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三角関数の微分2
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三角関数の微分1_ でイメージをとらえたので,今度は解析的に...
<tex>
\frac{df(x)}{dx} =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
</tex>
を使います.この定義から素直に考えるだけです.
sin関数の導関数
-----------------
導関数の定義において, $f(x)$ を $\sin(x)$ に置き換えると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)...
</tex>
です.ここからどうしたらいいでしょうか.
三角関数に慣れている人なら,つぎの公式が思い浮かぶでしょ...
<tex>
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
</tex>
三角関数同士の足し算を積にする関係式です.微分積分の計算...
三角関数の足し算を積に変えたり,その逆をしてみるとうまく...
というわけで積の形に変形してみます.
<tex>
\sin(x+h)-\sin(x) &= 2\cos\frac{(x+h)+(x)}{2}\sin\frac{(x...
&= 2\cos\frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}\\
&= 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\...
</tex>
したがって,導関数の定義の式は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{2\cos\left(x+\dfr...
</tex>
となり,分子が積の形になりました.分母分子を2で割ると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
&= \lim_{h\to 0} \frac{\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\s...
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \frac{\s...
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \l...
</tex>
ここで $h\to 0$ の極限にもって行けば導関数が得られます.
$h\to 0$ のとき $\dfrac{h}{2}\to 0$ になるのはいいですよ...
分子がゼロになるのだから分数全体でもゼロです.ですから
<tex>
\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)=\cos(x)
</tex>
です. $\sin$ の方の極限ですが,
<tex>
\lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}=1
</tex>
となるのは良いでしょうか.
この証明ははさみうちの方法で行いますが,ここでは公式とし...
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \l...
&= \cos(x)\cdot 1\\
&= \cos(x)
</tex>
となり, $\sin(x)$ の導関数が $\cos(x)$ であることが導か...
cos関数の導関数
-------------------
$\cos$ 関数の導関数も同様の方法で導くことができます.
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x)
&= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)...
&= \lim_{h\to 0} \frac{-\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\...
&= -\sin(x)\cdot 1\\
&= -\sin(x)
</tex>
したがって, $\cos(x)$ の導関数が $-\sin(x)$ であることが...
2階微分したらどうなる?
-------------------------
三角関数の導関数は重要な性質をもちます.それは,2階微分す...
符号だけ反転するという性質です.つまり,
<tex>
\frac{d^2}{dx^2}\sin(x) &= \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\\
\frac{d^2}{dx^2}\cos(x) &= \frac{d}{dx}\{-\sin(x)\}=-\cos...
</tex>
ということです.実数の範囲では,このような性質をもつ関数...
この性質により,三角関数は単振動の方程式
<tex>
\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega^2 x
</tex>
の解になっています.上式に $x=\sin(\omega t),\, x=\cos(\o...
代入して計算すると両辺が等しくなるので,確かに解(特解)...
.. _三角関数の微分1: ../trifuncDiff1/
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-26@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trifuncDiff2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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三角関数の微分2
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三角関数の微分1_ でイメージをとらえたので,今度は解析的に...
<tex>
\frac{df(x)}{dx} =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
</tex>
を使います.この定義から素直に考えるだけです.
sin関数の導関数
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導関数の定義において, $f(x)$ を $\sin(x)$ に置き換えると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)...
</tex>
です.ここからどうしたらいいでしょうか.
三角関数に慣れている人なら,つぎの公式が思い浮かぶでしょ...
<tex>
\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
</tex>
三角関数同士の足し算を積にする関係式です.微分積分の計算...
三角関数の足し算を積に変えたり,その逆をしてみるとうまく...
というわけで積の形に変形してみます.
<tex>
\sin(x+h)-\sin(x) &= 2\cos\frac{(x+h)+(x)}{2}\sin\frac{(x...
&= 2\cos\frac{2x+h}{2}\sin\frac{h}{2}\\
&= 2\cos\left(x+\frac{h}{2}\right)\sin\...
</tex>
したがって,導関数の定義の式は
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x) =\lim_{h\to 0}\frac{2\cos\left(x+\dfr...
</tex>
となり,分子が積の形になりました.分母分子を2で割ると
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
&= \lim_{h\to 0} \frac{\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\s...
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \frac{\s...
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \l...
</tex>
ここで $h\to 0$ の極限にもって行けば導関数が得られます.
$h\to 0$ のとき $\dfrac{h}{2}\to 0$ になるのはいいですよ...
分子がゼロになるのだから分数全体でもゼロです.ですから
<tex>
\lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)=\cos(x)
</tex>
です. $\sin$ の方の極限ですが,
<tex>
\lim_{h\to 0}\frac{\sin\dfrac{h}{2}}{\dfrac{h}{2}}=1
</tex>
となるのは良いでしょうか.
この証明ははさみうちの方法で行いますが,ここでは公式とし...
<tex>
\frac{d}{dx}\sin(x)
&= \lim_{h\to 0}\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right) \cdot \l...
&= \cos(x)\cdot 1\\
&= \cos(x)
</tex>
となり, $\sin(x)$ の導関数が $\cos(x)$ であることが導か...
cos関数の導関数
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$\cos$ 関数の導関数も同様の方法で導くことができます.
<tex>
\frac{d}{dx}\cos(x)
&= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\\
&= \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)...
&= \lim_{h\to 0} \frac{-\sin\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\...
&= -\sin(x)\cdot 1\\
&= -\sin(x)
</tex>
したがって, $\cos(x)$ の導関数が $-\sin(x)$ であることが...
2階微分したらどうなる?
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三角関数の導関数は重要な性質をもちます.それは,2階微分す...
符号だけ反転するという性質です.つまり,
<tex>
\frac{d^2}{dx^2}\sin(x) &= \frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\\
\frac{d^2}{dx^2}\cos(x) &= \frac{d}{dx}\{-\sin(x)\}=-\cos...
</tex>
ということです.実数の範囲では,このような性質をもつ関数...
この性質により,三角関数は単振動の方程式
<tex>
\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega^2 x
</tex>
の解になっています.上式に $x=\sin(\omega t),\, x=\cos(\o...
代入して計算すると両辺が等しくなるので,確かに解(特解)...
.. _三角関数の微分1: ../trifuncDiff1/
@@author: 崎間@@
@@accept: 2004-07-26@@
@@category: 物理数学@@
@@id:trifuncDiff2@@
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