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運動方程式1
====================
力学,いえ物理学全体の要(かなめ)となる法則,それがニ...
なぜそのように重要な方程式が存在しているのか,根本的な理...
物理学は実験科学ですから,実験によって検証されたもの,そ...
運動方程式は,数々の実験や考察を乗り越え,今なお要として...
このページではほんの触りだけ,運動方程式というものについ...
.. [*] 「ニュートンの」を付けたり,単に「運動方程式」と言...
多くの場合,これらは全く同じ意味です.
運動方程式のある生活
--------------------------
いきなり変なセクションですが,ええと,私たちの生活は様...
みなさん色々な楽しみや,悩みを抱えて生きていることでしょ...
しかしそんな複雑な私たちの行動にも,生物としての本能(食...
根本的な原理じみたものが存在します.
人間でなくても,自然界というのはこれまた大変複雑なもの...
風が吹いて樹がそよぎ,木の葉がゆらゆらと地面に落ちて行く.
空には雲がゆらゆらと.池があったら,これまた水面がゆらゆ...
風,落下,雲,波.いろいろな運動が見られますが,
やはり生物の本能のように,その根本となる法則があります.
その最たるものとして,運動方程式を挙げることができます.
運動方程式を知ることで,もしかしたら日々の生活の本質を...
運動の法則
--------------------------
ニュートンの定めた 運動の法則_ とは
1. 外から力が作用しなければ,物体は静止したままか,等速直...
2. 物体に力が作用すると,力の方向に加速度を生じる.
加速度はその物体が受ける力に比例し,物体の質量に逆比例...
3. すべての作用に対して,等しく,かつ反対向きの反作用が常...
の三つでした.この記事で扱うのは2番目の法則,運動方程式で...
ところでこれら三つから成る運動の法則とやら,
日常の経験と照らし合わせてどうでしょう?実感できるでしょ...
たとえば,平地でも自転車は漕がなければ,いつか止まってし...
加速度っていったい何なのでしょうか.力ってなんだろう?
すべての作用に常に反対向きの力が働くって,本当にそうなの...
……などなど,いろいろ疑ってみてください.
これらは,現実生活のなかでは複雑な現象に覆い隠されてい...
しかし突き詰めて行くと,どうもそういう法則があると考えて...
そういう発見を行うこと,大雑把に言えばそれがニュートンの...
何ごとも,日ごろ目に付くものが本質であるとは限りません.
なんでもサラっとできる人でも,陰ではものすごく努力してい...
なんだか脱線しましたが,そのような本質をズバリ見抜くこ...
では節を変えて,肝心の運動方程式に話を戻します.
運動方程式の表現
--------------------------
現在の言葉で運動方程式を表現すれば
- 質量 $m$ の物体が,力 $\bm{F}$ を受けるとき,その物体に...
となります.これを定式化,つまり式で表したものが
<tex>
m\bm{a}=\bm{F} \tag{#def(maf)}
</tex>
です.式(#ref(maf))が,今日「運動方程式」と呼ばれている法...
ここで, $\bm{a}$ と $\bm{F}$ が太字になっています.
これら太字で書いた量は「 ベクトル_ である」ということを明...
.. image:: sakima-equationOfMotion-01.png
ご覧の通り,運動方程式は質量と加速度と力を結ぶ関係式で...
質量と加速度を掛けたもの $m\bm{a}$ は,力 $\bm{F}$ に等し...
この関係式を,天体などの複雑な運動から見出したことが,
ニュートン最大の功績といっても良いかも知れません.
多種多様な運動の(ほぼ)全ての根本に,こんな単純な方程式...
それでは,運動方程式を構成する部品について着目してみま...
質量(慣性質量)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
質量の単位はキログラム,記号 $\mathrm{kg}$ で表します(...
以下,いくつか単位についての説明が出てきますが,すべてSI...
運動方程式(#ref(maf))の両辺を質量 $m$ で割ってみましょ...
<tex>
\bm{a}=\frac{1}{m}\bm{F} \tag{#def(maf2)}
</tex>
この式(#ref(maf2))を言葉で表すと
- 物体の加速度の大きさは,力に比例し,質量に反比例する(...
となります.つまり質量とは,物体の動きやすさに関する指標...
さて,外力を受けない限り,同じ運動状態を保つ性質 [*]_ ...
式(#ref(maf2))は,外力と加速度,すなわち運動状態を結ぶ関...
その比例係数として,質量が含まれています.
この質量は「慣性」に関係しているため,慣性質量と呼ばれる...
.. [*] またの名を国際単位系.国際的に統一された単位系です.
