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ホロノーム型の拘束条件
=================================
ここでは,解析力学の問題を解くときに重要となってくる拘束...
方法(ラグランジュの未定乗数法)を紹介します.ただ,その証...
ますから,この記事では割愛して,技術の習得だけを目的にし...
ホロノーム型の拘束条件
==============================
力学の問題を使って拘束条件の例を挙げて見ましょう.例えば...
拘束条件の一つですし,大きさのある物体を剛体で近似するこ...
一種だと考えることができます.
このように,拘束条件は具体的な問題を解く上で避けることは...
いずれも物体の軌跡や粒子間の相対的な位置関係を固定するも...
拘束条件を一般座標 $q_1,q_2,\cdots,q_n$ と時間の関数を複...
<tex>
G_1(q,t)=0,\quad G_2(q,t)=0,\quad\cdots, G_k(q,t)=0 \tag{...
</tex>
例えば,平面内を物体が放物運動するように壁を作って物体を...
というように表すことができます.式(1)のように書ける拘束条...
では,式(1)の形ですべての拘束条件を網羅できるかというと,...
も存在して,そのような拘束条件を総称して非ホロノーム型の...
ここでは,ホロノーム型の拘束条件の処理を考えましょう.な...
使うと統一的に扱うことができてしまうのです!
ラグランジュの未定乗数法
==============================
一般にホロノーム型の拘束条件が $k$ 個あれば,自由度は $k$...
変数が $n-k$ 個になるということです).
ここで,式(1)で表せる拘束条件を考えてみましょう.この系の...
<tex>
I=\int_{t_1}^{t_2}L\mathrm{d}t
</tex>
と定義できます.この第一変分をとると,これまでと全く同様...
<tex>
\delta I=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{l=1}^{n}\left({\partial L\...
{\partial L\over \partial \dot{q}_l}\right)\delta q_l\mat...
</tex>
さて,ここで困ることになります.確かに変分原理より $\delt...
各変分 $\delta q_l$ を独立にとることができません!
このままではどうしようもないので,拘束条件をうまく使って...
式で表すと次のようになるでしょう. $i=1,2,\cdots,k$ とし...
<tex>
G_i(q+\delta q,t)-G_i(q,t)=0
</tex>
これを,変分について一次の項までとることにしましょう.
<tex>
\sum_{l=1}^{n}{\partial G_i\over\partial q_l}\delta q_l=0...
</tex>
これで,拘束条件と変分の関係を見ることができるようになり...
ここで,ラグランジュの未定乗数法と呼ばれるものを使うこと...
アイディアは簡単です.今考えている座標変数のうち独立なも...
新しく値が未定の定数を $k$ 個用意して,とにかく新しい定数...
しまうのではないか?ということです.
具体的には次のようにします.新しい定数 $q_{n+1},q_{n+2},\...
未定乗数と呼ばれています.式(2)と式(3)から次の式が成り立...
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{l=1}^{n}\left({\partial L\over \par...
{\partial L\over \partial \dot{q}_l}+
\sum_{i=1}^{k}q_{n+i}{\partial G_i\over\partial q_l}\righ...
</tex>
さて,未定乗数をうまく選べば変分がすべて独立に取れるよう...
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L\over \partial \do...
-{\partial L\over \partial q_l}-\sum_{i=1}^{k}q_{n+i}{\pa...
</tex>
あとは,式(1)で表される拘束条件の式とあわせて解けば,良い...
完成です.
式(1)と式(5)をまとめて書くこともできます.新しくラグラン...
<tex>
L'(q,\dot{q},t;q_{n+1},q_{n+2},\cdots,q_{n+k})=L(q,\dot{q...
</tex>
新しいラグランジアン $L'$ について,いつも通りのラグラン...
全部表せてしまうことを確認してください.
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L'\over \partial \d...
-{\partial L'\over \partial q_l}=0 \quad (l=1,2,\cdots,n,...
</tex>
つまり,ホロノーム型の拘束条件はラグランジアンに取り込ん...
この性質は,拘束条件がないとして議論したことはホロノーム...
成り立つということを意味しますので,非常に便利ですね.
