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高校数学で空気抵抗ありの落下運動
=================================
日本の高校で行われている物理の授業では、物体の落下につい...
発展的な話題として空気抵抗が取り上げられたとしても、落下...
だけど空気抵抗があるときの落下運動というのは、Newtonも著...
そして高校で習う数学の知識だけでも、速さに比例する空気抵...
せっかくならば、たくさん時間が経過した後の速度を求めるだ...
ちなみに、同じ問題を大学では 微分方程式を使って解きます_ 。
本質的にやっていることは一緒なのですが、微分方程式を使う...
ここでは、高校で習う数学の知識だけで求める…というお遊びで...
.. [*] 空気抵抗を考えているときに落下し始めてから“たくさ...
.. [*] なお高校で習う数学の知識といっているのは、「等比数...
状況設定
------------------------------
落下している物体に働く空気抵抗は、いろいろなパターンを考...
だけど、解析しやすいものといえば、速さの1乗に比例する空気...
そこで、ここでも速さの1乗に比例する空気抵抗を考えたいと思...
比例定数を $k\,(k>0)$ と書くことにしましょう。空気抵抗の...
<tex>
|f|=k|v|
</tex>
ということになります。 $v$ と書いたのは物体の速度です。
位置も速度も力の向きも、すべて下方向を正の方向だと決めま...
このページ内では、下向きを正とします。
.. image:: yamamoto-rakka-fig2.png
運動方程式は…
^^^^^^^^^^^^^^^^
考えている物体の質量を $m$ と書くことにしますと、Newtonの...
<tex>
ma=mg-kv
</tex>
となります。
力 $F$ の部分は重力 $mg$ と空気抵抗 $|f|=k|v|$ を足し算し...
力の向きに注意しましょう。 重力は下向きだから、正。
空気抵抗は速度と逆向きにかかります。だから $kv$ の前にマ...
たくさん時間が経った後の速度(終端速度)
-------------------------------------------
落下し始めたときは、空気抵抗の大きさと重力の大きさは違う...
だけど、たくさん時間が経った後には、空気抵抗と重力がちょ...
<tex>
0=mg-kv_\infty
</tex>
ということ。 $v_\infty$ というのは、“たくさん(= $\infty$ ...
この式で $kv_\infty$ を左辺に移項して、両辺を $k$ で割り...
<tex>
v_\infty=\frac{mg}{k}
</tex>
ですね。
物体はこの速度に達したら、それ以上は加速も減速もせず、等...
(これが、雨粒が驚異的な速さで落下してこないことの説明にな...
さて、それではこれだけで満足せずに、速度が始めの状態から ...
速度の時間変化を求める
------------------------
先ほど状況設定に従って、運動方程式を求めました。
<tex>
ma=mg-kv
</tex>
運動方程式は、物体がどんな運動を行うのか教えてくれます。...
加速度って…
^^^^^^^^^^^^^^
運動方程式の左辺に加速度 $a$ が現れています。
加速度とは、ある時間が経って速度がどれだけの割合で変化し...
つまり、時刻 $t=0$ のときの速度を $v_0$ 、時刻 $t=\Delta ...
<tex>
a=\frac{v_1-v_0}{\Delta t}
</tex>
となります。これを時刻 $t=0$ での加速度として、 $a_0$ と...
<tex>
a_0 = \frac{v_1-v_0}{\Delta t}
</tex>
ということです。
さらに同じように、時刻 $t=\Delta t$ のときの加速度を $a_1...
時刻は物体を落下させ始めてから測ることにします。 $n$ とい...
<tex>
a_1 &= \frac{v_2-v_1}{\Delta t}
\\
a_2 &= \frac{v_3-v_2}{\Delta t}
\\
& \vdots
\\
a_n &= \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t}
</tex>
$\Delta t$ はかなり小さな値だと考えると、それぞれの時刻で...
