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共役部分群と正規部分群
=======================================
この記事では、今まで元に対して取ってきた共役 $gag^{-1}$ ...
共役部分群
---------------------------------------------
群 $G$ の部分群 $H$ に対し、 $G$ のある元 $g$ を使って、 ...
<tex>
H_{conj.}=\{ g|gHg^{-1}=H, \ g \in G , \ H \subset G \}
</tex>
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
4次の対称群 $S_{4}$ に対し、 $(1 \ 2 \ 3)$ を生成元とす...
<tex>
(1 \ 4)e(1 \ 4)^{-1}=(1 \ 4)e(1 \ 4) = e
</tex>
<tex>
(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)^{-1}&=(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)...
</tex>
<tex>
(1 \ 4)(1 \ 3 \ 2)(1 \ 4)^{-1}&=(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)...
</tex>
よって、 $H$ の $(1 \ 4)$ による共役部分群は $\{e,(4 \ 2 ...
<tex>
(1 \ 4)H(1 \ 4)^{-1}= \{e,(4 \ 2 \ 3),(2 \ 4 \ 3) \}
</tex>
正規化群
---------------------------------------------
群 $G$ が、 $G$ の部分群全てからなる集合 $M=\{H_{1},H_{2}...
このとき、 $H$ の固定部分群になっている $G$ の部分群を、 ...
<tex>
N(H)=\{g|gHg^{-1}=H \}
</tex>
正規化群の元は、群 $G$ の元です。 $M$ や $H$ と混乱しない...
中心化群の定義は、元 $a$ に関して共役を考え、 $ga=ag$ を...
中心化群では、群 $G$ 、中心化群 $C_{a}$ 、共役類 $C(a)$ ...
<tex>
|G|=|N(H)||C(H)|
</tex>
これは『群の位数は、ある部分群の正規化群の位数と、その部...
正規部分群
--------------------------------------------------------
群 $G$ の部分群 $H$ で、特に、群 $G$ の全ての元 $g$ に対...
<tex>
gHg^{-1}=H
</tex>
.. [*] 単位元 $e$ と、群 $G$ 自身が正規部分群であるのは明...
.. [*] 正規部分群の定義を $gH=Hg$ と書き直せば、『左剰余...
.. [*] 正規部分群に群が作用するときは、可換になるというこ...
『群 $H$ が群 $G$ の正規部分群である』ことを、 次のような...
<tex>
H \triangleleft G, \ \ \ G \triangleright H
</tex>
練習問題1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
四次の対称群 $S_{4}$ の部分群で $\{e, (1 \ 2)(3 \ 4), (1 ...
練習問題2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
前問の集合は、四次の交代群 $A_{4}$ の中でも正規部分群にな...
練習問題3
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
三次の交代群 $A_{3}$ は、三次の対称群 $S_{3}$ の正規部分...
.. [*] 一般に、交代群は対称群の正規部分群になります。
練習問題4
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正四面体群 $P(4)$ には、以下の3種類の回転操作に対応する...
1. 頂点と、向かい合う面の中心を結んだ線を軸として回す回転...
2. ねじれの位置にある、向かい合った辺の中点同士を結んだ線...
3. 回さない。(単位元)
このうち、2番目のタイプの回転に対応する元に、単位元を足...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _中心化群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Center...
.. _固定部分群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Isom...
.. _軌道: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupOrbit/
.. _組成列と単純群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: NormalSubgroup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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共役部分群と正規部分群
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この記事では、今まで元に対して取ってきた共役 $gag^{-1}$ ...
共役部分群
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群 $G$ の部分群 $H$ に対し、 $G$ のある元 $g$ を使って、 ...
<tex>
H_{conj.}=\{ g|gHg^{-1}=H, \ g \in G , \ H \subset G \}
</tex>
例1
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4次の対称群 $S_{4}$ に対し、 $(1 \ 2 \ 3)$ を生成元とす...
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(1 \ 4)e(1 \ 4)^{-1}=(1 \ 4)e(1 \ 4) = e
</tex>
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(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)^{-1}&=(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)...
</tex>
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(1 \ 4)(1 \ 3 \ 2)(1 \ 4)^{-1}&=(1 \ 4)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4)...
</tex>
よって、 $H$ の $(1 \ 4)$ による共役部分群は $\{e,(4 \ 2 ...
<tex>
(1 \ 4)H(1 \ 4)^{-1}= \{e,(4 \ 2 \ 3),(2 \ 4 \ 3) \}
</tex>
正規化群
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群 $G$ が、 $G$ の部分群全てからなる集合 $M=\{H_{1},H_{2}...
このとき、 $H$ の固定部分群になっている $G$ の部分群を、 ...
<tex>
N(H)=\{g|gHg^{-1}=H \}
</tex>
正規化群の元は、群 $G$ の元です。 $M$ や $H$ と混乱しない...
中心化群の定義は、元 $a$ に関して共役を考え、 $ga=ag$ を...
中心化群では、群 $G$ 、中心化群 $C_{a}$ 、共役類 $C(a)$ ...
<tex>
|G|=|N(H)||C(H)|
</tex>
これは『群の位数は、ある部分群の正規化群の位数と、その部...
正規部分群
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群 $G$ の部分群 $H$ で、特に、群 $G$ の全ての元 $g$ に対...
<tex>
gHg^{-1}=H
</tex>
.. [*] 単位元 $e$ と、群 $G$ 自身が正規部分群であるのは明...
.. [*] 正規部分群の定義を $gH=Hg$ と書き直せば、『左剰余...
.. [*] 正規部分群に群が作用するときは、可換になるというこ...
『群 $H$ が群 $G$ の正規部分群である』ことを、 次のような...
<tex>
H \triangleleft G, \ \ \ G \triangleright H
</tex>
練習問題1
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四次の対称群 $S_{4}$ の部分群で $\{e, (1 \ 2)(3 \ 4), (1 ...
練習問題2
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前問の集合は、四次の交代群 $A_{4}$ の中でも正規部分群にな...
練習問題3
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三次の交代群 $A_{3}$ は、三次の対称群 $S_{3}$ の正規部分...
.. [*] 一般に、交代群は対称群の正規部分群になります。
練習問題4
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正四面体群 $P(4)$ には、以下の3種類の回転操作に対応する...
1. 頂点と、向かい合う面の中心を結んだ線を軸として回す回転...
2. ねじれの位置にある、向かい合った辺の中点同士を結んだ線...
3. 回さない。(単位元)
このうち、2番目のタイプの回転に対応する元に、単位元を足...
.. _三次方程式の解の公式: http://www12.plala.or.jp/ksp/al...
.. _中心化群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Center...
.. _固定部分群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Isom...
.. _軌道: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/GroupOrbit/
.. _組成列と単純群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: NormalSubgroup@@
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