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==================================
最速降下曲線
==================================
最速降下曲線というのは、曲線に沿って物を転がしたときに、...
歴史的背景
-----------------------------------
この問題はなかなか由緒正しい問題です。古代ギリシャの数学...
ベルヌーイの話が長くなりました。最速降下曲線問題の話に戻...
... in the midst of the hurry of the great recoinage, did...
しかしニュートンも名誉欲や権勢欲の大変強い人で、自分の日...
最速降下曲線を求める
---------------------------------------------------------...
前置きが大変長くなりましたが、計算に入ります。 変分法1_ ...
最終的に求めたいのは関数形 $y(x)$ ですが、変分法の問題で...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx \tag{1}
</tex>
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{2}
</tex>
説明の中に $y(x)$ と $f(x,y,y')$ と $I[y]$ が一度に出てく...
具体的にこの問題では、求めたい曲線の関数形を $y(x)$ とし...
.. image:: Joh-brachisto.gif
汎関数をうまく表現する
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
玉が転がるのにかかる時間 $T$ を積分の形で表すことから始め...
<tex>
\displaystyle T=\int _{t_{a}}^{t_{b}} dt \tag{3}
</tex>
この $dt$ を上手く $x$ 、 $y$ 、 $y'$ で表したいですね。...
<tex>
\displaystyle ds=\sqrt{dx^2+dy^2}= \sqrt {1+\Big({dy\over...
\Big)^{2}}dx \tag{4}
</tex>
それから、玉の速度 $v$ は曲線の上で距離を時間で微分すれば...
<tex>\displaystyle v={ds\over dt}
={ds\over dx}{dx\over dt}=\sqrt {1+\Big({dy\over dx}
\Big)^{2}}{dx\over dt} \tag{5}
</tex>
なんだか $ds$ とか $dx$ とかがたくさん出てきましたが、式(...
<tex>
\displaystyle T =\int _{t_{a}}^{t_{b}} dt = \int _{x_{a}}...
=\int _{0}^{x}{\sqrt {1+\Big({dy\over dx}
\Big)^{2}}\over v}
dx \tag{6}
</tex>
だんだん右辺がそれらしくなってきました。ところで玉には重...
<tex>\displaystyle T=\int _{0}^{x}\sqrt {1+\Big({dy\over ...
\Big)^{2}\over 2gy}dx
=\int _{0}^{x}\sqrt {1+y'^{2}\over 2gy}dx \tag{7}
</tex>
積分の中身は $y$ と $y'$ だけの関数になっていますから、見...
オイラー方程式を解く
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
この問題の汎関数が式(7)のように求まったので、次にいよいよ...
<tex>
f-y' \Big( \frac{\partial f}{\partial y'} \Big) =C \tag...
</tex>
ここに先ほどの $f$ を代入します。
<tex>
\sqrt {1+y'^{2}\over 2gy} - y' \Big({y' \over \sqrt{2gy(1...
</tex>
両辺を二乗すると次の形に整理できます。右辺は定数なので、 ...
<tex>
y \Big( 1+y'^2 \Big) = \frac{1}{2gC^2} = 2A \tag{10}
</tex>
式(10)を次のように変形します。
<tex>
y' =\sqrt{ { 2A - y \over y } } \tag{11}
</tex>
いま、曲線の定義域としては $y \geq 0$ を考えています。ま...
<tex>
y=A-A\cos \theta \tag{12}
</tex>
また、式(12)を両辺微分すれば次のようになります。これはち...
<tex>
dy=A\sin \theta d\theta = 2A\cos \frac{\theta}{2} \sin \f...
</tex>
さて、この $y$ のパラメーター表示を使うと、式(11)は次のよ...
<tex>
y' &=\sqrt{ { 2A - y \over y } } \\
&=\sqrt{ { A + A\cos \theta \over A-A\cos \theta} } \\
&=\sqrt{ { \cos^{2} \frac{\theta}{2} \over \sin^{2} \frac...
&=\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \ta...
</tex>
両辺に $dx$ を掛けて、次のように書いておきます。
<tex>
dy= \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} d...
</tex>
方針が見えてきましたでしょうか?式(13)と式(15)を連立して...
<tex>
dx=2A\sin^{2} \frac{\theta}{2} d\theta =A(1-\cos \theta) ...