.. [*] 「同じ運動状態を保つ」とは,静止した物体は静止した...
動いていた物体はそのまま等速直線運動を続けるという...
等速直線運動の方向は,力が働かなくなったときの接線...
加速度
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
加速度の単位はメートル毎秒毎秒,記号 $\mathrm{m/s^2}$ ...
加速度とは,単位時間当たりの速度の変化率です.
つまり,速度が変化するならば加速度が加わっているというこ...
「速度が変化する」ということは,「運動が変化する」とおき...
運動が変化するときには,加速度が加わっています.
さらに言うと,運動方程式が運動そのものではなく,
加速度という「運動の変化」について語っているということは...
力
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
力の単位はニュートン,記号 $\mathrm{N}$ で表します.
力というものは,なかなか明確に定義するのが難しい量です.
ニュートンよりも前の時代,物体が地面に落ちるのは,
物体そのものが持つ性質であると考えられていました.
しかしニュートンはそうではなく,力という概念を確立し,
物体が等速度運動を行わないときには必ず力というものが働い...
すると,物体が地面に落ちる理由は「なにか力が加わっている...
さらにそれは,万有引力の法則の発見へとつながりました.
運動方程式の見方を変えると,これは力を定義している式だ...
力の大きさは物体の「質量」と「加速度」の積により表される...
したがって力の単位は質量,距離,時間によって決められるこ...
では,力の単位ニュートンは,質量,距離,時間で表すとどう...
考えましたか?
<tex>
\mathrm{[N]}=\mathrm{[kg\cdot m/s^2]}
</tex>
ですね.日常生活でも「経済力」や「演技力」などというよう...
「力」は馴染み深い言葉ですが,物理での「力」は上のように...
ニュートンの表現
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
これまで書いてきたように,現在,運動方程式は $m\bm{a}=\...
でもこれは,本来ニュートンが表現したものとは少々違ってい...
ニュートンはその著書プリンキピアの中で
- 運動の変化は加えられた起動力に比例し,かつ
その力が働いている直線の方向に沿って行われる.
と言い,運動の量については
- 運動の量とは,速度と物質の量との積で計られるものである.
と述べています.ですのでニュートンによる表現を忠実に定式...
<tex>
\frac{d}{dt}(m\bm{v})=\bm{F} \tag{#def(maf3)}
</tex>
となります. $\frac{d}{dt}$ は(時間)微分という操作で,...
そして $m\bm{v}$ がニュートンの言う「運動の量」であり,現...
式(#ref(maf3))の左辺は「運動量の時間変化」を表しているこ...
さらに,速度 $\bm{v}$ の時間微分は加速度 $\bm{a}$ ですか...
結局,式(#ref(maf3))は式(#ref(maf))と同じことを表現してい...
ただし,式(#ref(maf3))と式(#ref(maf))が等しくなるのは,...
質量が刻々と変化するような運動(たとえばロケットの打ち上...
記述する運動方程式は,式(#ref(maf3))の形で計算しなければ...
運動方程式の限界
--------------------------
ここで紹介したニュートンの運動方程式は,大変重要な法則...
なのですが,万能ではありません.
極端にスケールの小さな領域,極端に速度の大きな領域では,
運動方程式だけでは通用しないことが確認されています.
前者では量子力学,後者では相対論が必要です.
ですが,私たちが生活しているスケールでは,ニュートンの運...
あとがき
--------------------------
運動方程式について,書いてきました.
ですが,これを読んだからってどうなるわけでもないのですよ...
あ,いえ,無駄というわけではないのですよ,もちろん.
しかし,運動方程式 $m\bm{a}=\bm{F}$ とは,その形を覚える...
いろいろな例題で実際に運動方程式を立てみて,それを解き,
そして物理的にどんな状況なのかを理解することも必要です.
最初は極端に単純化した,高校物理の教科書のはじめのほう...
それから徐々に現実に近い(ということは複雑な)モデルを勉...
物理が一見無味乾燥に思えるのは,考えやすくするために単純...
その単純なモデルを通じて本質的な考え方を身に付けることが...
いきいきとした自然現象をも(場合によってはコンピュータの...
.. _運動の法則: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/lo...
.. _ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/math...
@@author:崎間@@
@@accept:2005-04-14@@
@@category:力学@@
@@reference:bcl.sci.yamaguchi-u.ac.jp/texts/physics-lesso...
@@reference:朝永振一郎, 物理学とは何だろうか(上), 岩波...
@@reference:吉田春夫, キーポイント力学, 岩波書店, 1996, 9...
