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ベクトル空間
====================================
体の拡大を勉強する前に、ベクトル空間を軽く勉強します。線...
ベクトルの演算
---------------------------------------
幾何ベクトルの演算には、次のような著しい特徴がありました...
1. 和に関して可換であり、ベクトルの和はベクトルになる。
2. ベクトルのスカラー倍はベクトルになる。
.. image:: Joh-VectorSpace2.gif
さらに、スカラー倍とベクトルの和に関して、分配則がなりた...
<tex>
3. \ \ \ \lambda (\bm{x} + \bm{y}) = \lambda \bm{x} + \la...
</tex>
この三つの性質は、あとで引き合いに出しますので覚えておい...
ベクトル空間
-----------------------------------------
ひとまず前節のベクトルの図は忘れて、ベクトル空間の定義に...
【ベクトル空間の公理】
1. $a,b \in V \ \Longrightarrow \ a+b \in V$ (加法が閉じ...
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ (加法の結合則)
3. $a+b = b + a$ (加法の交換則)
4. 加法の零元 $0$ が存在する。 $a+0=0+a=a$
5. 加法の逆元が存在する。 $a+(-a)=(-a)+a=0$
6. 任意のスカラー $\lambda$ に対して $\lambda a \in V$ (...
7. $\lambda (\mu a)=(\lambda \mu)a$ (スカラー積の結合則)
8. スカラー積の零元 $0$ が存在する。
9. スカラー積の単位元 $1$ が存在する。
10. $\lambda (a+b)=\lambda a + \lambda b$ (スカラー積と加...
十個の条件は、ある有名な教科書に出ていたものをそのまま写...
1. 加法に関して可換群にある。
2. スカラー積に関して可換群に似た構造になる。
3. 加法とスカラー積に分配則がなりたつ。
だいぶすっきりしましたが、『可換群に似た』と書いた二番目...
さて、次の3つの条件を満たす構造を体と呼ぶのでした。
1. 加法に関して可換群にある。
2. 乗法に関して可換群である。
3. 加法と乗法に分配則がなりたつ。
ベクトル空間は、スカラー積の演算が外部算法であるため惜し...
スカラー積の演算に使うスカラーの属する体を $F$ とするとき...
.. [*] ベクトル空間と体との違いは、ベクトル空間のスカラー...
.. [*] 筆者は大学一年生のとき、試験前に急いでベクトル空間...
ベクトル空間の演算規則とは、 **最初に見た幾何ベクトルの3...
しかし、ベクトル空間は広く抽象的な概念ですから、一般にベ...
ベクトル空間の元を単に『ベクトル』と呼ぶ人もありますが、...
.. [*] そのうちベクトル空間の基底、関数のフーリエ展開、グ...
例
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
次のような、体 $F$ 上の数を係数とする多項式の全体はベクト...
<tex>
f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} \ \ (a_{i...
</tex>
特に、 $x$ の最高次数が $n$ のとき、 $n$ 次元ベクトル空間...
ベクトル空間に関する基本的なこと
---------------------------------------------------------...
ベクトル空間上の演算や写像を詳しく調べる分野を線形代数と...
しかし、ベクトル空間の表現は行列だけではありませんから、...
以下に触れるのは、基本的な事柄だけですので、証明は省きま...
一次従属と一次独立
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の元 $x_{1},x_{2},...,x_{m}$ ...
<tex>
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{m}x_{m}=0 \tag{1}
</tex>
このとき、一つでも非零の係数 $a_{i} \ (\in F)$ が存在する...
基底
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の元を、全て適当な係数 $c_{i}...
<tex>
c_{1}{\sigma }_{1}+c_{2}{\sigma}_{2}+...+c_{n}{\sigma }_{...
</tex>
このとき、 ${\sigma}_{i}$ を $V$ の *基底* と呼びます。基...
個々の基底は一次独立です。逆に、 $n$ 次元ベクトル空間で、...
線形写像
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ から、 $F$ 上のベクトル空間 $...
<tex>
T: \ V \ \rightarrow \ V'
</tex>
この写像が次の性質を満たすなら、これを *線形写像* と言い...
<tex>
T(x+y)=T(x)+T(y) \ \ \ (x,y \in V, T(x),T(y) \in V')
</tex>
<tex>
T(cx)=cT(x) \ \ \ (x \in V, c \in F)
</tex>
また、 $T(x)=0$ となる $V$ 上の点 $x$ を $T$ の *核* 、も...
.. image:: Joh-FLinearTrans.gif
.. _もう一度ベクトル1: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _もう一度ベクトル2: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _もう一度ベクトル3: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: VectorSpace@@
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ベクトル空間
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体の拡大を勉強する前に、ベクトル空間を軽く勉強します。線...
