記事ソース/一般の座標系における内積と外積
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一般の座標系における内積と外積
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既に、読者のみなさんは内積と外積という二種類の積をよく知...
この記事では共変ベクトルや反変ベクトルの概念を意識して、...
内積
--------------------------------------------------
ベクトル $\bm{A},\bm{B}$ の内積には、 $\bm{A},\bm{B}$ が...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B} &= A^{i}\bm{e_{i}} \cdot B^{k}\bm{e_{k...
&= A_{i}\bm{e^{i}} \cdot B^{k}\bm{e_{k}} \\
&= A^{i}\bm{e_{i}} \cdot B_{k}\bm{e^{k}} \\
&= A_{i}\bm{e^{i}} \cdot B_{k}\bm{e^{k}}
</tex>
計量テンソルを使えば、上式の各行は次のように書き換えられ...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B} &= g_{ik}A^{i}B^{k} \\
&= A_{i} B^{k}\\
&= A^{i} B_{k} \\
&= g^{ik} A_{i} B_{k}
</tex>
等号で結ばれていますから、どの表現を使っても全く同じ意味...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B} = A_{i} B^{k}= A^{i} B_{k}
</tex>
内積はスカラーですから、 $\bm{e_{i}}$ や $\bm{e^{k}}$ な...
もちろん、スカラーである内積が、座標系によらない値である...
ベクトルの長さは、自分自身との内積の平方根として定義され...
<tex>
|\bm{A}|=\sqrt{\bm{A}\cdot \bm{A}}=\sqrt{A^{i}A_{j}}=\sqr...
</tex>
ベクトル $\bm{A},\bm{B}$ のなす角を $\theta$ とすれば内積...
<tex>
\cos \theta &= \frac{g_{ik}A^{i}B^{k}}{\sqrt{g_{ik}A^{i}A...
&= \frac{g^{ik}A_{i}B_{k}}{\sqrt{g^{ik}A_{i}A_{k}}\sqrt{g...
&= \frac{A^{i}B_{k}}{\sqrt{A_{i}A^{k}}\sqrt{B_{i}B^{k}}} ...
&= \frac{A_{i}B^{k}}{\sqrt{A^{i}A_{k}}\sqrt{B^{i}B_{k}}}
</tex>
縮約について考えてみる
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『添字が上下に分かれていたら、その和を取る』という、アイ...
例えば $A_{1}B^{1}$ という積は、座標系の取り方による量で...
外積
---------------------------------------------------------...
外積は『ベクトル $\times$ ベクトル $=$ ベクトル』という計...
また、外積は座標不変量ではありませんから、基底ベクトルの...
まず、反変ベクトル同士の外積を考えましょう。基底は一般の...
<tex>
\bm{C} \equiv \bm{A} \times \bm{B} &= A^{i}\bm{e_{i}} \ti...
&= (A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}) \tim...
&= A^{1}B^{1}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{1}B^{2}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{1}B^{3}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{3}}}) \\
& \ \ \ + A^{2}B^{1}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{2}B^{2}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{2}B^{3}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{3}}}) \\
& \ \ \ + A^{3}B^{1}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{3}B^{2}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{3}B^{3}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{3}}})
</tex>
いま、考えている基底は正規直交基底ではありませんから、基...
<tex>
\bm{e_{j}} \times \bm{e_{k}} &= [\bm{e_{i}} \cdot (\bm{e_...
&= V \bm{e^{i}}
</tex>
式中 $V=\bm{e_{i}} \cdot (\bm{e_{j}} \times \bm{e_{k}})$ ...
<tex>
\bm{C}=\bm{A} \times \bm{B} = V(A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2})\bm...
</tex>
左辺を $\bm{C}=C_{i}\bm{e^{i}}$ と置き、両辺を比べれば成...
<tex>
C_{i}= V(A^{j}B^{k}-A^{k}B^{j}) \tag{2}
</tex>
これが、外積を反変基底 $\bm{e^{i}}$ を使って表現したとき...
<tex>
\bm{C}=\bm{A} \times \bm{B} = \frac{1}{V}(A_{2}B_{3}-A_{3...
</tex>
左辺を $C^{i}\bm{e_{i}}$ と置いて両辺を比べれば、成分の式...
<tex>
C^{i}= \frac{1}{V}(A_{j}B_{k}-A_{k}B_{j}) \tag{4}
</tex>
みなさんが最初に習った外積には、恐らく $V$ や $\frac{1}{V...
.. [*] ここで出てきた $V$ は計量テンソルの行列式の平方根 ...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: AffineProds@@
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一般の座標系における内積と外積
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既に、読者のみなさんは内積と外積という二種類の積をよく知...
この記事では共変ベクトルや反変ベクトルの概念を意識して、...
