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#rst2hooktail_source
=========================================================...
球殻のつくる重力ポテンシャル
=========================================================...
球殻や球体のつくる重力ポテンシャルを求めます。
球殻の作るポテンシャル
=======================
半径 $r$ 、密度 $\rho$ の球対称な厚さ $dr$ の薄い球殻を考...
質量 $d m$ によって、ある離れた位置 $P$ にできるポテンシ...
うに、 $OP=R$ 、 $OQ=r$ 、 $PQ=R^\prime$ とし、 $\angle P...
.. image:: chromel-gravityOfSphere-01.png
球対称な場合なので、極座標を用います。位置 $Q$ にある微小...
<tex>
dm= \rho \ dr \ rd\theta \ r \sin \theta \ d \phi
</tex>
なので、位置 $P$ にできるポテンシャルは、
<tex>
d \psi = -G \frac{dm}{R^\prime} = -G \frac{\rho \ dr \ rd...
</tex>
一方余弦定理より、
<tex>
{R^\prime}^2 = r^2 + R^2 -2rR \cos \theta
</tex>
両辺を微分して
<tex>
R^\prime d R^\prime = rR \sin \theta d \theta \tag{2}
</tex>
で式 $ (1) $ から $\theta$ を消去すれば、
<tex>
d \psi = -G \frac{\rho r \ dr \ d \phi \ d R^\prime}{...
</tex>
となります。
Pが球殻の外部にある時
=======================
ポテンシャルを積分するわけですが、球殻の作る積分なので $ ...
注意してください。
$\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時、 $R^\prime$ は $R-r...
<tex>
\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi ...
&= -2\pi \int^{R+r}_{R-r} d R^\prime \ G \frac{\rho r \ ...
&=-G \ 2r \ \frac{2\pi r \rho \ dr}{R} \\
&=-G \frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} \\
&=-G\frac{d M}{R}
</tex>
二つ目の等号は、式 $(2)$ を用いました。
よって、球の外部では球殻と同じ微小質量 $dM$ が球の中心に...
$r$ で積分してやれば半径 $a$ の球体がつくるポテンシャルに...
<tex>
\psi = -\int_{r=0}^{r=a} G\frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} = ...
</tex>
$M = \frac{4 \pi a^3 \rho}{3}$ としました。よって、ここに...
<tex>
F = -m\frac{d \psi}{dR}= - \frac{GmM}{R^2}
</tex>
となります。
Pが球殻の内部にある時
=======================
$\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時、 $R^\prime$ は $r-R...
<tex>
\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi ...
&=-2\pi \int^{r+R}_{r-R} d R^\prime \ G \frac{\rho r\ d...
&=-G \ 2R \ \frac{2\pi r \rho}{R} \\
&=-G \frac{4\pi r^2 \rho}{r} \\
&=-G\frac{d M}{r}
</tex>
ここでもやはり二つ目の等号は、式 $(2)$ を用いました。
よって作られるポテンシャルは、 $R$ によらず一定になります。
$r$ で積分してやれば半径 $a$ の球体がつくるポテンシャルに...
<tex>
\psi &= -\int_{r=0}^{r=R} G\frac{4 \pi \rho r^2 }{R}dr - ...
&= [ -G\frac{ 4 \pi r^3 \rho}{3R} ]^R_0 - [ -G \frac{4 \p...
&= -G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} + \frac{3}{2} \ G\frac{ 4 ...
&= \frac{1}{2} \ G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} - \frac{3}{2}...
&= \frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \fr...
</tex>
一行目の右辺、第一項は半径 $R$ よりも内側の部分が作るポテ...
同じく第二項は、半径 $R$ よりも、外側の部分が作るポテンシ...
内側のポテンシャルを表していて、その外側のポテンシャルを...
結果、無限遠点をポテンシャルの基準点としゼロとしたポテン...
注意していただきたいのは、球殻の内側のポテンシャルは $R$ ...
球殻が外側にポテンシャルをつくるように、ちゃんと内側にも...
球殻内部はポテンシャルが低くなっているということです。
ここに質点 $m$ をおいた時、質点が受ける力は、
<tex>
F =-m\frac{d \psi}{dR}= -\frac{GmMR}{a^3}
</tex>
です。
このポテンシャルは今回は重力と言いましたが、逆二乗則に従...
最後に受ける力、ポテンシャルをまとめたグラフを載せて終わ...
.. image:: chromel-gravityOfSphere-03.png
<tex>
\psi =
\begin{cases}
\frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \frac{...
-\frac{GM}{R} & \ (a<R)
\end{cases}
</tex>
.. image:: chromel-gravityOfSphere-02.png
<tex>
F =
\begin{cases}
-\frac{GmMR}{a^3} & \ (0<R<a) \\
- \frac{GmM}{R^2} & \ (a<R)
\end{cases}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-01-20@@
@@category:力学@@
@@id:gravitySphere@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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球殻のつくる重力ポテンシャル
=========================================================...
