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共変ベクトルと反変ベクトル
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最初に、これから勉強することの予告を兼ねて、少し表記に関...
ベクトルをどの座標系で見るのも自由ですから、どちらを基底...
<tex>
\bm{A} &= A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}...
&= A_{1}\bm{e^{1}}+A_{2}\bm{e^{2}}+A_{3}\bm{e^{3}} \tag{*}
</tex>
式中の $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} \} $ と $\{...
.. [*] 最初は $A^{2}$ のように書くのが『 $A$ の二乗』と紛...
共変ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
基底ベクトルの座標変換は、 基底の座標変換_ で勉強したよう...
<tex>
\bm{e'_{i}}= {\alpha}_{i'}^{k}\bm{e_{k}} \tag{1}
</tex>
右辺はアインシュタインの縮約により、 $k$ に関する総和を意...
座標の基底ベクトルを $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3...
<tex>
A'_{i}= {\alpha}_{i'}^{k} A_{k} \tag{2}
</tex>
いま、いきなり成分だけで $\bm{A}$ を表現しましたが、基底...
反変ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
一方、次式のように式 $(1)$ と添字の上下を逆転させた変換に...
<tex>
C'^{i}= {\alpha}_{k}^{i'} C^{k} \tag{3}
</tex>
反変ベクトルの方も同じく、式 $(*)$ の形で基底ベクトルを明...
変換係数 $ {\alpha}_{k}^{i'} $ の添字が、共変ベクトルの変...
まとめ
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
右下に添字がつくものの変化を *共変* 、右上に添字がつくも...
また、共変基底は反変成分と、反変基底は共変成分と組み合わ...
<tex>
\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} ...
</tex>
共変と反変は、ちょうど刺し違えたように対称な構造になって...
しかし、鋭い人はここまでに次のような疑問点を持ったことと...
1. どうして基底と成分の添字が上下別のものを組み合わせるの...
2. 共変基底と共変成分、反変基底と反変成分という組み合わせ...
3. 一体全体、共変ベクトルと反変ベクトルの区別とは何なのか...
共変基底と反変基底は、添字の上下が異なるものとして別々に...
この記事の後半では疑問点 $3.$ に答えるべく、共変ベクトル...
.. [*] 基底にも共変基底と反変基底があり、どちらも対等な対...
.. [*] 共変ベクトルでも反変ベクトルでもないベクトルも世の...
具体例
---------------------------------------------------------...
変換係数を ${\alpha}_{i'}^{k}$ のように、正体不明の係数と...
慣例に従って基底ベクトルには共変基底 $\{ \bm{e_{1}},\bm{e...
<tex>
x'^{i} = {\alpha}_{k}^{i'}x^{k}
</tex>
両辺を $x^{k}$ で偏微分して次式を得ます。
<tex>
{\alpha}_{k}^{i'} = \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{k}...
</tex>
同様に $x^{k}={\alpha}_{i'}^{k}x^{i'}$ より次式を得ます。
<tex>
{\alpha}_{i'}^{k} = \frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}...
</tex>
式 $(4)(5)$ で変換係数と偏導関数の対応が一対一につきまし...
<tex>
A'_{i}= \frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}} A_{k} \t...
</tex>
<tex>
C'^{i}= \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{k}} C^{k} \t...
</tex>
私達はいま、座標変換につられてベクトル成分がどう変わるか...
では、まず反変ベクトルの例から見てみましょう。
.. [*] 式 $(6)(7)$ に出てくる偏導関数は、通常の一次変換で...
反変ベクトルの例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
反変ベクトルの例として一番重要なのは、普通の成分ベクトル...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
ここで考えた基底は、共変ベクトルであることを念頭に置いて...
個々の成分は単なる実数ですが、これを3つ一組に見ると $(A^...
成分の変換は、 $\bm{A}$ を二つの基底 $\bm{e_{i}}$ と $\bm...
<tex>
\bm{A} & =A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}...
& = A^{1} \Big( \frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{1}}\b...
\frac{\partial x'^{2}}{\partial x^{1}}\bm{e'_{2}}
+ \frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{1}}\bm{e'_{3}} \Big)...
+ \frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}\bm{e'_{3}} \Big)...
& = \Big( A^{1} \frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{1}} + ...
\frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{1}...
\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{2}...