</tex>
両辺積分を積分して、 $x$ のパラメーター表示も無事に出てき...
<tex>
x=A(\theta -\sin \theta) + D
</tex>
ここで $D$ は積分定数ですが、いま初期条件として $\theta=0...
<tex>
x= A(\theta - \sin \theta) \tag{12}
</tex>
<tex>
y= A(1 - \cos \theta) \tag{16}
</tex>
この表式を見て、曲線の様子が想像できますか?実は、この $x...
.. image:: cycloid-joh.gif
以上で、最速降下曲線はサイクロイドだということが分かりま...
最速降下曲線の例
---------------------------------------------------------
例として、ロンドンと東京を最速降下曲線でできたトンネルで...
地球を平らだと見なすのは幾らなんでもあんまりなので、地面...
.. image:: Joh-LondonTokyo3.gif
式(7)から時間 $T$ を求めます。ここで $y'=\frac{dy}{dx}=\f...
<tex>
\displaystyle T&=\int _{London}^{Tokyo}\sqrt {1+y'^{2}\ov...
&=\int _{0}^{2\pi}\sqrt {1+\Big( \frac{\sin \theta}{1-\c...
\over 2g\Big( A (1-\cos \theta) \Big)}\Big( A(1-\cos \the...
&=\sqrt{\frac{A}{g}} \int _{0}^{2\pi} d\theta \\
&= \sqrt{\frac{A}{g}} 2\pi
</tex>
図を見れば $\theta = \pi$ のとき $x= 2A \pi =8690 {\rm [k...
等時性について
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
補足ですが、このサイクロイドトンネルには、斜面のどこから...
英語で何というか
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
より詳しく洋書や海外のサイトで勉強する人のために、キーワ...
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _変分法2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _サイクロイド振り子: http://www12.plala.or.jp/ksp/mech...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-03-28@@
@@category: 物理数学@@
@@id:brachisto@@
終了行:
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最速降下曲線
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最速降下曲線というのは、曲線に沿って物を転がしたときに、...
歴史的背景
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この問題はなかなか由緒正しい問題です。古代ギリシャの数学...
ベルヌーイの話が長くなりました。最速降下曲線問題の話に戻...
... in the midst of the hurry of the great recoinage, did...
しかしニュートンも名誉欲や権勢欲の大変強い人で、自分の日...
最速降下曲線を求める
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前置きが大変長くなりましたが、計算に入ります。 変分法1_ ...
最終的に求めたいのは関数形 $y(x)$ ですが、変分法の問題で...
<tex>
\displaystyle I[y]\equiv \int _{a}^{b}f(x,y,y')dx \tag{1}
</tex>
<tex>
\displaystyle {\partial f\over \partial y}
-{d\over dx}
\Big({\partial f\over \partial y'}
\Big)=0 \tag{2}
</tex>
説明の中に $y(x)$ と $f(x,y,y')$ と $I[y]$ が一度に出てく...
具体的にこの問題では、求めたい曲線の関数形を $y(x)$ とし...
.. image:: Joh-brachisto.gif
汎関数をうまく表現する
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玉が転がるのにかかる時間 $T$ を積分の形で表すことから始め...
<tex>
\displaystyle T=\int _{t_{a}}^{t_{b}} dt \tag{3}
</tex>
この $dt$ を上手く $x$ 、 $y$ 、 $y'$ で表したいですね。...
<tex>
\displaystyle ds=\sqrt{dx^2+dy^2}= \sqrt {1+\Big({dy\over...
\Big)^{2}}dx \tag{4}
</tex>
それから、玉の速度 $v$ は曲線の上で距離を時間で微分すれば...
<tex>\displaystyle v={ds\over dt}
={ds\over dx}{dx\over dt}=\sqrt {1+\Big({dy\over dx}
\Big)^{2}}{dx\over dt} \tag{5}
</tex>
なんだか $ds$ とか $dx$ とかがたくさん出てきましたが、式(...
<tex>
\displaystyle T =\int _{t_{a}}^{t_{b}} dt = \int _{x_{a}}...
=\int _{0}^{x}{\sqrt {1+\Big({dy\over dx}
\Big)^{2}}\over v}
dx \tag{6}
</tex>
だんだん右辺がそれらしくなってきました。ところで玉には重...