@@id:equationOfMotion1@@
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運動方程式1
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力学,いえ物理学全体の要(かなめ)となる法則,それがニ...
なぜそのように重要な方程式が存在しているのか,根本的な理...
物理学は実験科学ですから,実験によって検証されたもの,そ...
運動方程式は,数々の実験や考察を乗り越え,今なお要として...
このページではほんの触りだけ,運動方程式というものについ...
.. [*] 「ニュートンの」を付けたり,単に「運動方程式」と言...
多くの場合,これらは全く同じ意味です.
運動方程式のある生活
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いきなり変なセクションですが,ええと,私たちの生活は様...
みなさん色々な楽しみや,悩みを抱えて生きていることでしょ...
しかしそんな複雑な私たちの行動にも,生物としての本能(食...
根本的な原理じみたものが存在します.
人間でなくても,自然界というのはこれまた大変複雑なもの...
風が吹いて樹がそよぎ,木の葉がゆらゆらと地面に落ちて行く.
空には雲がゆらゆらと.池があったら,これまた水面がゆらゆ...
風,落下,雲,波.いろいろな運動が見られますが,
やはり生物の本能のように,その根本となる法則があります.
その最たるものとして,運動方程式を挙げることができます.
運動方程式を知ることで,もしかしたら日々の生活の本質を...
運動の法則
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ニュートンの定めた 運動の法則_ とは
1. 外から力が作用しなければ,物体は静止したままか,等速直...
2. 物体に力が作用すると,力の方向に加速度を生じる.
加速度はその物体が受ける力に比例し,物体の質量に逆比例...
3. すべての作用に対して,等しく,かつ反対向きの反作用が常...
の三つでした.この記事で扱うのは2番目の法則,運動方程式で...
ところでこれら三つから成る運動の法則とやら,
日常の経験と照らし合わせてどうでしょう?実感できるでしょ...
たとえば,平地でも自転車は漕がなければ,いつか止まってし...
加速度っていったい何なのでしょうか.力ってなんだろう?
すべての作用に常に反対向きの力が働くって,本当にそうなの...
……などなど,いろいろ疑ってみてください.
これらは,現実生活のなかでは複雑な現象に覆い隠されてい...
しかし突き詰めて行くと,どうもそういう法則があると考えて...
そういう発見を行うこと,大雑把に言えばそれがニュートンの...
何ごとも,日ごろ目に付くものが本質であるとは限りません.
なんでもサラっとできる人でも,陰ではものすごく努力してい...
なんだか脱線しましたが,そのような本質をズバリ見抜くこ...
では節を変えて,肝心の運動方程式に話を戻します.
運動方程式の表現
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現在の言葉で運動方程式を表現すれば
- 質量 $m$ の物体が,力 $\bm{F}$ を受けるとき,その物体に...
となります.これを定式化,つまり式で表したものが
<tex>
m\bm{a}=\bm{F} \tag{#def(maf)}
</tex>
です.式(#ref(maf))が,今日「運動方程式」と呼ばれている法...
ここで, $\bm{a}$ と $\bm{F}$ が太字になっています.
これら太字で書いた量は「 ベクトル_ である」ということを明...
.. image:: sakima-equationOfMotion-01.png
ご覧の通り,運動方程式は質量と加速度と力を結ぶ関係式で...
質量と加速度を掛けたもの $m\bm{a}$ は,力 $\bm{F}$ に等し...
この関係式を,天体などの複雑な運動から見出したことが,
ニュートン最大の功績といっても良いかも知れません.
多種多様な運動の(ほぼ)全ての根本に,こんな単純な方程式...
それでは,運動方程式を構成する部品について着目してみま...
質量(慣性質量)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
質量の単位はキログラム,記号 $\mathrm{kg}$ で表します(...
以下,いくつか単位についての説明が出てきますが,すべてSI...
運動方程式(#ref(maf))の両辺を質量 $m$ で割ってみましょ...
<tex>
\bm{a}=\frac{1}{m}\bm{F} \tag{#def(maf2)}
</tex>
この式(#ref(maf2))を言葉で表すと
- 物体の加速度の大きさは,力に比例し,質量に反比例する(...
となります.つまり質量とは,物体の動きやすさに関する指標...
さて,外力を受けない限り,同じ運動状態を保つ性質 [*]_ ...
式(#ref(maf2))は,外力と加速度,すなわち運動状態を結ぶ関...
その比例係数として,質量が含まれています.
この質量は「慣性」に関係しているため,慣性質量と呼ばれる...
.. [*] またの名を国際単位系.国際的に統一された単位系です.