\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{3}...
</tex>
この結果と $\bm{A} & = A'^{1}\bm{e'_{1}}+A'^{2}\bm{e'_{2}...
<tex>
A'^{i}= \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}} A^{j}
</tex>
たしかに反変ベクトルの定義式 $(7)$ の形になっています。 *...
途中で共変基底の逆変換を代入したことから、この結果は形式...
.. image:: Joh-Covariant.gif
このことが分かっていれば、同じベクトルの長さを表現するの...
基底ベクトルを反変基底を選んだときは、当然、その成分ベク...
.. important::
共変基底の成分ベクトルは反変的、反変基底の成分ベクトルは...
.. [*] 『成分ベクトルは反変ベクトルである』とだけ書いてあ...
反変ベクトルの例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
もう一つの例として、座標系を $(x^{1},x^{2},x^{3})$ から $...
<tex>
dx'=\frac{\partial x'}{\partial x}dx+ \frac{\partial x'}{...
</tex>
<tex>
dy'=\frac{\partial y'}{\partial x}dx+ \frac{\partial y'}{...
</tex>
<tex>
dz'=\frac{\partial z'}{\partial x}dx+ \frac{\partial z'}{...
</tex>
この変換公式をよく見ると、反変ベクトルの変換公式と同じで...
せっかく反変ベクトルなのですから、添字は右上に書くことに...
<tex>
dx'^{i}=\frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}
</tex>
.. [*] 座標成分の微係数は $\bm{dx}=dx^{1}\bm{e_{1}}+dx^{2...
共変ベクトルの例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x^{1}},\...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial x'^{i}}= \frac{\partial x^{j}}...
</tex>
ここで $\frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}={\alpha}_{...
.. [*] 座標変換の際、ベクトル $(dx,dy,dz)$ と $\nabla$ が...
.. _色々な座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _基底の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _微分演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルの一般的表現: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: CovariantContravariant@@
終了行:
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共変ベクトルと反変ベクトル
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最初に、これから勉強することの予告を兼ねて、少し表記に関...
ベクトルをどの座標系で見るのも自由ですから、どちらを基底...
<tex>
\bm{A} &= A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}...
&= A_{1}\bm{e^{1}}+A_{2}\bm{e^{2}}+A_{3}\bm{e^{3}} \tag{*}
</tex>
式中の $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} \} $ と $\{...
.. [*] 最初は $A^{2}$ のように書くのが『 $A$ の二乗』と紛...
共変ベクトル
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基底ベクトルの座標変換は、 基底の座標変換_ で勉強したよう...
<tex>
\bm{e'_{i}}= {\alpha}_{i'}^{k}\bm{e_{k}} \tag{1}
</tex>
右辺はアインシュタインの縮約により、 $k$ に関する総和を意...
座標の基底ベクトルを $\{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3...
<tex>
A'_{i}= {\alpha}_{i'}^{k} A_{k} \tag{2}
</tex>
いま、いきなり成分だけで $\bm{A}$ を表現しましたが、基底...
反変ベクトル
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
一方、次式のように式 $(1)$ と添字の上下を逆転させた変換に...
<tex>
C'^{i}= {\alpha}_{k}^{i'} C^{k} \tag{3}
</tex>
反変ベクトルの方も同じく、式 $(*)$ の形で基底ベクトルを明...
変換係数 $ {\alpha}_{k}^{i'} $ の添字が、共変ベクトルの変...
まとめ
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右下に添字がつくものの変化を *共変* 、右上に添字がつくも...
また、共変基底は反変成分と、反変基底は共変成分と組み合わ...
<tex>
\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}} ...
</tex>
共変と反変は、ちょうど刺し違えたように対称な構造になって...
しかし、鋭い人はここまでに次のような疑問点を持ったことと...
1. どうして基底と成分の添字が上下別のものを組み合わせるの...
2. 共変基底と共変成分、反変基底と反変成分という組み合わせ...
3. 一体全体、共変ベクトルと反変ベクトルの区別とは何なのか...
共変基底と反変基底は、添字の上下が異なるものとして別々に...
この記事の後半では疑問点 $3.$ に答えるべく、共変ベクトル...
.. [*] 基底にも共変基底と反変基底があり、どちらも対等な対...
.. [*] 共変ベクトルでも反変ベクトルでもないベクトルも世の...
