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空気抵抗がある時のモンキーハンティング
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空気抵抗がある時のモンキーハンティングについて書きます。
銃弾の初期位置を原点 $(x,y)=(0,0)$ に、サルの初期位置を $...
そこには一様に重力 $-g$ がかかっていて、空気抵抗は速度に...
そして、サルの質量を $M$ ,銃弾の質量を $m$ とします。
すると、サルの運動方程式は、
<tex>
M \ddot{X} &= 0 \tag{##} \\
M \ddot{Y} &= -k \dot{Y} -mg \tag{##}
</tex>
速度 $(\dot{X},\dot{Y})$ は、
<tex>
M \dot{X} &= 0 \tag{##}
</tex>
は良いとして、Y方向は、
<tex>
M \dfrac{d}{dt} ( \dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} ) &= -k( \dot{Y...
</tex>
<tex>
\dfrac{(d/dt)( \dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} )}{\dot{Y} + \dfra...
</tex>
時間0からtまで定積分すると、Y方向への初期速度は0より、
<tex>
\log \left| \dfrac{\dot{Y} + \dfrac{Mg}{k}}{ 0 + \dfrac{M...
</tex>
<tex>
\dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} &= \dfrac{Mg}{k} e^{-\dfrac{kt}{M...
</tex>
<tex>
\dot{Y} &= \dfrac{Mg}{k} e^{-\dfrac{kt}{M}} - \dfrac{Mg}{...
</tex>
となります。
銃弾の運動方程式は、同様に解くと、初期速度 $(\dot{x},\dot...
<tex>
\dot{x} &= \dot{x}_0 e^{-\dfrac{kt}{m}} \tag{##} \\
\dot{y} &= (\dot{y}_0 + \dfrac{mg}{k}) e^{-\dfrac{kt}{m}}...
</tex>
ここで、落下するサルから銃弾の速度変化を見ます。つまり、
<tex>
\dfrac{\dot{y}-\dot{Y}}{\dot{x}-\dot{X}} = \dfrac{(\dot{y...
</tex>
となり、よく分からない量になってしまいますが、サル、銃弾...
<tex>
\dfrac{\dot{y}-\dot{Y}}{\dot{x}-\dot{X}} &= \dfrac{(\dot{...
&= \dfrac{\dot{y}_0 e^{-kt/m}}{\dot{x}_0 e^{-kt/m}} \\
&= \dfrac{\dot{y}_0}{\dot{x}_0} \\
&= \dfrac{Y_0}{X_0} \tag{##}
</tex>
最後の等式は、銃弾の初期速度がサルの方向を向いていたとい...
つまり、この時銃弾は、サルから見ると真っ直ぐに近づいてく...
ただし、これは銃弾は初期速度によって、一定値を超えること...
銃弾の $x$ 座標が $X_0$ を超えることができる時です。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. [*] 式 $(9)$ を積分すれば、 $ x = \dfrac{m\dot{x}_0}{k...
つまりこの時、銃弾は $x=\dfrac{m \dot{x}_0}{k}$ を超えら...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-06-07@@
@@category:力学@@
@@id:monkeyInAir@@
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空気抵抗がある時のモンキーハンティング
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空気抵抗がある時のモンキーハンティングについて書きます。
銃弾の初期位置を原点 $(x,y)=(0,0)$ に、サルの初期位置を $...
そこには一様に重力 $-g$ がかかっていて、空気抵抗は速度に...
そして、サルの質量を $M$ ,銃弾の質量を $m$ とします。
すると、サルの運動方程式は、
<tex>
M \ddot{X} &= 0 \tag{##} \\
M \ddot{Y} &= -k \dot{Y} -mg \tag{##}
</tex>
速度 $(\dot{X},\dot{Y})$ は、
<tex>
M \dot{X} &= 0 \tag{##}
</tex>
は良いとして、Y方向は、
<tex>
M \dfrac{d}{dt} ( \dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} ) &= -k( \dot{Y...
</tex>
<tex>
\dfrac{(d/dt)( \dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} )}{\dot{Y} + \dfra...
</tex>
時間0からtまで定積分すると、Y方向への初期速度は0より、
<tex>
\log \left| \dfrac{\dot{Y} + \dfrac{Mg}{k}}{ 0 + \dfrac{M...
</tex>
<tex>
\dot{Y} + \dfrac{Mg}{k} &= \dfrac{Mg}{k} e^{-\dfrac{kt}{M...
</tex>
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\dot{Y} &= \dfrac{Mg}{k} e^{-\dfrac{kt}{M}} - \dfrac{Mg}{...
</tex>
となります。
銃弾の運動方程式は、同様に解くと、初期速度 $(\dot{x},\dot...
<tex>
\dot{x} &= \dot{x}_0 e^{-\dfrac{kt}{m}} \tag{##} \\
\dot{y} &= (\dot{y}_0 + \dfrac{mg}{k}) e^{-\dfrac{kt}{m}}...
</tex>
ここで、落下するサルから銃弾の速度変化を見ます。つまり、
<tex>
\dfrac{\dot{y}-\dot{Y}}{\dot{x}-\dot{X}} = \dfrac{(\dot{y...
</tex>
となり、よく分からない量になってしまいますが、サル、銃弾...
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\dfrac{\dot{y}-\dot{Y}}{\dot{x}-\dot{X}} &= \dfrac{(\dot{...
&= \dfrac{\dot{y}_0 e^{-kt/m}}{\dot{x}_0 e^{-kt/m}} \\
&= \dfrac{\dot{y}_0}{\dot{x}_0} \\
&= \dfrac{Y_0}{X_0} \tag{##}
</tex>
最後の等式は、銃弾の初期速度がサルの方向を向いていたとい...
つまり、この時銃弾は、サルから見ると真っ直ぐに近づいてく...
ただし、これは銃弾は初期速度によって、一定値を超えること...
銃弾の $x$ 座標が $X_0$ を超えることができる時です。
それでは、今日はこの辺で。お疲れ様でした。
.. [*] 式 $(9)$ を積分すれば、 $ x = \dfrac{m\dot{x}_0}{k...
つまりこの時、銃弾は $x=\dfrac{m \dot{x}_0}{k}$ を超えら...
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-06-07@@
@@category:力学@@
@@id:monkeyInAir@@
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