<tex>
ma_0 &= mg-kv_0
\\
ma_1 &= mg-kv_1
\\
ma_2 &= mg-kv_2
\\
& \vdots
\\
ma_n &= mg-kv_n
\\
\\
&\Downarrow
\\
\\
m \frac{v_1-v_0}{\Delta t}
&= mg-kv_0
\\
m \frac{v_2-v_1}{\Delta t}
&= mg-kv_1
\\
m \frac{v_3-v_2}{\Delta t}
&= mg-kv_2
\\
& \vdots
\\
m \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t}
&= mg-kv_n
</tex>
となります。
運動方程式を解きやすく変形
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
右辺に $mg$ の部分があると計算を進めにくいので、 $\displa...
上の式に $\displaystyle v_n=V_n+\frac{mg}{k}$ を代入して...
<tex>
m \frac{V_1-V_0}{\Delta t}
&= -kV_0
\\
m \frac{V_2-V_1}{\Delta t}
&= -kV_1
\\
m \frac{V_3-V_2}{\Delta t}
&= -kV_2
\\
& \vdots
\\
m \frac{V_{n+1}-V_n}{\Delta t}
&= -kV_n
</tex>
いくらか、すっきりした形になりました。
ここでさらに、両辺に $\Delta t$ を掛け算して、
分母から $\Delta t$ をなくしてしまいましょう。
<tex>
m {V_1}-m{V_0} &= -k{V_0}\Delta t
\\
m {V_2}-m{V_1} &= -kV_1{\Delta t}
\\
m {V_3}-m{V_2} &= -kV_2{\Delta t}
\\
& \vdots
\\
m {V_{n+1}}-m{V_n} &= -kV_n{\Delta t}
</tex>
さらに少し整理すると、
<tex>
m {V_1} &= (m-k\Delta t) V_0
\\
m {V_2} &= (m-k{\Delta t})V_1
\\
m {V_3} &= (m-k{\Delta t})V_2
\\
& \vdots
\\
m {V_{n+1}} &= (m-k{\Delta t})V_n
</tex>
となりますね。数列を勉強した方は、この式を見て、等比数列...
等比数列の一般項を求める
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
いま求めたばかりの式、両辺を $m$ で割ります。
<tex>
{V_1} &= (1-\frac{k}{m}\Delta t) V_0
\\
{V_2} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_1
\\
{V_3} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_2
\\
& \vdots
\\
{V_{n+1}} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_n
</tex>
これらの式で、1つ目の式を2つ目の式に代入してみましょう。...
<tex>
{V_2} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^2 V_0
</tex>
ということがわかりますね。
これをさらに3つ目の式に代入してみると、
<tex>
{V_3} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^3 V_0
</tex>
となります。
さあ、これを最後の式まで繰り返していったらどうなるか…とい...
<tex>
V_{n+1} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^{n+1} V_0
</tex>
となります。
…って、そもそも求めたかったのは、 $t=n\Delta t$ の時の速...
<tex>
V_n = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^n V_0
</tex>
と求まります。
ちなみに $\displaystyle v_n=V_n+\frac{mg}{k}$ としていた...
<tex>
v_n = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^n V_0 +\frac{mg}{k}
</tex>
となりますね。
この段階でも、もう一般の時刻での速度がわかった!と考えるこ...
だけどせっかくなので、もう少し現代風の見慣れた形にしてい...
.. [*] Newtonがその著書「プリンキピア」で示した空気抵抗が...
最後に極限操作を
^^^^^^^^^^^^^^^^^
いま速度を求めたい時刻を $t=n\Delta t$ としていますね。
つまり、 $\displaystyle \Delta t=\frac{t}{n}$ ということ。
ある時刻 $t$ までを $n$ 等分して、解析しているということ...
その結果として、時刻 $t$ での速度 $v(t)=v_n$ は、
<tex>
v_n = (1-\frac{k}{m}\frac{t}{n})^n V_0 +\frac{mg}{k}
</tex>
となるのでした。
Newtonの運動方程式は、 $\Delta t$ が小さいときに成立する...
<tex>
v(t)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n V_0 +\frac{mg}{k}
\\
&=V_0\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n +\frac{mg}{k}
</tex>
ですね。ここに現れる極限操作の部分、 $\displaystyle \lim_...
ここで、自然定数 $e$ という書き方を思い出しましょう。
次のように定義される極限値を、特別に $e$ (自然定数)という...
<tex>
e\equiv \lim_{N\rightarrow\infty}\bigl( 1+\frac{1}{N}\bi...