具体例
---------------------------------------------------------...
変換係数を ${\alpha}_{i'}^{k}$ のように、正体不明の係数と...
慣例に従って基底ベクトルには共変基底 $\{ \bm{e_{1}},\bm{e...
<tex>
x'^{i} = {\alpha}_{k}^{i'}x^{k}
</tex>
両辺を $x^{k}$ で偏微分して次式を得ます。
<tex>
{\alpha}_{k}^{i'} = \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{k}...
</tex>
同様に $x^{k}={\alpha}_{i'}^{k}x^{i'}$ より次式を得ます。
<tex>
{\alpha}_{i'}^{k} = \frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}...
</tex>
式 $(4)(5)$ で変換係数と偏導関数の対応が一対一につきまし...
<tex>
A'_{i}= \frac{\partial x^{k}}{\partial x'^{i}} A_{k} \t...
</tex>
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C'^{i}= \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{k}} C^{k} \t...
</tex>
私達はいま、座標変換につられてベクトル成分がどう変わるか...
では、まず反変ベクトルの例から見てみましょう。
.. [*] 式 $(6)(7)$ に出てくる偏導関数は、通常の一次変換で...
反変ベクトルの例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
反変ベクトルの例として一番重要なのは、普通の成分ベクトル...
<tex>
\bm{A}=A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}
</tex>
ここで考えた基底は、共変ベクトルであることを念頭に置いて...
個々の成分は単なる実数ですが、これを3つ一組に見ると $(A^...
成分の変換は、 $\bm{A}$ を二つの基底 $\bm{e_{i}}$ と $\bm...
<tex>
\bm{A} & =A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}...
& = A^{1} \Big( \frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{1}}\b...
\frac{\partial x'^{2}}{\partial x^{1}}\bm{e'_{2}}
+ \frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{1}}\bm{e'_{3}} \Big)...
+ \frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{2}}\bm{e'_{3}} \Big)...
& = \Big( A^{1} \frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{1}} + ...
\frac{\partial x'^{1}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{1}...
\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{2}...
\frac{\partial x'^{3}}{\partial x^{3}} \Big) \bm{e'_{3}...
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この結果と $\bm{A} & = A'^{1}\bm{e'_{1}}+A'^{2}\bm{e'_{2}...
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A'^{i}= \frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}} A^{j}
</tex>
たしかに反変ベクトルの定義式 $(7)$ の形になっています。 *...
途中で共変基底の逆変換を代入したことから、この結果は形式...
.. image:: Joh-Covariant.gif
このことが分かっていれば、同じベクトルの長さを表現するの...
基底ベクトルを反変基底を選んだときは、当然、その成分ベク...
.. important::
共変基底の成分ベクトルは反変的、反変基底の成分ベクトルは...
.. [*] 『成分ベクトルは反変ベクトルである』とだけ書いてあ...
反変ベクトルの例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
もう一つの例として、座標系を $(x^{1},x^{2},x^{3})$ から $...
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dx'=\frac{\partial x'}{\partial x}dx+ \frac{\partial x'}{...
</tex>
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dy'=\frac{\partial y'}{\partial x}dx+ \frac{\partial y'}{...
</tex>
<tex>
dz'=\frac{\partial z'}{\partial x}dx+ \frac{\partial z'}{...
</tex>
この変換公式をよく見ると、反変ベクトルの変換公式と同じで...
せっかく反変ベクトルなのですから、添字は右上に書くことに...
<tex>
dx'^{i}=\frac{\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}dx^{j}
</tex>
.. [*] 座標成分の微係数は $\bm{dx}=dx^{1}\bm{e_{1}}+dx^{2...
共変ベクトルの例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトル $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x^{1}},\...
<tex>
\frac{\partial f}{\partial x'^{i}}= \frac{\partial x^{j}}...
</tex>
ここで $\frac{\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}={\alpha}_{...
.. [*] 座標変換の際、ベクトル $(dx,dy,dz)$ と $\nabla$ が...
.. _色々な座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys...
.. _基底の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _ベクトル空間と線形写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _微分演算子の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
.. _ベクトル成分の座標変換: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
.. _双対基底と双対空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vect...
.. _直交座標系: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalys...
.. _テンソルの一般的表現: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: CovariantContravariant@@
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