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#rst2hooktail_source
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ベクトルからテンソルを作る
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二つのベクトル成分 $A^{i}$ と $B^{j}$ があるとき、この成...
<tex>
A^{i}B^{j} \ \ (i,j=1,2,3) \tag{1}
</tex>
本当に二階のテンソルになるのかどうか、定義に戻って確認し...
<tex>
A'_{i} = a_{ik}A^{k} \tag{2}
</tex>
<tex>
B'_{j} = b_{jl}B^{l} \tag{3}
</tex>
これは テンソルの概念_ に出てきた、テンソルの定義式です。...
式 $(2)(3)$ の両辺を掛け合わせて次式を得ます。
<tex>
A'_{i}B'_{j} = a_{ik}b_{jl}A^{k}B^{l} \tag{4}
</tex>
これは二階のテンソルの座標変換の式そのものですから、 $A^{...
同様に、三つのベクトル成分の積 $A^{i}B^{j}C^{k}$ は三階の...
.. [*] いま反変テンソル $A^{k}B^{l}$ が共変テンソル $a_{i...
基底で考えてみる
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ベクトルの成分の積がテンソルになるという事情を、もう少し...
<tex>
\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}} + A^{2}\bm{e_{2}} + A^{3}\bm{e_{...
</tex>
<tex>
\bm{B} = B^{1}\bm{e_{1}} + B^{2}\bm{e_{2}} + B^{3}\bm{e_{...
</tex>
いま、式 $(5)(6)$ の両辺を掛け合わせることにします。成分...
<tex>
\bm{A} \otimes \bm{B} &=( A^{1}\bm{e_{1}} + A^{2}\bm{e_{2...
&=A^{1}B^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{1}B^{2}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{1}B^{3}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{3}} \\
&\ \ +A^{2}B^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{2}B^{2}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{2}B^{3}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}} \\
&\ \ +A^{3}B^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{3}B^{2}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{3}B^{3}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{3}} \tag{7}
</tex>
式 $(7)$ の一行目から二行目への変形は、普通に分配法則を使...
逆に『全ての $n$ 階のテンソルは $n$ 個のベクトルの積とし...
.. admonition:: theorem
$n$ 階テンソルは、ベクトルの $n$ 個のテンソル積に分解で...
この証明は少し面倒なので、特に二階のテンソルが二つのベク...
.. admonition:: proof
正規直交基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ を考えま...
より一般には、 $n$ 階のテンソルと $m$ 階のテンソルの積は...
.. admonition:: theorem
$n$ 階のテンソルと $m$ 階のテンソルの積は $m+n$ 階のテン...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _テンソルの加法と乗法: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorFromVector@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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ベクトルからテンソルを作る
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二つのベクトル成分 $A^{i}$ と $B^{j}$ があるとき、この成...
<tex>
A^{i}B^{j} \ \ (i,j=1,2,3) \tag{1}
</tex>
本当に二階のテンソルになるのかどうか、定義に戻って確認し...
<tex>
A'_{i} = a_{ik}A^{k} \tag{2}
</tex>
<tex>
B'_{j} = b_{jl}B^{l} \tag{3}
</tex>
これは テンソルの概念_ に出てきた、テンソルの定義式です。...
式 $(2)(3)$ の両辺を掛け合わせて次式を得ます。
<tex>
A'_{i}B'_{j} = a_{ik}b_{jl}A^{k}B^{l} \tag{4}
</tex>
これは二階のテンソルの座標変換の式そのものですから、 $A^{...
同様に、三つのベクトル成分の積 $A^{i}B^{j}C^{k}$ は三階の...
.. [*] いま反変テンソル $A^{k}B^{l}$ が共変テンソル $a_{i...
基底で考えてみる
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ベクトルの成分の積がテンソルになるという事情を、もう少し...
<tex>
\bm{A} = A^{1}\bm{e_{1}} + A^{2}\bm{e_{2}} + A^{3}\bm{e_{...
</tex>
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\bm{B} = B^{1}\bm{e_{1}} + B^{2}\bm{e_{2}} + B^{3}\bm{e_{...
</tex>
いま、式 $(5)(6)$ の両辺を掛け合わせることにします。成分...
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\bm{A} \otimes \bm{B} &=( A^{1}\bm{e_{1}} + A^{2}\bm{e_{2...
&=A^{1}B^{1}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{1}B^{2}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{1}B^{3}\bm{e_{1}}\otimes \bm{e_{3}} \\
&\ \ +A^{2}B^{1}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{2}B^{2}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{2}B^{3}\bm{e_{2}}\otimes \bm{e_{3}} \\
&\ \ +A^{3}B^{1}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{1}}
+ A^{3}B^{2}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{2}}
+ A^{3}B^{3}\bm{e_{3}}\otimes \bm{e_{3}} \tag{7}
</tex>
式 $(7)$ の一行目から二行目への変形は、普通に分配法則を使...
逆に『全ての $n$ 階のテンソルは $n$ 個のベクトルの積とし...
.. admonition:: theorem
$n$ 階テンソルは、ベクトルの $n$ 個のテンソル積に分解で...
この証明は少し面倒なので、特に二階のテンソルが二つのベク...
.. admonition:: proof
正規直交基底 $\bm{e_{1}},\bm{e_{2}},\bm{e_{3}}$ を考えま...
より一般には、 $n$ 階のテンソルと $m$ 階のテンソルの積は...
.. admonition:: theorem
$n$ 階のテンソルと $m$ 階のテンソルの積は $m+n$ 階のテン...
.. _テンソルの概念: http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoran...
.. _テンソルの加法と乗法: http://www12.plala.or.jp/ksp/ve...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorFromVector@@
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