</tex>
この極限値にそっくりの形が出てきていますね。 $\displaysty...
<tex>
\lim_{n\rightarrow\infty} (1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n
&=
\lim_{N\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{N})^{-\frac{kt}{m}N}
\\
&=
\Bigl\{ \lim_{N\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{N})^N \Big...
\\
&=
e^{-\frac{k}{m}t}
</tex>
となります。このことを考えると、
<tex>
v(t)
&=V_0\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n +\frac{mg}{k}
\\
\\
&=V_0 \,e^{-\frac{k}{m}t} +\frac{mg}{k}
</tex>
という結果になります。
最後に $\displaystyle V_0=v_0-\frac{mg}{k}$ としていたこ...
<tex>
v(t)
=\bigl(v_0-\frac{mg}{k}\bigr) e^{-\frac{k}{m}t} +\frac{m...
</tex>
という式を得ます。これで、すっかり現代風の書き方になりま...
速度は指数関数 $e^{-t}$ で、 $\displaystyle \frac{mg}{k}$...
.. figure:: yamamoto-rakka-fig1.png
図は $v_0<\frac{mg}{k}$ のとき。
だんだん落下速度は速くなり、 $\frac{mg}{k}$ に近づいてい...
なにをやっていたのか
---------------------
微分方程式を解いて求めた速度の式と同じ式を、微分方程式を...
ミソは $n\rightarrow\infty$ という操作にあります。
ここで行った解法では、 $n\rightarrow\infty$ という操作を...
そして、Newtonの運動方程式: $\displaystyle m\frac{dv}{dt}...
ここで行った解法も微分方程式を用いる解法も、同じ信念に基...
@@reference: 山本義隆, 古典力学の形成 --ニュートンからラ...
.. _微分方程式を使って解きます: http://www12.plala.or.jp/...
.. _運動方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/maf/
@@author: 山本明@@
@@accept: 2005-08-05@@
@@category: 力学@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id:fallInAirResistance@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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高校数学で空気抵抗ありの落下運動
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日本の高校で行われている物理の授業では、物体の落下につい...
発展的な話題として空気抵抗が取り上げられたとしても、落下...
だけど空気抵抗があるときの落下運動というのは、Newtonも著...
そして高校で習う数学の知識だけでも、速さに比例する空気抵...
せっかくならば、たくさん時間が経過した後の速度を求めるだ...
ちなみに、同じ問題を大学では 微分方程式を使って解きます_ 。
本質的にやっていることは一緒なのですが、微分方程式を使う...
ここでは、高校で習う数学の知識だけで求める…というお遊びで...
.. [*] 空気抵抗を考えているときに落下し始めてから“たくさ...
.. [*] なお高校で習う数学の知識といっているのは、「等比数...
状況設定
------------------------------
落下している物体に働く空気抵抗は、いろいろなパターンを考...
だけど、解析しやすいものといえば、速さの1乗に比例する空気...
そこで、ここでも速さの1乗に比例する空気抵抗を考えたいと思...
比例定数を $k\,(k>0)$ と書くことにしましょう。空気抵抗の...
<tex>
|f|=k|v|
</tex>
ということになります。 $v$ と書いたのは物体の速度です。
位置も速度も力の向きも、すべて下方向を正の方向だと決めま...
このページ内では、下向きを正とします。
.. image:: yamamoto-rakka-fig2.png
運動方程式は…
^^^^^^^^^^^^^^^^
考えている物体の質量を $m$ と書くことにしますと、Newtonの...
<tex>
ma=mg-kv
</tex>
となります。
力 $F$ の部分は重力 $mg$ と空気抵抗 $|f|=k|v|$ を足し算し...
力の向きに注意しましょう。 重力は下向きだから、正。
空気抵抗は速度と逆向きにかかります。だから $kv$ の前にマ...
たくさん時間が経った後の速度(終端速度)
-------------------------------------------
落下し始めたときは、空気抵抗の大きさと重力の大きさは違う...
だけど、たくさん時間が経った後には、空気抵抗と重力がちょ...
<tex>
0=mg-kv_\infty
</tex>
ということ。 $v_\infty$ というのは、“たくさん(= $\infty$ ...
