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軌道の概念
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群 $G$ が、集合 $M$ の上で働くという意味を 群が集合の上で...
例えば、群 $G$ は正八面体を一つの対角線(下図の例では $A_{...
.. image:: Joh-Orbit1.gif
:align: center
図のように頂点に番号を振ると(頂点 $A_{1},A_{6}$ の恒等変...
.. image:: Joh-Orbit2.gif
:align: center
この青い矢印に沿っている点を、頂点 $A_{2},A_{3},A_{4},A_{...
軌道のもう少し正確な定義は、次節のように与えられます。抽...
軌道
---------------------------------------------
集合 $M$ の元 $m$ に対し、群 $G=\{g_{1} ,g_{2},...,g_{n} ...
このとき、ある $m$ に対して、全ての群 $G$ の元 $g_{i}$ を...
.. [*] mによるG-軌道が $M$ の部分集合になっていることを確...
.. [*] 数学的にもっとクールに表現すると『群 $G$ が集合 $M...
例1
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正四面体群 $P(4)$ の中で、頂点 $A_{1}$ を不動に保つ変化に...
.. image:: Joh-TetraOrbit.gif
:align: center
これは三項の巡回群 $Z_{3}=\{ e,g_{1}=(2 \ 3 \ 4),g_{2}=(2...
<tex>
Z_{3} (A_{2})=\{A_{2},A_{3},A_{4}\}
</tex>
.. [*] 頂点 $A_{2}$ が変換によってどう動いていくかをイメ...
例2
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
正六角形を中心まわりに平面上で回転させて自身に重ねる六個...
.. image:: Joh-HexOrbit.gif
:align: center
ここで $M$ として正六角形の六つの頂点の集合 $M=\{ A_{1},A...
<tex>
G(A_{1})=\{A_{1}, A_{3} ,A_{5}\}
</tex>
<tex>
G(A_{2})=\{A_{2}, A_{4} ,A_{6}\}
</tex>
<tex>
G(A_{3})=\{A_{3}, A_{5} ,A_{1}\}
</tex>
<tex>
G(A_{4})=\{A_{4}, A_{6} ,A_{2}\}
</tex>
<tex>
G(A_{5})=\{A_{5}, A_{1} ,A_{3}\}
</tex>
<tex>
G(A_{6})=\{A_{6}, A_{2} ,A_{4}\}
</tex>
一般的には $M$ の元の数だけ、軌道がありますが、この例では...
.. [*] 軌道の意味を納得しやすい例として $M$ として対称性...
例3
--------------------------------------------
立方体を、相対する面に垂直な軸を中心として回転させ、立方...
.. image:: Joh-CubeOrbit.gif
:align: center
軌道については、次のようになることが分かります。この変換...
<tex>
G(A_{1})=G(A_{2})=G(A_{3})=G(A_{4})=\{ A_{1}, A_{2}, A_{3...
</tex>
<tex>
G(A_{5})=G(A_{6})=G(A_{7})=G(A_{8})=\{ A_{5}, A_{6}, A_{7...
</tex>
また、図より $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ の軌道と $A_{5},A_...
独立な軌道
-----------------------------------------------
軌道に関して次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
集合 $M$ の元 $x,y$ に対し、 $y$ が $x$ の G-軌道 $G(x)$...
この定理は直観的に諒解できます。二つの軌道がもし交わらな...
.. [*] この定理は非常に重要です。軌道が交わらないというこ...
.. _群が集合の上で働くということ: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: GroupOrbit@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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軌道の概念
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群 $G$ が、集合 $M$ の上で働くという意味を 群が集合の上で...
例えば、群 $G$ は正八面体を一つの対角線(下図の例では $A_{...
.. image:: Joh-Orbit1.gif
:align: center
図のように頂点に番号を振ると(頂点 $A_{1},A_{6}$ の恒等変...
.. image:: Joh-Orbit2.gif
:align: center
この青い矢印に沿っている点を、頂点 $A_{2},A_{3},A_{4},A_{...
軌道のもう少し正確な定義は、次節のように与えられます。抽...
軌道
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集合 $M$ の元 $m$ に対し、群 $G=\{g_{1} ,g_{2},...,g_{n} ...
このとき、ある $m$ に対して、全ての群 $G$ の元 $g_{i}$ を...
.. [*] mによるG-軌道が $M$ の部分集合になっていることを確...
.. [*] 数学的にもっとクールに表現すると『群 $G$ が集合 $M...
例1
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正四面体群 $P(4)$ の中で、頂点 $A_{1}$ を不動に保つ変化に...
.. image:: Joh-TetraOrbit.gif
:align: center
これは三項の巡回群 $Z_{3}=\{ e,g_{1}=(2 \ 3 \ 4),g_{2}=(2...
<tex>
Z_{3} (A_{2})=\{A_{2},A_{3},A_{4}\}
</tex>
.. [*] 頂点 $A_{2}$ が変換によってどう動いていくかをイメ...
例2
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正六角形を中心まわりに平面上で回転させて自身に重ねる六個...
.. image:: Joh-HexOrbit.gif
:align: center
ここで $M$ として正六角形の六つの頂点の集合 $M=\{ A_{1},A...
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G(A_{1})=\{A_{1}, A_{3} ,A_{5}\}
</tex>
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G(A_{2})=\{A_{2}, A_{4} ,A_{6}\}
</tex>
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G(A_{3})=\{A_{3}, A_{5} ,A_{1}\}
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G(A_{4})=\{A_{4}, A_{6} ,A_{2}\}
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G(A_{5})=\{A_{5}, A_{1} ,A_{3}\}
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G(A_{6})=\{A_{6}, A_{2} ,A_{4}\}
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一般的には $M$ の元の数だけ、軌道がありますが、この例では...
.. [*] 軌道の意味を納得しやすい例として $M$ として対称性...
例3
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立方体を、相対する面に垂直な軸を中心として回転させ、立方...
.. image:: Joh-CubeOrbit.gif
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軌道については、次のようになることが分かります。この変換...
<tex>
G(A_{1})=G(A_{2})=G(A_{3})=G(A_{4})=\{ A_{1}, A_{2}, A_{3...
</tex>
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G(A_{5})=G(A_{6})=G(A_{7})=G(A_{8})=\{ A_{5}, A_{6}, A_{7...
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また、図より $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$ の軌道と $A_{5},A_...
独立な軌道
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軌道に関して次の定理がなりたちます。
.. admonition:: theorem
集合 $M$ の元 $x,y$ に対し、 $y$ が $x$ の G-軌道 $G(x)$...
この定理は直観的に諒解できます。二つの軌道がもし交わらな...
.. [*] この定理は非常に重要です。軌道が交わらないというこ...
.. _群が集合の上で働くということ: http://www12.plala.or.j...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-04-23@@
@@category: 代数学@@
@@id: GroupOrbit@@
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