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一階常微分方程式の基礎知識
=========================================================...
特定の形の常微分方程式を解く時に知っていると便利なことを...
その形とは、 $t$ の関数について、
<tex>
\frac{df(t)}{dt}=g(t)f(t) \tag{##}
</tex>
というものです。
これは、両辺を $f(t)$ で割ってやると、
<tex>
\frac{\dot{f}}{f}=g(t) \tag{##}
</tex>
となり、 $C$ を積分定数として両辺の $t$ での不定積分を取...
<tex>
ln|f|= \int g(t) dt + C \tag{##}
</tex>
よって、両辺を指数関数の肩に乗せれば、
<tex>
|f|=exp(\int g(t) dt +C)=C^\prime exp(\int g(t) dt) \tag{...
</tex>
となります。
特に $g(t)$ が $t$ の冪関数の時、 $C$ を定数として、
<tex>
\dot{f} = C t^a f \tag{##}
</tex>
この時には、
<tex>
f(t)=
\begin{cases}
exp(\dfrac{C t^{a+1}}{a+1}) \ \ \ \ (when \ \ a \neq -1...
t^{C} \ \ \ \ (when \ \ a = -1)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
となります。
ここで、
<tex>
\lim_{a \to -1} t^{a+1} \to 1\ \ , \ \ \lim_{a \to -1 \pm...
</tex>
より、
<tex>
\lim_{a \to -1 \pm 0 }exp^{\frac{C t^{a+1}}{a+1}} = \inft...
</tex>
となり、極限が $t^C$ にならないことに注意してください。
ちなみに、 $\dot{f}=(t^2 - 2t +3)f$ など、微分して一般の...
例えば、この例だと、
<tex>
\dot{f} &= \frac{d}{dt} \left( exp(t^3/3) \times exp(-2t^...
&= \frac{d}{dt}exp(t^3/3-t^2+3t) \\
&= (t^2 -2t +3)f(t) \tag{##}
</tex>
の様に、積を作ることで和が作られます。
二階の微分方程式については、目下勉強中です (^^; 。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-10-14@@
@@category:物理数学@@
@@id:ODEIntro@@
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#rst2hooktail_source
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一階常微分方程式の基礎知識
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特定の形の常微分方程式を解く時に知っていると便利なことを...
その形とは、 $t$ の関数について、
<tex>
\frac{df(t)}{dt}=g(t)f(t) \tag{##}
</tex>
というものです。
これは、両辺を $f(t)$ で割ってやると、
<tex>
\frac{\dot{f}}{f}=g(t) \tag{##}
</tex>
となり、 $C$ を積分定数として両辺の $t$ での不定積分を取...
<tex>
ln|f|= \int g(t) dt + C \tag{##}
</tex>
よって、両辺を指数関数の肩に乗せれば、
<tex>
|f|=exp(\int g(t) dt +C)=C^\prime exp(\int g(t) dt) \tag{...
</tex>
となります。
特に $g(t)$ が $t$ の冪関数の時、 $C$ を定数として、
<tex>
\dot{f} = C t^a f \tag{##}
</tex>
この時には、
<tex>
f(t)=
\begin{cases}
exp(\dfrac{C t^{a+1}}{a+1}) \ \ \ \ (when \ \ a \neq -1...
t^{C} \ \ \ \ (when \ \ a = -1)
\end{cases} \tag{##}
</tex>
となります。
ここで、
<tex>
\lim_{a \to -1} t^{a+1} \to 1\ \ , \ \ \lim_{a \to -1 \pm...
</tex>
より、
<tex>
\lim_{a \to -1 \pm 0 }exp^{\frac{C t^{a+1}}{a+1}} = \inft...
</tex>
となり、極限が $t^C$ にならないことに注意してください。
ちなみに、 $\dot{f}=(t^2 - 2t +3)f$ など、微分して一般の...
例えば、この例だと、
<tex>
\dot{f} &= \frac{d}{dt} \left( exp(t^3/3) \times exp(-2t^...
&= \frac{d}{dt}exp(t^3/3-t^2+3t) \\
&= (t^2 -2t +3)f(t) \tag{##}
</tex>
の様に、積を作ることで和が作られます。
二階の微分方程式については、目下勉強中です (^^; 。
それでは、今日はこの辺で。
@@author:クロメル@@
@@accept:2010-10-14@@
@@category:物理数学@@
@@id:ODEIntro@@
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