<tex>\displaystyle T=\int _{0}^{x}\sqrt {1+\Big({dy\over ...
\Big)^{2}\over 2gy}dx
=\int _{0}^{x}\sqrt {1+y'^{2}\over 2gy}dx \tag{7}
</tex>
積分の中身は $y$ と $y'$ だけの関数になっていますから、見...
オイラー方程式を解く
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この問題の汎関数が式(7)のように求まったので、次にいよいよ...
<tex>
f-y' \Big( \frac{\partial f}{\partial y'} \Big) =C \tag...
</tex>
ここに先ほどの $f$ を代入します。
<tex>
\sqrt {1+y'^{2}\over 2gy} - y' \Big({y' \over \sqrt{2gy(1...
</tex>
両辺を二乗すると次の形に整理できます。右辺は定数なので、 ...
<tex>
y \Big( 1+y'^2 \Big) = \frac{1}{2gC^2} = 2A \tag{10}
</tex>
式(10)を次のように変形します。
<tex>
y' =\sqrt{ { 2A - y \over y } } \tag{11}
</tex>
いま、曲線の定義域としては $y \geq 0$ を考えています。ま...
<tex>
y=A-A\cos \theta \tag{12}
</tex>
また、式(12)を両辺微分すれば次のようになります。これはち...
<tex>
dy=A\sin \theta d\theta = 2A\cos \frac{\theta}{2} \sin \f...
</tex>
さて、この $y$ のパラメーター表示を使うと、式(11)は次のよ...
<tex>
y' &=\sqrt{ { 2A - y \over y } } \\
&=\sqrt{ { A + A\cos \theta \over A-A\cos \theta} } \\
&=\sqrt{ { \cos^{2} \frac{\theta}{2} \over \sin^{2} \frac...
&=\frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} \ta...
</tex>
両辺に $dx$ を掛けて、次のように書いておきます。
<tex>
dy= \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} d...
</tex>
方針が見えてきましたでしょうか?式(13)と式(15)を連立して...
<tex>
dx=2A\sin^{2} \frac{\theta}{2} d\theta =A(1-\cos \theta) ...
</tex>
両辺積分を積分して、 $x$ のパラメーター表示も無事に出てき...
<tex>
x=A(\theta -\sin \theta) + D
</tex>
ここで $D$ は積分定数ですが、いま初期条件として $\theta=0...
<tex>
x= A(\theta - \sin \theta) \tag{12}
</tex>
<tex>
y= A(1 - \cos \theta) \tag{16}
</tex>
この表式を見て、曲線の様子が想像できますか?実は、この $x...
.. image:: cycloid-joh.gif
以上で、最速降下曲線はサイクロイドだということが分かりま...
最速降下曲線の例
---------------------------------------------------------
例として、ロンドンと東京を最速降下曲線でできたトンネルで...
地球を平らだと見なすのは幾らなんでもあんまりなので、地面...
.. image:: Joh-LondonTokyo3.gif
式(7)から時間 $T$ を求めます。ここで $y'=\frac{dy}{dx}=\f...
<tex>
\displaystyle T&=\int _{London}^{Tokyo}\sqrt {1+y'^{2}\ov...
&=\int _{0}^{2\pi}\sqrt {1+\Big( \frac{\sin \theta}{1-\c...
\over 2g\Big( A (1-\cos \theta) \Big)}\Big( A(1-\cos \the...
&=\sqrt{\frac{A}{g}} \int _{0}^{2\pi} d\theta \\
&= \sqrt{\frac{A}{g}} 2\pi
</tex>
図を見れば $\theta = \pi$ のとき $x= 2A \pi =8690 {\rm [k...
等時性について
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補足ですが、このサイクロイドトンネルには、斜面のどこから...
英語で何というか
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より詳しく洋書や海外のサイトで勉強する人のために、キーワ...
.. _ここ: http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/peop...
.. _変分法1: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _変分法2: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/vari...
.. _サイクロイド振り子: http://www12.plala.or.jp/ksp/mech...
@@author:Joh@@
@@accept: 2005-03-28@@
@@category: 物理数学@@
@@id:brachisto@@
ページ名:
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