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ベクトルことはじめ(数学)
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これからベクトルやテンソル(ベクトルの概念を拡張したよう...
.. [*] 記事の拡充もしくは執筆計画の変更に伴い、かならずし...
ほとんどの人が既に高校でベクトルを習ったと思いますが、高...
.. image:: Joh-VectorImage.gif
ベクトルが矢印かどうかは今は措いておくとして、ベクトルの...
こんな思考実験をしてみましょう。この世から、どんどん物を...
完全に物理的対象を除いてしまったら、空っぽの空間だけが残...
どうなんでしょうかね。「広がりという概念は、最低二つの物...
.. figure:: Joh-Leibniz.gif
微積分学の創始者ライプニッツ。哲学者でもあった。ライプニ...
ここでは、あまりこの話題に深入りはしません。どうやら「空...
ユークリッド空間
---------------------------------------------------------...
数学では、よく分からないことは事前にきちんと約束をしてお...
.. image:: Joh-Blank1.gif
一個のベクトルさえ存在しないこの真っ白(空間に色はあるの...
.. [*] しかし『距離をどのように定義するか』というのは、ま...
かなり幾何学ができそうな雰囲気になってきました。もう一つ...
それから、先ほど、距離の概念を入れましたから、空間には広...
ベクトルが一個もない「空っぽな」空間でも、既にこれぐらい...
.. image:: Joh-Blank2.gif
『3つの実数でどの点も示せるよ』という意味で、この空間を ...
.. image:: Joh-Blank3.gif
うーん、やはり何か物があると良いですね。
.. [*] 数学を専門にしている人は、もう少し厳密に空間につい...
座標系
---------------------------------------------------------...
さて、空間にいよいよベクトルが登場してきました。『そもそも...
ここからは、私達サイドの問題です。ベクトルの長さを測った...
.. image:: Joh-CoordsX4.gif
座標系とは、私たちが図形の上に勝手に押し付けた定規のよう...
これは、今後のベクトルの勉強で、とても大事な問題です。
.. important::
座標変換したとき、何が変わるか、何が変わらないか。
基底を意識しよう
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
高校までは、座標系と言ったらほとんどの場合、次図のような...
.. image:: Joh-CartesianCoords.gif
確かにデカルト座標系は便利ですが、『座標系は私達が勝手に...
ベクトルを $(A_{1},A_{2},A_{3})$ のように成分の組として計...
<tex>
\bm{A} = A_{1}\bm{e_{1}}+ A_{2}\bm{e_{2}}+ A_{3}\bm{e_{3}}
</tex>
使っている座標系がよほど明らかな場合には、 $\bm{A}=(A_{1}...
.. important::
いま、どんな座標系で考えているのかが大事。
.. [*] もう一つ付け加えると、いまベクトル成分の添字を $(A...
微分
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルを微分したり積分したりすることがあります。いま、...
ベクトルの微積分にも色々な場合がありますが、例えば $t$ の...
.. important::
微分は向きが命です。ここでも座標系(変数)をどう取るかが...
このように、導関数の値は一般には座標系の取り方によります...
.. important::
ベクトルを微積分するとき、座標系によるものは何か、座標系...
代数構造
---------------------------------------------------------...
ベクトルには『足し算』『引き算』が定義できます。それから...
つまり、ベクトルを全部を集めて集合を作ると、この集合は単...
さらに、もしベクトルの集合と全く同じ計算構造を備えた集合...
こうなると、もう矢印でイメージしていたベクトルの話ではな...
むしろ『集合そのもの』の性質を考えることで、より深遠な、...
いつまでも、ベクトルを矢印のイメージで捉えていると、その...
.. important::
ベクトルが、いつも矢印だとは限らない。
例えば、ベクトルの加法やスカラー積の概念を抽象化したベク...
.. [*] ベクトル同士を足したり、ベクトルを定数倍してもベク...
その先の展望
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
ベクトルの分野で、ベクトルの計算そのものも非常に重要です...
座標変換で変わらないものを突き詰めて行くと、微分形式とい...
一方、そもそも座標変換って何なんだ?座標系って何なんだ?...
.. image:: Joh-Love.gif
.. _世界の名著: http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorIntro@@
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ベクトルことはじめ(数学)
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これからベクトルやテンソル(ベクトルの概念を拡張したよう...
