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群の公理
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群論は、代数を学ぶときに恐らく最初に出てくる分野です。代...
このページで大事なことは、4つの『群の公理』です。
群の公理
---------------------------------------------------
ある集合があって、その集合に関して、次の四つのことが言え...
1. 集合( $G$ )の要素の間に、一意的な演算(仮に $\circ$ と...
<tex>
\alpha ,\beta \in G\ \Rightarrow \ \alpha \circ \beta \...
</tex>
2. その演算に対して、 **結合則が成り立つ** 。
<tex>
\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\...
</tex>
3. 演算には **単位元が存在する** 。
<tex>
\exists e\ s.t.\ \ \ \alpha \circ e=e\circ \alpha =\a...
</tex>
4. 演算には **逆元が存在する** 。
<tex>
\exists \alpha^{-1}\ s.t.\ \ \ \alpha \circ \alpha^{-1}...
</tex>
初めての人は、これだけでは『なんのこっちゃ!』と感じると...
.. [*] 結合則が成り立つということは、一連の演算があったと...
.. [*] 群の"公理"と題してありますが、この4つの条件は、群...
いくつかの簡単な例
-----------------------------------------------
細かな証明は省きます。読者のみなさんも、細かな証明には拘...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数全体の集合 $R$ は、加法に関して群になっています。
1. 実数と実数を足したら、その和も必ず実数です。
2. 実数同士の普通の足し算では、結合則 $(a+b)+c=a+(b+c)$ ...
3. 足し算の単位元は零です。零は実数です。
4. ある実数 $a$ に対し、 $-a$ も実数で、 $a+(-a)=0$ とな...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数全体の集合は、乗法に関しては群になりません。零には、...
.. [*] ある集合から零元を除いたものを*(アスタリスク)を付...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数 $a,b$ に対し、全ての $a+b\sqrt{5}$ の形の実数(零を...
1. 二つの元について積をとってみますと、 $(a+b\sqrt{5}) \t...
2. 結合則が成り立ちます。例えば次のような感じです。
<tex>
\Big( (a+b\sqrt{5}) \times (c+d\sqrt{5}) \Big) \times (e+...
= (a+b\sqrt{5}) \times \Big( (c+d\sqrt{5}) \times (e+f\sq...
</tex>
3. 単位元があります。 $1$ です。
4. ある元 $a+b\sqrt{5}$ の逆元は、 $\frac{1}{a+b\sqrt{5}}...
<tex>
\frac{1}{a+b\sqrt{5}} = \frac{a-b\sqrt{5}}{(a+b\sqrt{5})(...
</tex>
ここで、 $\frac{a}{a^{2} -5b^{2}}$ も $\frac{-b}{a^{2}-5b...
例4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正則な全ての $2 \times 2$ 正方行列の集合は、乗法に関して...
1. $2 \times 2$ 行列同士の積は、 $2 \times 2$ 行列になり...
2. 結合則がなりたちます。 $(AB)C=A(BC)$
3. 単位元があります。
<tex>
I=\Big( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\Big)
</tex>
4. 正則行列なので、逆行列が存在します。
.. [*] 一般に、実数係数の正則な $n$ 次正方行列の全体から...
例5
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全ての $px+q$ の形をした数( $p.q$ は実数)の集合は、一次関...
1. 例えば、ある元 $cx+d$ に対し、変換 $f$ を施すと、 $f(c...
2. 結合則がなりたちます。自分で確認してみましょう。
3. 単位元があります。(ただの $x$ です。)
4. 逆元 $f^{-1} (x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$ が存在しま...
例6
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数全体は、乗法に関して群にはなりません。乗法の逆演算は...
しかし加法に関しては群になります。
1. 整数と整数の和は整数になります。
2. 結合則がなりたちます。例えば $(2+4)+7=2+(4+7)$ とでき...
3. 単位元は $0$ です。
4. 逆元は符号が逆の数です。例えば $3$ の逆元は $-3$ です。
例7
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
幾何ベクトル全体の集合は、加法に関して群になります。
1. 幾何ベクトル同士の和は、幾何ベクトルになります。
2. 結合則が成り立ちます。 $(\bm{a} +\bm{b}) +\bm{c} = \bm...
3. 単位元は零ベクトル $\bm{0}$ です。
4. 逆元は、符号が逆(向きが逆)のベクトルです。
<tex>
\bm{a} + (-\bm{a}) = \bm{0}
</tex>
例8
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
図形を、ある直線を挟んで反対側に鏡写しに変換する操作も群...
.. image:: Joh-SymEx1.gif
:align: center
1. この操作を二回行うと、もとの状態に戻ってしまいます。す...
2. 結合則が成り立ちます。
3. 単位元があります。動かさないことです。
4. 逆元があります。(二回連続すると単位元になるので、自分...
.. [*] 鏡写しだけでなく、平行移動、回転などの操作も群にな...
抽象群の成立過程
------------------------------------------
古代バビロニアや古代ギリシャ以来、19世紀まで、代数学の研...
ところが19世紀に、演算の本質は、対象物(数など)そのもの...
もちろん、数学が、それ以前の数学に比べて、論理構造のみを...
本稿以降に、有限回転群、クラインの四元群などを見ていきま...
.. [*] 数学とは一種の言語である、という喩えを「数学に出て...
もともと、群論は5次方程式以上の代数方程式が、代数的に(解...
.. [*] 喩え話の続きです。数学を勉強していると言うと『じゃ...
ガロアによって理論が確立した対称群ですが、リー( $\text{Ma...
.. figure:: Joh-Lie.gif
(リーの連続群論により微分方程式論や解析幾何学へも群論の...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _ブルバキ: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%8...
.. _数学に出てくる○○空間ってなんだ?: http://www12.plala....