内積
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ベクトル $\bm{A},\bm{B}$ の内積には、 $\bm{A},\bm{B}$ が...
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\bm{A}\cdot \bm{B} &= A^{i}\bm{e_{i}} \cdot B^{k}\bm{e_{k...
&= A_{i}\bm{e^{i}} \cdot B^{k}\bm{e_{k}} \\
&= A^{i}\bm{e_{i}} \cdot B_{k}\bm{e^{k}} \\
&= A_{i}\bm{e^{i}} \cdot B_{k}\bm{e^{k}}
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計量テンソルを使えば、上式の各行は次のように書き換えられ...
<tex>
\bm{A}\cdot \bm{B} &= g_{ik}A^{i}B^{k} \\
&= A_{i} B^{k}\\
&= A^{i} B_{k} \\
&= g^{ik} A_{i} B_{k}
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等号で結ばれていますから、どの表現を使っても全く同じ意味...
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\bm{A}\cdot \bm{B} = A_{i} B^{k}= A^{i} B_{k}
</tex>
内積はスカラーですから、 $\bm{e_{i}}$ や $\bm{e^{k}}$ な...
もちろん、スカラーである内積が、座標系によらない値である...
ベクトルの長さは、自分自身との内積の平方根として定義され...
<tex>
|\bm{A}|=\sqrt{\bm{A}\cdot \bm{A}}=\sqrt{A^{i}A_{j}}=\sqr...
</tex>
ベクトル $\bm{A},\bm{B}$ のなす角を $\theta$ とすれば内積...
<tex>
\cos \theta &= \frac{g_{ik}A^{i}B^{k}}{\sqrt{g_{ik}A^{i}A...
&= \frac{g^{ik}A_{i}B_{k}}{\sqrt{g^{ik}A_{i}A_{k}}\sqrt{g...
&= \frac{A^{i}B_{k}}{\sqrt{A_{i}A^{k}}\sqrt{B_{i}B^{k}}} ...
&= \frac{A_{i}B^{k}}{\sqrt{A^{i}A_{k}}\sqrt{B^{i}B_{k}}}
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縮約について考えてみる
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『添字が上下に分かれていたら、その和を取る』という、アイ...
例えば $A_{1}B^{1}$ という積は、座標系の取り方による量で...
外積
---------------------------------------------------------...
外積は『ベクトル $\times$ ベクトル $=$ ベクトル』という計...
また、外積は座標不変量ではありませんから、基底ベクトルの...
まず、反変ベクトル同士の外積を考えましょう。基底は一般の...
<tex>
\bm{C} \equiv \bm{A} \times \bm{B} &= A^{i}\bm{e_{i}} \ti...
&= (A^{1}\bm{e_{1}}+A^{2}\bm{e_{2}}+A^{3}\bm{e_{3}}) \tim...
&= A^{1}B^{1}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{1}B^{2}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{1}B^{3}(\bm{e_{1}\times \bm{e_{3}}}) \\
& \ \ \ + A^{2}B^{1}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{2}B^{2}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{2}B^{3}(\bm{e_{2}\times \bm{e_{3}}}) \\
& \ \ \ + A^{3}B^{1}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{1}}}) +
A^{3}B^{2}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{2}}}) +
A^{3}B^{3}(\bm{e_{3}\times \bm{e_{3}}})
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いま、考えている基底は正規直交基底ではありませんから、基...
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\bm{e_{j}} \times \bm{e_{k}} &= [\bm{e_{i}} \cdot (\bm{e_...
&= V \bm{e^{i}}
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式中 $V=\bm{e_{i}} \cdot (\bm{e_{j}} \times \bm{e_{k}})$ ...
<tex>
\bm{C}=\bm{A} \times \bm{B} = V(A^{2}B^{3}-A^{3}B^{2})\bm...
</tex>
左辺を $\bm{C}=C_{i}\bm{e^{i}}$ と置き、両辺を比べれば成...
<tex>
C_{i}= V(A^{j}B^{k}-A^{k}B^{j}) \tag{2}
</tex>
これが、外積を反変基底 $\bm{e^{i}}$ を使って表現したとき...
<tex>
\bm{C}=\bm{A} \times \bm{B} = \frac{1}{V}(A_{2}B_{3}-A_{3...
</tex>
左辺を $C^{i}\bm{e_{i}}$ と置いて両辺を比べれば、成分の式...
<tex>
C^{i}= \frac{1}{V}(A_{j}B_{k}-A_{k}B_{j}) \tag{4}
</tex>
みなさんが最初に習った外積には、恐らく $V$ や $\frac{1}{V...
.. [*] ここで出てきた $V$ は計量テンソルの行列式の平方根 ...
.. _双対基底: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _計量テンソル: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranal...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: AffineProds@@
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