この式で $kv_\infty$ を左辺に移項して、両辺を $k$ で割り...
<tex>
v_\infty=\frac{mg}{k}
</tex>
ですね。
物体はこの速度に達したら、それ以上は加速も減速もせず、等...
(これが、雨粒が驚異的な速さで落下してこないことの説明にな...
さて、それではこれだけで満足せずに、速度が始めの状態から ...
速度の時間変化を求める
------------------------
先ほど状況設定に従って、運動方程式を求めました。
<tex>
ma=mg-kv
</tex>
運動方程式は、物体がどんな運動を行うのか教えてくれます。...
加速度って…
^^^^^^^^^^^^^^
運動方程式の左辺に加速度 $a$ が現れています。
加速度とは、ある時間が経って速度がどれだけの割合で変化し...
つまり、時刻 $t=0$ のときの速度を $v_0$ 、時刻 $t=\Delta ...
<tex>
a=\frac{v_1-v_0}{\Delta t}
</tex>
となります。これを時刻 $t=0$ での加速度として、 $a_0$ と...
<tex>
a_0 = \frac{v_1-v_0}{\Delta t}
</tex>
ということです。
さらに同じように、時刻 $t=\Delta t$ のときの加速度を $a_1...
時刻は物体を落下させ始めてから測ることにします。 $n$ とい...
<tex>
a_1 &= \frac{v_2-v_1}{\Delta t}
\\
a_2 &= \frac{v_3-v_2}{\Delta t}
\\
& \vdots
\\
a_n &= \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t}
</tex>
$\Delta t$ はかなり小さな値だと考えると、それぞれの時刻で...
<tex>
ma_0 &= mg-kv_0
\\
ma_1 &= mg-kv_1
\\
ma_2 &= mg-kv_2
\\
& \vdots
\\
ma_n &= mg-kv_n
\\
\\
&\Downarrow
\\
\\
m \frac{v_1-v_0}{\Delta t}
&= mg-kv_0
\\
m \frac{v_2-v_1}{\Delta t}
&= mg-kv_1
\\
m \frac{v_3-v_2}{\Delta t}
&= mg-kv_2
\\
& \vdots
\\
m \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t}
&= mg-kv_n
</tex>
となります。
運動方程式を解きやすく変形
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
右辺に $mg$ の部分があると計算を進めにくいので、 $\displa...
上の式に $\displaystyle v_n=V_n+\frac{mg}{k}$ を代入して...
<tex>
m \frac{V_1-V_0}{\Delta t}
&= -kV_0
\\
m \frac{V_2-V_1}{\Delta t}
&= -kV_1
\\
m \frac{V_3-V_2}{\Delta t}
&= -kV_2
\\
& \vdots
\\
m \frac{V_{n+1}-V_n}{\Delta t}
&= -kV_n
</tex>
いくらか、すっきりした形になりました。
ここでさらに、両辺に $\Delta t$ を掛け算して、
分母から $\Delta t$ をなくしてしまいましょう。
<tex>
m {V_1}-m{V_0} &= -k{V_0}\Delta t
\\
m {V_2}-m{V_1} &= -kV_1{\Delta t}
\\
m {V_3}-m{V_2} &= -kV_2{\Delta t}
\\
& \vdots
\\
m {V_{n+1}}-m{V_n} &= -kV_n{\Delta t}
</tex>
さらに少し整理すると、
<tex>
m {V_1} &= (m-k\Delta t) V_0
\\
m {V_2} &= (m-k{\Delta t})V_1
\\
m {V_3} &= (m-k{\Delta t})V_2
\\
& \vdots
\\
m {V_{n+1}} &= (m-k{\Delta t})V_n
</tex>
となりますね。数列を勉強した方は、この式を見て、等比数列...
等比数列の一般項を求める
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
いま求めたばかりの式、両辺を $m$ で割ります。
<tex>
{V_1} &= (1-\frac{k}{m}\Delta t) V_0
\\
{V_2} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_1
\\
{V_3} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_2
\\
& \vdots
\\
{V_{n+1}} &= (1-\frac{k}{m}{\Delta t})V_n
</tex>
これらの式で、1つ目の式を2つ目の式に代入してみましょう。...
