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環(かん)
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環と呼ばれる代数構造も大事なものです。環は英語やドイツ語...
群や体と比較しつつ、環とはどのような構造なのかを見ていき...
環の公理
------------------------------------------------------
以下の条件を満たす集合を環と呼びます。
1. 加法について可換群になっています。(加法が閉じており、...
2. 結合則を満たす乗法があります。
3. 加法と乗法について分配法則がなりたちます。 $(a+b)c=ac+...
環は、加法については群になっていますが、乗法については群...
.. [*] 乗法の演算について結合則を満たすことにしましたが、...
幾つかの例
----------------------------------------------------
例1:整数環
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
有理数、実数、複素数、四元数は全て体をなしましたが( 体_ ...
しかし、整数の全体 $Z$ は加法に関しては群になりますし、乗...
環の乗法には単位元が存在しなくても良かったので、単位元が...
例2:全行列環
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
実正方行列の全体は、加法に関して群になりますし(零元は零行...
以下は、今すぐ重要なことではありませんが、環の興味深い性...
また $BA\ne O$ にも注意してください。積の順番によっても答...
例3:準同型写像の集合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
加法群 $M$ を加法群 $M$ に移す自己準同型写像の全体集合 $R...
加法の零元は、 $M$ の各元を $0$ に移す写像 $f_{0}$ です。...
<tex>
(f+f_{0})(x)=f(x)+f_{0}(x)=f(x)+0=f(x)
</tex>
<tex>
(f_{0}+f)(x)=f_{0}(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)
</tex>
加法の逆元は、 $M$ の各元 $x$ を $f'(x)=-f(x)$ に移す写像...
<tex>
(f+f')(x)=f(x)+f'(x)=f(x)-f(x)=0
</tex>
<tex>
(f'+f)(x)=f'(x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0
</tex>
.. [*] 単なる恒等写像 $e$ も $R$ の元のはず( $M$ の元をそ...
環の歴史
---------------------------------------------------------...
整数全体は環になるということでしたが、そもそも環という概...
ラグランジェ( $\text{Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)}$ ...
フェルマーの最終定理とは、フェルマー( $\text{Pierre de Fe...
その後、 $n=3,4,5,14,7$ の場合がフェルマー、オイラー( $\t...
.. figure:: Joh-Fermat.png
(フェルマーの最終定理で有名なフェルマー。本職は医者だっ...
その後、ラメがフェルマーの最終定理の証明に成功したと発表...
素因数分解の概念を通常の整数より広げると、その一意性は必...
.. [*] ガウスは $a+ib$ ( $a,b$ は整数)の形の数による素...
その後、クンマー( $\text{Ernst Eduard Kummer (1810-1893)}...
.. figure:: Joh-Kummer.gif
(講義中、三掛ける七を忘れてしまって学生に聞いたというク...
クンマーは、初等整数論の延長として理想数を考えついただけ...
環という奇妙な用語はドイツ語の $Zahlring$ (数の輪の意味)...
.. figure:: Joh-Hilbert.gif
(20世紀最大の数学者の一人・ヒルベルト)
この辺りの話題の内容は、もう少し勉強を進めて、代数的数、...
.. _イデアル: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Ideal/
.. _体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FieldDef/
.. _半群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Semigroup/
.. _超複素数:
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author: Joh@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: RingDef@@
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環(かん)
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環と呼ばれる代数構造も大事なものです。環は英語やドイツ語...
群や体と比較しつつ、環とはどのような構造なのかを見ていき...
環の公理
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以下の条件を満たす集合を環と呼びます。
1. 加法について可換群になっています。(加法が閉じており、...
2. 結合則を満たす乗法があります。
3. 加法と乗法について分配法則がなりたちます。 $(a+b)c=ac+...
環は、加法については群になっていますが、乗法については群...
.. [*] 乗法の演算について結合則を満たすことにしましたが、...
幾つかの例
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例1:整数環
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有理数、実数、複素数、四元数は全て体をなしましたが( 体_ ...
しかし、整数の全体 $Z$ は加法に関しては群になりますし、乗...
環の乗法には単位元が存在しなくても良かったので、単位元が...
例2:全行列環
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実正方行列の全体は、加法に関して群になりますし(零元は零行...
以下は、今すぐ重要なことではありませんが、環の興味深い性...
また $BA\ne O$ にも注意してください。積の順番によっても答...
例3:準同型写像の集合
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加法群 $M$ を加法群 $M$ に移す自己準同型写像の全体集合 $R...
加法の零元は、 $M$ の各元を $0$ に移す写像 $f_{0}$ です。...
<tex>
(f+f_{0})(x)=f(x)+f_{0}(x)=f(x)+0=f(x)
</tex>
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(f_{0}+f)(x)=f_{0}(x)+f(x)=0+f(x)=f(x)
</tex>
加法の逆元は、 $M$ の各元 $x$ を $f'(x)=-f(x)$ に移す写像...
<tex>
(f+f')(x)=f(x)+f'(x)=f(x)-f(x)=0
</tex>
<tex>
(f'+f)(x)=f'(x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0
</tex>
.. [*] 単なる恒等写像 $e$ も $R$ の元のはず( $M$ の元をそ...
環の歴史
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整数全体は環になるということでしたが、そもそも環という概...
ラグランジェ( $\text{Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)}$ ...
フェルマーの最終定理とは、フェルマー( $\text{Pierre de Fe...
その後、 $n=3,4,5,14,7$ の場合がフェルマー、オイラー( $\t...
.. figure:: Joh-Fermat.png
(フェルマーの最終定理で有名なフェルマー。本職は医者だっ...
その後、ラメがフェルマーの最終定理の証明に成功したと発表...
素因数分解の概念を通常の整数より広げると、その一意性は必...
.. [*] ガウスは $a+ib$ ( $a,b$ は整数)の形の数による素...
その後、クンマー( $\text{Ernst Eduard Kummer (1810-1893)}...
.. figure:: Joh-Kummer.gif
(講義中、三掛ける七を忘れてしまって学生に聞いたというク...
クンマーは、初等整数論の延長として理想数を考えついただけ...
環という奇妙な用語はドイツ語の $Zahlring$ (数の輪の意味)...
.. figure:: Joh-Hilbert.gif
(20世紀最大の数学者の一人・ヒルベルト)
この辺りの話題の内容は、もう少し勉強を進めて、代数的数、...
.. _イデアル: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Ideal/
.. _体: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/FieldDef/
.. _半群: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Semigroup/
.. _超複素数:
.. _代数学の基本定理: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebr...
@@author: Joh@@
@@accept: 2006-05-27@@
@@category: 代数学@@
@@id: RingDef@@
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