球殻や球体のつくる重力ポテンシャルを求めます。
球殻の作るポテンシャル
=======================
半径 $r$ 、密度 $\rho$ の球対称な厚さ $dr$ の薄い球殻を考...
質量 $d m$ によって、ある離れた位置 $P$ にできるポテンシ...
うに、 $OP=R$ 、 $OQ=r$ 、 $PQ=R^\prime$ とし、 $\angle P...
.. image:: chromel-gravityOfSphere-01.png
球対称な場合なので、極座標を用います。位置 $Q$ にある微小...
<tex>
dm= \rho \ dr \ rd\theta \ r \sin \theta \ d \phi
</tex>
なので、位置 $P$ にできるポテンシャルは、
<tex>
d \psi = -G \frac{dm}{R^\prime} = -G \frac{\rho \ dr \ rd...
</tex>
一方余弦定理より、
<tex>
{R^\prime}^2 = r^2 + R^2 -2rR \cos \theta
</tex>
両辺を微分して
<tex>
R^\prime d R^\prime = rR \sin \theta d \theta \tag{2}
</tex>
で式 $ (1) $ から $\theta$ を消去すれば、
<tex>
d \psi = -G \frac{\rho r \ dr \ d \phi \ d R^\prime}{...
</tex>
となります。
Pが球殻の外部にある時
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ポテンシャルを積分するわけですが、球殻の作る積分なので $ ...
注意してください。
$\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時、 $R^\prime$ は $R-r...
<tex>
\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi ...
&= -2\pi \int^{R+r}_{R-r} d R^\prime \ G \frac{\rho r \ ...
&=-G \ 2r \ \frac{2\pi r \rho \ dr}{R} \\
&=-G \frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} \\
&=-G\frac{d M}{R}
</tex>
二つ目の等号は、式 $(2)$ を用いました。
よって、球の外部では球殻と同じ微小質量 $dM$ が球の中心に...
$r$ で積分してやれば半径 $a$ の球体がつくるポテンシャルに...
<tex>
\psi = -\int_{r=0}^{r=a} G\frac{4\pi r^2 \rho \ dr}{R} = ...
</tex>
$M = \frac{4 \pi a^3 \rho}{3}$ としました。よって、ここに...
<tex>
F = -m\frac{d \psi}{dR}= - \frac{GmM}{R^2}
</tex>
となります。
Pが球殻の内部にある時
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$\theta$ が $0 \to \pi$ と変化する時、 $R^\prime$ は $r-R...
<tex>
\int d \psi &=\int^{\pi}_0 d \theta \int^{2\pi}_0 d \phi ...
&=-2\pi \int^{r+R}_{r-R} d R^\prime \ G \frac{\rho r\ d...
&=-G \ 2R \ \frac{2\pi r \rho}{R} \\
&=-G \frac{4\pi r^2 \rho}{r} \\
&=-G\frac{d M}{r}
</tex>
ここでもやはり二つ目の等号は、式 $(2)$ を用いました。
よって作られるポテンシャルは、 $R$ によらず一定になります。
$r$ で積分してやれば半径 $a$ の球体がつくるポテンシャルに...
<tex>
\psi &= -\int_{r=0}^{r=R} G\frac{4 \pi \rho r^2 }{R}dr - ...
&= [ -G\frac{ 4 \pi r^3 \rho}{3R} ]^R_0 - [ -G \frac{4 \p...
&= -G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} + \frac{3}{2} \ G\frac{ 4 ...
&= \frac{1}{2} \ G\frac{ 4 \pi R^2 \rho}{3} - \frac{3}{2}...
&= \frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \fr...
</tex>
一行目の右辺、第一項は半径 $R$ よりも内側の部分が作るポテ...
同じく第二項は、半径 $R$ よりも、外側の部分が作るポテンシ...
内側のポテンシャルを表していて、その外側のポテンシャルを...
結果、無限遠点をポテンシャルの基準点としゼロとしたポテン...
注意していただきたいのは、球殻の内側のポテンシャルは $R$ ...
球殻が外側にポテンシャルをつくるように、ちゃんと内側にも...
球殻内部はポテンシャルが低くなっているということです。
ここに質点 $m$ をおいた時、質点が受ける力は、
<tex>
F =-m\frac{d \psi}{dR}= -\frac{GmMR}{a^3}
</tex>
です。
このポテンシャルは今回は重力と言いましたが、逆二乗則に従...
最後に受ける力、ポテンシャルをまとめたグラフを載せて終わ...
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<tex>
\psi =
\begin{cases}
\frac{1}{2} \ \frac{G M R^2 }{a^3} - \frac{3}{2} \ \frac{...
-\frac{GM}{R} & \ (a<R)
\end{cases}
</tex>
.. image:: chromel-gravityOfSphere-02.png
<tex>
F =
\begin{cases}
-\frac{GmMR}{a^3} & \ (0<R<a) \\
- \frac{GmM}{R^2} & \ (a<R)
\end{cases}
</tex>
@@author:クロメル@@
@@accept:2007-01-20@@
@@category:力学@@
@@id:gravitySphere@@
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