.. [*] 「同じ運動状態を保つ」とは,静止した物体は静止した...
動いていた物体はそのまま等速直線運動を続けるという...
等速直線運動の方向は,力が働かなくなったときの接線...
加速度
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加速度の単位はメートル毎秒毎秒,記号 $\mathrm{m/s^2}$ ...
加速度とは,単位時間当たりの速度の変化率です.
つまり,速度が変化するならば加速度が加わっているというこ...
「速度が変化する」ということは,「運動が変化する」とおき...
運動が変化するときには,加速度が加わっています.
さらに言うと,運動方程式が運動そのものではなく,
加速度という「運動の変化」について語っているということは...
力
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
力の単位はニュートン,記号 $\mathrm{N}$ で表します.
力というものは,なかなか明確に定義するのが難しい量です.
ニュートンよりも前の時代,物体が地面に落ちるのは,
物体そのものが持つ性質であると考えられていました.
しかしニュートンはそうではなく,力という概念を確立し,
物体が等速度運動を行わないときには必ず力というものが働い...
すると,物体が地面に落ちる理由は「なにか力が加わっている...
さらにそれは,万有引力の法則の発見へとつながりました.
運動方程式の見方を変えると,これは力を定義している式だ...
力の大きさは物体の「質量」と「加速度」の積により表される...
したがって力の単位は質量,距離,時間によって決められるこ...
では,力の単位ニュートンは,質量,距離,時間で表すとどう...
考えましたか?
<tex>
\mathrm{[N]}=\mathrm{[kg\cdot m/s^2]}
</tex>
ですね.日常生活でも「経済力」や「演技力」などというよう...
「力」は馴染み深い言葉ですが,物理での「力」は上のように...
ニュートンの表現
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これまで書いてきたように,現在,運動方程式は $m\bm{a}=\...
でもこれは,本来ニュートンが表現したものとは少々違ってい...
ニュートンはその著書プリンキピアの中で
- 運動の変化は加えられた起動力に比例し,かつ
その力が働いている直線の方向に沿って行われる.
と言い,運動の量については
- 運動の量とは,速度と物質の量との積で計られるものである.
と述べています.ですのでニュートンによる表現を忠実に定式...
<tex>
\frac{d}{dt}(m\bm{v})=\bm{F} \tag{#def(maf3)}
</tex>
となります. $\frac{d}{dt}$ は(時間)微分という操作で,...
そして $m\bm{v}$ がニュートンの言う「運動の量」であり,現...
式(#ref(maf3))の左辺は「運動量の時間変化」を表しているこ...
さらに,速度 $\bm{v}$ の時間微分は加速度 $\bm{a}$ ですか...
結局,式(#ref(maf3))は式(#ref(maf))と同じことを表現してい...
ただし,式(#ref(maf3))と式(#ref(maf))が等しくなるのは,...
質量が刻々と変化するような運動(たとえばロケットの打ち上...
記述する運動方程式は,式(#ref(maf3))の形で計算しなければ...
運動方程式の限界
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ここで紹介したニュートンの運動方程式は,大変重要な法則...
なのですが,万能ではありません.
極端にスケールの小さな領域,極端に速度の大きな領域では,
運動方程式だけでは通用しないことが確認されています.
前者では量子力学,後者では相対論が必要です.
ですが,私たちが生活しているスケールでは,ニュートンの運...
あとがき
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運動方程式について,書いてきました.
ですが,これを読んだからってどうなるわけでもないのですよ...
あ,いえ,無駄というわけではないのですよ,もちろん.
しかし,運動方程式 $m\bm{a}=\bm{F}$ とは,その形を覚える...
いろいろな例題で実際に運動方程式を立てみて,それを解き,
そして物理的にどんな状況なのかを理解することも必要です.
最初は極端に単純化した,高校物理の教科書のはじめのほう...
それから徐々に現実に近い(ということは複雑な)モデルを勉...
物理が一見無味乾燥に思えるのは,考えやすくするために単純...
その単純なモデルを通じて本質的な考え方を身に付けることが...
いきいきとした自然現象をも(場合によってはコンピュータの...
.. _運動の法則: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/lo...
.. _ベクトル: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/math...
@@author:崎間@@
@@accept:2005-04-14@@
@@category:力学@@
@@reference:bcl.sci.yamaguchi-u.ac.jp/texts/physics-lesso...
@@reference:朝永振一郎, 物理学とは何だろうか(上), 岩波...
@@reference:吉田春夫, キーポイント力学, 岩波書店, 1996, 9...
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