<tex>
{V_2} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^2 V_0
</tex>
ということがわかりますね。
これをさらに3つ目の式に代入してみると、
<tex>
{V_3} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^3 V_0
</tex>
となります。
さあ、これを最後の式まで繰り返していったらどうなるか…とい...
<tex>
V_{n+1} = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^{n+1} V_0
</tex>
となります。
…って、そもそも求めたかったのは、 $t=n\Delta t$ の時の速...
<tex>
V_n = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^n V_0
</tex>
と求まります。
ちなみに $\displaystyle v_n=V_n+\frac{mg}{k}$ としていた...
<tex>
v_n = (1-\frac{k}{m}{\Delta t})^n V_0 +\frac{mg}{k}
</tex>
となりますね。
この段階でも、もう一般の時刻での速度がわかった!と考えるこ...
だけどせっかくなので、もう少し現代風の見慣れた形にしてい...
.. [*] Newtonがその著書「プリンキピア」で示した空気抵抗が...
最後に極限操作を
^^^^^^^^^^^^^^^^^
いま速度を求めたい時刻を $t=n\Delta t$ としていますね。
つまり、 $\displaystyle \Delta t=\frac{t}{n}$ ということ。
ある時刻 $t$ までを $n$ 等分して、解析しているということ...
その結果として、時刻 $t$ での速度 $v(t)=v_n$ は、
<tex>
v_n = (1-\frac{k}{m}\frac{t}{n})^n V_0 +\frac{mg}{k}
</tex>
となるのでした。
Newtonの運動方程式は、 $\Delta t$ が小さいときに成立する...
<tex>
v(t)
&=\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n V_0 +\frac{mg}{k}
\\
&=V_0\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n +\frac{mg}{k}
</tex>
ですね。ここに現れる極限操作の部分、 $\displaystyle \lim_...
ここで、自然定数 $e$ という書き方を思い出しましょう。
次のように定義される極限値を、特別に $e$ (自然定数)という...
<tex>
e\equiv \lim_{N\rightarrow\infty}\bigl( 1+\frac{1}{N}\bi...
</tex>
この極限値にそっくりの形が出てきていますね。 $\displaysty...
<tex>
\lim_{n\rightarrow\infty} (1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n
&=
\lim_{N\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{N})^{-\frac{kt}{m}N}
\\
&=
\Bigl\{ \lim_{N\rightarrow\infty} (1+\frac{1}{N})^N \Big...
\\
&=
e^{-\frac{k}{m}t}
</tex>
となります。このことを考えると、
<tex>
v(t)
&=V_0\lim_{n\rightarrow\infty}
(1-\frac{kt}{m}\frac{1}{n})^n +\frac{mg}{k}
\\
\\
&=V_0 \,e^{-\frac{k}{m}t} +\frac{mg}{k}
</tex>
という結果になります。
最後に $\displaystyle V_0=v_0-\frac{mg}{k}$ としていたこ...
<tex>
v(t)
=\bigl(v_0-\frac{mg}{k}\bigr) e^{-\frac{k}{m}t} +\frac{m...
</tex>
という式を得ます。これで、すっかり現代風の書き方になりま...
速度は指数関数 $e^{-t}$ で、 $\displaystyle \frac{mg}{k}$...
.. figure:: yamamoto-rakka-fig1.png
図は $v_0<\frac{mg}{k}$ のとき。
だんだん落下速度は速くなり、 $\frac{mg}{k}$ に近づいてい...
なにをやっていたのか
---------------------
微分方程式を解いて求めた速度の式と同じ式を、微分方程式を...
ミソは $n\rightarrow\infty$ という操作にあります。
ここで行った解法では、 $n\rightarrow\infty$ という操作を...
そして、Newtonの運動方程式: $\displaystyle m\frac{dv}{dt}...
ここで行った解法も微分方程式を用いる解法も、同じ信念に基...
@@reference: 山本義隆, 古典力学の形成 --ニュートンからラ...
.. _微分方程式を使って解きます: http://www12.plala.or.jp/...
.. _運動方程式: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/maf/
@@author: 山本明@@
@@accept: 2005-08-05@@
@@category: 力学@@
@@information: イラスト:崎間@@
@@id:fallInAirResistance@@
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