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#rst2hooktail_source
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空間曲線と接線の方程式
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三次元ユークリッド空間内に、一つの曲線 $C$ が与えられてお...
.. image:: Joh-VectorCurve1.gif
<tex>
C: \ \bm{r}(t)=x(t)\bm{e_{x}}+ y(t)\bm{e_{y}}+z(t)\bm{e_{...
</tex>
パラメータ $t$ の定義域は適当に調節してやれば、 $0 \le t ...
.. [*] 曲線は一本道ですから、どんなに曲がりくねっていよう...
いま、 $t$ を時間と考えれば、 $\bm{r}(t)$ の時間微分は速...
<tex>
\bm{v}(t)= \frac{d\bm{r}(t)}{dt}= \frac{dx(t)}{dt}\bm{e_{...
</tex>
<tex>
v(t)=|\bm{v}(t)|= \sqrt{\left( \frac{dx(t)}{dt}\right)^2 ...
</tex>
.. [*] パラメーター $t$ は、単なる変数であって、何ら物理...
弧長
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
空間曲線を表わすパラメーターとして、もう一つ $O$ からの移...
<tex>
s(t)= \int _{O}^{P}|d\bm{r}| = \int _{0}^{\tau } \left| ...
</tex>
力学的に見れば、式 $(4)$ は『速度を時間で積分したら距離に...
<tex>
C: \ \bm{r}(s)=x(s)\bm{e_{x}}+ y(s)\bm{e_{y}}+z(s)\bm{e_{...
</tex>
また、微分の略記号も、 $s$ による微分に $'$ (ダッシュ)...
<tex>
x' = \frac{dx}{ds}
</tex>
<tex>
\dot {x} = \frac{dx}{dt}
</tex>
接線の方程式
---------------------------------------------------------...
パラメーターを $t$ から $s$ に変更すると嬉しいのは、曲線...
<tex>
\left| \frac{d\bm{r}(s)}{ds} \right| &= \sqrt{\left( \fr...
&= \frac{ds}{dt}\frac{dt}{ds}=1 \tag{5}
</tex>
この結果が何を主張しているかというと『 $s$ が $1$ 大きく...
.. [*] いま考えているように、曲線や曲面の性質を調べるのに...
式 $(5)$ より、 $\frac{d\bm{r}(s)}{ds}$ は単位ベクトルだ...
.. image:: Joh-VectorCurve2.gif
点 $\bm{r}(s_{0})$ における接線の方程式は、 $\bm{e_{1}}(s...
<tex>
\bm{w}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{e_{1}}(s)(s-s_{0}) \tag{6}
</tex>
.. [*] 点 $s_{0}$ において $\bm{r}(s)$ を冪級数展開すると...
以上、ベクトル関数の微分に関係する話題として、空間曲線の...
.. _ペアノ曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/differential...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SpaceCurveTangent@@
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#rst2hooktail_source
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空間曲線と接線の方程式
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三次元ユークリッド空間内に、一つの曲線 $C$ が与えられてお...
.. image:: Joh-VectorCurve1.gif
<tex>
C: \ \bm{r}(t)=x(t)\bm{e_{x}}+ y(t)\bm{e_{y}}+z(t)\bm{e_{...
</tex>
パラメータ $t$ の定義域は適当に調節してやれば、 $0 \le t ...
.. [*] 曲線は一本道ですから、どんなに曲がりくねっていよう...
いま、 $t$ を時間と考えれば、 $\bm{r}(t)$ の時間微分は速...
<tex>
\bm{v}(t)= \frac{d\bm{r}(t)}{dt}= \frac{dx(t)}{dt}\bm{e_{...
</tex>
<tex>
v(t)=|\bm{v}(t)|= \sqrt{\left( \frac{dx(t)}{dt}\right)^2 ...
</tex>
.. [*] パラメーター $t$ は、単なる変数であって、何ら物理...
弧長
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空間曲線を表わすパラメーターとして、もう一つ $O$ からの移...
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s(t)= \int _{O}^{P}|d\bm{r}| = \int _{0}^{\tau } \left| ...
</tex>
力学的に見れば、式 $(4)$ は『速度を時間で積分したら距離に...
<tex>
C: \ \bm{r}(s)=x(s)\bm{e_{x}}+ y(s)\bm{e_{y}}+z(s)\bm{e_{...
</tex>
また、微分の略記号も、 $s$ による微分に $'$ (ダッシュ)...
<tex>
x' = \frac{dx}{ds}
</tex>
<tex>
\dot {x} = \frac{dx}{dt}
</tex>
接線の方程式
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パラメーターを $t$ から $s$ に変更すると嬉しいのは、曲線...
<tex>
\left| \frac{d\bm{r}(s)}{ds} \right| &= \sqrt{\left( \fr...
&= \frac{ds}{dt}\frac{dt}{ds}=1 \tag{5}
</tex>
この結果が何を主張しているかというと『 $s$ が $1$ 大きく...
.. [*] いま考えているように、曲線や曲面の性質を調べるのに...
式 $(5)$ より、 $\frac{d\bm{r}(s)}{ds}$ は単位ベクトルだ...
.. image:: Joh-VectorCurve2.gif
点 $\bm{r}(s_{0})$ における接線の方程式は、 $\bm{e_{1}}(s...
<tex>
\bm{w}(s) = \bm{r}(s_{0}) + \bm{e_{1}}(s)(s-s_{0}) \tag{6}
</tex>
.. [*] 点 $s_{0}$ において $\bm{r}(s)$ を冪級数展開すると...
以上、ベクトル関数の微分に関係する話題として、空間曲線の...
.. _ペアノ曲線: http://www12.plala.or.jp/ksp/differential...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: SpaceCurveTangent@@
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