ベクトルの演算
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幾何ベクトルの演算には、次のような著しい特徴がありました...
1. 和に関して可換であり、ベクトルの和はベクトルになる。
2. ベクトルのスカラー倍はベクトルになる。
.. image:: Joh-VectorSpace2.gif
さらに、スカラー倍とベクトルの和に関して、分配則がなりた...
<tex>
3. \ \ \ \lambda (\bm{x} + \bm{y}) = \lambda \bm{x} + \la...
</tex>
この三つの性質は、あとで引き合いに出しますので覚えておい...
ベクトル空間
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ひとまず前節のベクトルの図は忘れて、ベクトル空間の定義に...
【ベクトル空間の公理】
1. $a,b \in V \ \Longrightarrow \ a+b \in V$ (加法が閉じ...
2. $a+(b+c)=(a+b)+c$ (加法の結合則)
3. $a+b = b + a$ (加法の交換則)
4. 加法の零元 $0$ が存在する。 $a+0=0+a=a$
5. 加法の逆元が存在する。 $a+(-a)=(-a)+a=0$
6. 任意のスカラー $\lambda$ に対して $\lambda a \in V$ (...
7. $\lambda (\mu a)=(\lambda \mu)a$ (スカラー積の結合則)
8. スカラー積の零元 $0$ が存在する。
9. スカラー積の単位元 $1$ が存在する。
10. $\lambda (a+b)=\lambda a + \lambda b$ (スカラー積と加...
十個の条件は、ある有名な教科書に出ていたものをそのまま写...
1. 加法に関して可換群にある。
2. スカラー積に関して可換群に似た構造になる。
3. 加法とスカラー積に分配則がなりたつ。
だいぶすっきりしましたが、『可換群に似た』と書いた二番目...
さて、次の3つの条件を満たす構造を体と呼ぶのでした。
1. 加法に関して可換群にある。
2. 乗法に関して可換群である。
3. 加法と乗法に分配則がなりたつ。
ベクトル空間は、スカラー積の演算が外部算法であるため惜し...
スカラー積の演算に使うスカラーの属する体を $F$ とするとき...
.. [*] ベクトル空間と体との違いは、ベクトル空間のスカラー...
.. [*] 筆者は大学一年生のとき、試験前に急いでベクトル空間...
ベクトル空間の演算規則とは、 **最初に見た幾何ベクトルの3...
しかし、ベクトル空間は広く抽象的な概念ですから、一般にベ...
ベクトル空間の元を単に『ベクトル』と呼ぶ人もありますが、...
.. [*] そのうちベクトル空間の基底、関数のフーリエ展開、グ...
例
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次のような、体 $F$ 上の数を係数とする多項式の全体はベクト...
<tex>
f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n} \ \ (a_{i...
</tex>
特に、 $x$ の最高次数が $n$ のとき、 $n$ 次元ベクトル空間...
ベクトル空間に関する基本的なこと
---------------------------------------------------------...
ベクトル空間上の演算や写像を詳しく調べる分野を線形代数と...
しかし、ベクトル空間の表現は行列だけではありませんから、...
以下に触れるのは、基本的な事柄だけですので、証明は省きま...
一次従属と一次独立
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の元 $x_{1},x_{2},...,x_{m}$ ...
<tex>
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{m}x_{m}=0 \tag{1}
</tex>
このとき、一つでも非零の係数 $a_{i} \ (\in F)$ が存在する...
基底
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体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の元を、全て適当な係数 $c_{i}...
<tex>
c_{1}{\sigma }_{1}+c_{2}{\sigma}_{2}+...+c_{n}{\sigma }_{...
</tex>
このとき、 ${\sigma}_{i}$ を $V$ の *基底* と呼びます。基...
個々の基底は一次独立です。逆に、 $n$ 次元ベクトル空間で、...
線形写像
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ から、 $F$ 上のベクトル空間 $...
<tex>
T: \ V \ \rightarrow \ V'
</tex>
この写像が次の性質を満たすなら、これを *線形写像* と言い...
<tex>
T(x+y)=T(x)+T(y) \ \ \ (x,y \in V, T(x),T(y) \in V')
</tex>
<tex>
T(cx)=cT(x) \ \ \ (x \in V, c \in F)
</tex>
また、 $T(x)=0$ となる $V$ 上の点 $x$ を $T$ の *核* 、も...
.. image:: Joh-FLinearTrans.gif
.. _もう一度ベクトル1: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _もう一度ベクトル2: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _もう一度ベクトル3: http://www12.plala.or.jp/ksp/math...
.. _準同型写像: http://www12.plala.or.jp/ksp/algebra/Homo...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-06-21@@
@@category: 代数学@@
@@id: VectorSpace@@
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