.. [*] 記事の拡充もしくは執筆計画の変更に伴い、かならずし...
ほとんどの人が既に高校でベクトルを習ったと思いますが、高...
.. image:: Joh-VectorImage.gif
ベクトルが矢印かどうかは今は措いておくとして、ベクトルの...
こんな思考実験をしてみましょう。この世から、どんどん物を...
完全に物理的対象を除いてしまったら、空っぽの空間だけが残...
どうなんでしょうかね。「広がりという概念は、最低二つの物...
.. figure:: Joh-Leibniz.gif
微積分学の創始者ライプニッツ。哲学者でもあった。ライプニ...
ここでは、あまりこの話題に深入りはしません。どうやら「空...
ユークリッド空間
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数学では、よく分からないことは事前にきちんと約束をしてお...
.. image:: Joh-Blank1.gif
一個のベクトルさえ存在しないこの真っ白(空間に色はあるの...
.. [*] しかし『距離をどのように定義するか』というのは、ま...
かなり幾何学ができそうな雰囲気になってきました。もう一つ...
それから、先ほど、距離の概念を入れましたから、空間には広...
ベクトルが一個もない「空っぽな」空間でも、既にこれぐらい...
.. image:: Joh-Blank2.gif
『3つの実数でどの点も示せるよ』という意味で、この空間を ...
.. image:: Joh-Blank3.gif
うーん、やはり何か物があると良いですね。
.. [*] 数学を専門にしている人は、もう少し厳密に空間につい...
座標系
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さて、空間にいよいよベクトルが登場してきました。『そもそも...
ここからは、私達サイドの問題です。ベクトルの長さを測った...
.. image:: Joh-CoordsX4.gif
座標系とは、私たちが図形の上に勝手に押し付けた定規のよう...
これは、今後のベクトルの勉強で、とても大事な問題です。
.. important::
座標変換したとき、何が変わるか、何が変わらないか。
基底を意識しよう
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高校までは、座標系と言ったらほとんどの場合、次図のような...
.. image:: Joh-CartesianCoords.gif
確かにデカルト座標系は便利ですが、『座標系は私達が勝手に...
ベクトルを $(A_{1},A_{2},A_{3})$ のように成分の組として計...
<tex>
\bm{A} = A_{1}\bm{e_{1}}+ A_{2}\bm{e_{2}}+ A_{3}\bm{e_{3}}
</tex>
使っている座標系がよほど明らかな場合には、 $\bm{A}=(A_{1}...
.. important::
いま、どんな座標系で考えているのかが大事。
.. [*] もう一つ付け加えると、いまベクトル成分の添字を $(A...
微分
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ベクトルを微分したり積分したりすることがあります。いま、...
ベクトルの微積分にも色々な場合がありますが、例えば $t$ の...
.. important::
微分は向きが命です。ここでも座標系(変数)をどう取るかが...
このように、導関数の値は一般には座標系の取り方によります...
.. important::
ベクトルを微積分するとき、座標系によるものは何か、座標系...
代数構造
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ベクトルには『足し算』『引き算』が定義できます。それから...
つまり、ベクトルを全部を集めて集合を作ると、この集合は単...
さらに、もしベクトルの集合と全く同じ計算構造を備えた集合...
こうなると、もう矢印でイメージしていたベクトルの話ではな...
むしろ『集合そのもの』の性質を考えることで、より深遠な、...
いつまでも、ベクトルを矢印のイメージで捉えていると、その...
.. important::
ベクトルが、いつも矢印だとは限らない。
例えば、ベクトルの加法やスカラー積の概念を抽象化したベク...
.. [*] ベクトル同士を足したり、ベクトルを定数倍してもベク...
その先の展望
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ベクトルの分野で、ベクトルの計算そのものも非常に重要です...
座標変換で変わらないものを突き詰めて行くと、微分形式とい...
一方、そもそも座標変換って何なんだ?座標系って何なんだ?...
.. image:: Joh-Love.gif
.. _世界の名著: http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/...
.. _内積空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis...
.. _共変ベクトルと反変ベクトル: http://www12.plala.or.jp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-07-15@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: VectorIntro@@
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