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: GroupAxiom.txt@@
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群の公理
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群論は、代数を学ぶときに恐らく最初に出てくる分野です。代...
このページで大事なことは、4つの『群の公理』です。
群の公理
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ある集合があって、その集合に関して、次の四つのことが言え...
1. 集合( $G$ )の要素の間に、一意的な演算(仮に $\circ$ と...
<tex>
\alpha ,\beta \in G\ \Rightarrow \ \alpha \circ \beta \...
</tex>
2. その演算に対して、 **結合則が成り立つ** 。
<tex>
\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\...
</tex>
3. 演算には **単位元が存在する** 。
<tex>
\exists e\ s.t.\ \ \ \alpha \circ e=e\circ \alpha =\a...
</tex>
4. 演算には **逆元が存在する** 。
<tex>
\exists \alpha^{-1}\ s.t.\ \ \ \alpha \circ \alpha^{-1}...
</tex>
初めての人は、これだけでは『なんのこっちゃ!』と感じると...
.. [*] 結合則が成り立つということは、一連の演算があったと...
.. [*] 群の"公理"と題してありますが、この4つの条件は、群...
いくつかの簡単な例
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細かな証明は省きます。読者のみなさんも、細かな証明には拘...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数全体の集合 $R$ は、加法に関して群になっています。
1. 実数と実数を足したら、その和も必ず実数です。
2. 実数同士の普通の足し算では、結合則 $(a+b)+c=a+(b+c)$ ...
3. 足し算の単位元は零です。零は実数です。
4. ある実数 $a$ に対し、 $-a$ も実数で、 $a+(-a)=0$ とな...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実数全体の集合は、乗法に関しては群になりません。零には、...
.. [*] ある集合から零元を除いたものを*(アスタリスク)を付...
例3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数 $a,b$ に対し、全ての $a+b\sqrt{5}$ の形の実数(零を...
1. 二つの元について積をとってみますと、 $(a+b\sqrt{5}) \t...
2. 結合則が成り立ちます。例えば次のような感じです。
<tex>
\Big( (a+b\sqrt{5}) \times (c+d\sqrt{5}) \Big) \times (e+...
= (a+b\sqrt{5}) \times \Big( (c+d\sqrt{5}) \times (e+f\sq...
</tex>
3. 単位元があります。 $1$ です。
4. ある元 $a+b\sqrt{5}$ の逆元は、 $\frac{1}{a+b\sqrt{5}}...
<tex>
\frac{1}{a+b\sqrt{5}} = \frac{a-b\sqrt{5}}{(a+b\sqrt{5})(...
</tex>
ここで、 $\frac{a}{a^{2} -5b^{2}}$ も $\frac{-b}{a^{2}-5b...
例4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正則な全ての $2 \times 2$ 正方行列の集合は、乗法に関して...
1. $2 \times 2$ 行列同士の積は、 $2 \times 2$ 行列になり...
2. 結合則がなりたちます。 $(AB)C=A(BC)$
3. 単位元があります。
<tex>
I=\Big( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\Big)
</tex>
4. 正則行列なので、逆行列が存在します。
.. [*] 一般に、実数係数の正則な $n$ 次正方行列の全体から...
例5
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
全ての $px+q$ の形をした数( $p.q$ は実数)の集合は、一次関...
1. 例えば、ある元 $cx+d$ に対し、変換 $f$ を施すと、 $f(c...
2. 結合則がなりたちます。自分で確認してみましょう。
3. 単位元があります。(ただの $x$ です。)
4. 逆元 $f^{-1} (x)=\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}$ が存在しま...
例6
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
整数全体は、乗法に関して群にはなりません。乗法の逆演算は...
しかし加法に関しては群になります。
1. 整数と整数の和は整数になります。
2. 結合則がなりたちます。例えば $(2+4)+7=2+(4+7)$ とでき...
3. 単位元は $0$ です。
4. 逆元は符号が逆の数です。例えば $3$ の逆元は $-3$ です。
例7
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
幾何ベクトル全体の集合は、加法に関して群になります。
1. 幾何ベクトル同士の和は、幾何ベクトルになります。
2. 結合則が成り立ちます。 $(\bm{a} +\bm{b}) +\bm{c} = \bm...
3. 単位元は零ベクトル $\bm{0}$ です。
4. 逆元は、符号が逆(向きが逆)のベクトルです。
<tex>
\bm{a} + (-\bm{a}) = \bm{0}
</tex>
例8
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
図形を、ある直線を挟んで反対側に鏡写しに変換する操作も群...
.. image:: Joh-SymEx1.gif
:align: center
1. この操作を二回行うと、もとの状態に戻ってしまいます。す...
2. 結合則が成り立ちます。
3. 単位元があります。動かさないことです。
4. 逆元があります。(二回連続すると単位元になるので、自分...
.. [*] 鏡写しだけでなく、平行移動、回転などの操作も群にな...
抽象群の成立過程
------------------------------------------
古代バビロニアや古代ギリシャ以来、19世紀まで、代数学の研...
ところが19世紀に、演算の本質は、対象物(数など)そのもの...
もちろん、数学が、それ以前の数学に比べて、論理構造のみを...
本稿以降に、有限回転群、クラインの四元群などを見ていきま...
.. [*] 数学とは一種の言語である、という喩えを「数学に出て...
もともと、群論は5次方程式以上の代数方程式が、代数的に(解...
.. [*] 喩え話の続きです。数学を勉強していると言うと『じゃ...
ガロアによって理論が確立した対称群ですが、リー( $\text{Ma...
.. figure:: Joh-Lie.gif
(リーの連続群論により微分方程式論や解析幾何学へも群論の...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _ブルバキ: http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%8...
.. _数学に出てくる○○空間ってなんだ?: http://www12.plala....
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: GroupAxiom.txt@@
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