r^{n-2} - \ell(\ell+1)r^{n-2} = 0 \\
&(n-\ell)(n+(\ell+1))r^{n-2} = 0 \tag{##}
</tex>
となるので、 $n = \ell,-\ell-1$ と定まります。
よって、まとめると、定数 $A_{\ell m},B_{\ell m}$ を用いて、
<tex>
f = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \lef...
</tex>
と求まりました。それでは今日はこの辺で。お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-03-05@@
@@category:物理数学@@
@@id:harmonicFunc@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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三次元の調和関数(極座標表示)
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三次元の調和関数について書いてある文書を見つけられなかっ...
どうやら、簡単な事なのでわざわざ文書にする人がいらっしゃ...
球面調和関数については既知とします。
二次元の調和関数
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二次元の調和関数といえば、複素関数論から $ \dfrac{\partia...
(ただ、筆者はそうして得られる関数が、ラプラシアンをとる...
極座標を基にした三次元の調和関数
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極座標での三次元調和関数 $f(r,\theta,\phi)$ の定義を、一...
それは、
<tex>
\triangle f = 0 \tag{##}
</tex>
であり、極座標では、
<tex>
\left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left(...
</tex>
となります。これを解くには、動径方向の式と角度方向の式に...
<tex>
\Lambda =
\dfrac{1}{\sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} ...
</tex>
すると、 $Y_{\ell m}$ は
<tex>
\Lambda Y_{\ell m} = -\ell(\ell+1) Y_{\ell m} \tag{##}
</tex>
と言う固有値方程式を満たします。式 $(2)$ の解を $f = R(r)...
<tex>
\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \d...
</tex>
となります。これに $\dfrac{r^2}{RY}$ をかけて、
<tex>
\dfrac{1}{R} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfr...
</tex>
となり、式 $(4)$ を使って整理すれば、
<tex>
\dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{...
</tex>
が得られます。カッコを展開すると、
<tex>
R^{\prime \prime} + \dfrac{2}{r}R^{\prime} - \dfrac{\ell(...
</tex>
に帰着します。さて、これは簡単な微分方程式です。 $R(r)=r^...
<tex>
&n(n-1)r^{n-2} + 2 n r^{n-2} - \ell(\ell+1)r^{n-2} = 0 \\
&(n-\ell)(n+(\ell+1))r^{n-2} = 0 \tag{##}
</tex>
となるので、 $n = \ell,-\ell-1$ と定まります。
よって、まとめると、定数 $A_{\ell m},B_{\ell m}$ を用いて、
<tex>
f = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \lef...
</tex>
と求まりました。それでは今日はこの辺で。お疲れさまでした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2019-03-05@@
@@category:物理数学@@
@@id:harmonicFunc@@
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