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
終了行:
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ホロノーム型の拘束条件
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ここでは,解析力学の問題を解くときに重要となってくる拘束...
方法(ラグランジュの未定乗数法)を紹介します.ただ,その証...
ますから,この記事では割愛して,技術の習得だけを目的にし...
ホロノーム型の拘束条件
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力学の問題を使って拘束条件の例を挙げて見ましょう.例えば...
拘束条件の一つですし,大きさのある物体を剛体で近似するこ...
一種だと考えることができます.
このように,拘束条件は具体的な問題を解く上で避けることは...
いずれも物体の軌跡や粒子間の相対的な位置関係を固定するも...
拘束条件を一般座標 $q_1,q_2,\cdots,q_n$ と時間の関数を複...
<tex>
G_1(q,t)=0,\quad G_2(q,t)=0,\quad\cdots, G_k(q,t)=0 \tag{...
</tex>
例えば,平面内を物体が放物運動するように壁を作って物体を...
というように表すことができます.式(1)のように書ける拘束条...
では,式(1)の形ですべての拘束条件を網羅できるかというと,...
も存在して,そのような拘束条件を総称して非ホロノーム型の...
ここでは,ホロノーム型の拘束条件の処理を考えましょう.な...
使うと統一的に扱うことができてしまうのです!
ラグランジュの未定乗数法
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一般にホロノーム型の拘束条件が $k$ 個あれば,自由度は $k$...
変数が $n-k$ 個になるということです).
ここで,式(1)で表せる拘束条件を考えてみましょう.この系の...
<tex>
I=\int_{t_1}^{t_2}L\mathrm{d}t
</tex>
と定義できます.この第一変分をとると,これまでと全く同様...
<tex>
\delta I=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{l=1}^{n}\left({\partial L\...
{\partial L\over \partial \dot{q}_l}\right)\delta q_l\mat...
</tex>
さて,ここで困ることになります.確かに変分原理より $\delt...
各変分 $\delta q_l$ を独立にとることができません!
このままではどうしようもないので,拘束条件をうまく使って...
式で表すと次のようになるでしょう. $i=1,2,\cdots,k$ とし...
<tex>
G_i(q+\delta q,t)-G_i(q,t)=0
</tex>
これを,変分について一次の項までとることにしましょう.
<tex>
\sum_{l=1}^{n}{\partial G_i\over\partial q_l}\delta q_l=0...
</tex>
これで,拘束条件と変分の関係を見ることができるようになり...
ここで,ラグランジュの未定乗数法と呼ばれるものを使うこと...
アイディアは簡単です.今考えている座標変数のうち独立なも...
新しく値が未定の定数を $k$ 個用意して,とにかく新しい定数...
しまうのではないか?ということです.
具体的には次のようにします.新しい定数 $q_{n+1},q_{n+2},\...
未定乗数と呼ばれています.式(2)と式(3)から次の式が成り立...
<tex>
\int_{t_1}^{t_2}\sum_{l=1}^{n}\left({\partial L\over \par...
{\partial L\over \partial \dot{q}_l}+
\sum_{i=1}^{k}q_{n+i}{\partial G_i\over\partial q_l}\righ...
</tex>
さて,未定乗数をうまく選べば変分がすべて独立に取れるよう...
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L\over \partial \do...
-{\partial L\over \partial q_l}-\sum_{i=1}^{k}q_{n+i}{\pa...
</tex>
あとは,式(1)で表される拘束条件の式とあわせて解けば,良い...
完成です.
式(1)と式(5)をまとめて書くこともできます.新しくラグラン...
<tex>
L'(q,\dot{q},t;q_{n+1},q_{n+2},\cdots,q_{n+k})=L(q,\dot{q...
</tex>
新しいラグランジアン $L'$ について,いつも通りのラグラン...
全部表せてしまうことを確認してください.
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L'\over \partial \d...
-{\partial L'\over \partial q_l}=0 \quad (l=1,2,\cdots,n,...
</tex>
つまり,ホロノーム型の拘束条件はラグランジアンに取り込ん...
この性質は,拘束条件がないとして議論したことはホロノーム...
成り立つということを意味しますので,非常に便利ですね.
@@author:佑弥@@
@@category:解析力学@@
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