記事ソース/ルジャンドル陪関数の直交性(拙著、ものにする量子力学の補遺)
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ルジャンドル陪関数の直交性(拙著、ものにする量子力学の補...
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挨拶
====================
どうも、クロメルです。拙著、「ものにする量子力学」(おか...
ご愛顧ありがとうございます。)では、水素原子の波動関数を
ルジャンドル関数、ラゲール多項式、ラゲール陪多項式につい...
関数同士が直交していることを利用して、関数を求めていきま...
残念ながら、ルジャンドル陪関数の直交関係は執筆期間内に求...
しかし、最近それについて考え直していたら、偶然、直交関係...
補遺として、ここに書いていこうと思います。とはいっても、...
これは載っているようです (^^; 。
ルジャンドル陪関数
===============================
まず、ルジャンドル陪関数 $P_l^m(x)$ は、ある整数 $l$ と $...
独立変数 $x (-1 \leq x \leq 1) $ の範囲で定義されます。こ...
球面調和関数 $Y_l^m(\theta , \phi)$ に関係の深い関数です。
その $P_l^m(x)$ が満たす微分方程式は、
<tex>
\dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \right] ...
</tex>
となります。
さて、前置きはこのくらいにして、本題に入りましょう。ルジ...
定理
<tex>
I = \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx = ...
</tex>
です。つまり、 $m \neq m^\prime$ の時、この一種の内積が0...
証明
式 $(2)$ に $m^2$ を掛けたものを変形していきます。
<tex>
m^2 I
&= m^2 \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx...
&= \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} m^2 \dfrac{P_l^m}{1-x^2} dx...
&= \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ ...
&= \left[ P_l^{m^\prime} (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \rig...
+ \int_{-1}^1 \left( - (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \dfrac...
&= - \left[ P_l^{m} (1-x^2) \dfrac{d P_l^{m^\prime}}{dx} ...
+ \int_{-1}^1 P_l^{m} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2) ...
&= \int_{-1}^1 P_l^m m^{\prime 2} \dfrac{ P_l^{m^\prime} ...
&= m^{\prime 2} \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{...
&= m^{\prime 2} I
\tag{##}
</tex>
これは、
<tex>
(m^2-m^{\prime 2})I=0 \tag{##}
</tex>
を示しています。つまり、 $m \neq m^\prime$ の時、
<tex>
I = 0 \tag{##}
</tex>
と言うわけです。
ここで注意しておきますが、この関係は $m$ と $m^\prime$ の...
が、 $ P_l^{l-1} = x(1-x^2)^{(l-1)/2}$ からは、 $P_l^{l-3...
同じ $l$ を持つ、異なる $m$ の関数が次々と求まって行くの...
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-11-30@@
@@category:量子力学@@
@@id:legendreOrtho@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ルジャンドル陪関数の直交性(拙著、ものにする量子力学の補...
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挨拶
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どうも、クロメルです。拙著、「ものにする量子力学」(おか...
ご愛顧ありがとうございます。)では、水素原子の波動関数を
ルジャンドル関数、ラゲール多項式、ラゲール陪多項式につい...
関数同士が直交していることを利用して、関数を求めていきま...
残念ながら、ルジャンドル陪関数の直交関係は執筆期間内に求...
しかし、最近それについて考え直していたら、偶然、直交関係...
補遺として、ここに書いていこうと思います。とはいっても、...
これは載っているようです (^^; 。
ルジャンドル陪関数
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まず、ルジャンドル陪関数 $P_l^m(x)$ は、ある整数 $l$ と $...
独立変数 $x (-1 \leq x \leq 1) $ の範囲で定義されます。こ...
球面調和関数 $Y_l^m(\theta , \phi)$ に関係の深い関数です。
その $P_l^m(x)$ が満たす微分方程式は、
<tex>
\dfrac{d}{dx} \left[ (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \right] ...
</tex>
となります。
さて、前置きはこのくらいにして、本題に入りましょう。ルジ...
定理
<tex>
I = \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx = ...
</tex>
です。つまり、 $m \neq m^\prime$ の時、この一種の内積が0...
証明
式 $(2)$ に $m^2$ を掛けたものを変形していきます。
<tex>
m^2 I
&= m^2 \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{1-x^2} dx...
&= \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} m^2 \dfrac{P_l^m}{1-x^2} dx...
&= \int_{-1}^1 P_l^{m^\prime} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ ...
&= \left[ P_l^{m^\prime} (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \rig...
+ \int_{-1}^1 \left( - (1-x^2) \dfrac{d P_l^m}{dx} \dfrac...
&= - \left[ P_l^{m} (1-x^2) \dfrac{d P_l^{m^\prime}}{dx} ...
+ \int_{-1}^1 P_l^{m} \left( \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x^2) ...
&= \int_{-1}^1 P_l^m m^{\prime 2} \dfrac{ P_l^{m^\prime} ...
&= m^{\prime 2} \int_{-1}^1 \dfrac{P_l^m P_l^{m^\prime}}{...
&= m^{\prime 2} I
\tag{##}
</tex>
これは、
<tex>
(m^2-m^{\prime 2})I=0 \tag{##}
</tex>
を示しています。つまり、 $m \neq m^\prime$ の時、
<tex>
I = 0 \tag{##}
</tex>
と言うわけです。
ここで注意しておきますが、この関係は $m$ と $m^\prime$ の...
が、 $ P_l^{l-1} = x(1-x^2)^{(l-1)/2}$ からは、 $P_l^{l-3...
同じ $l$ を持つ、異なる $m$ の関数が次々と求まって行くの...
それでは今日はこの辺で、お疲れ様でした。
@@author:クロメル@@
@@accept:2013-11-30@@
@@category:量子力学@@
@@id:legendreOrtho@@
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