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#rst2hooktail_source
=====================================
フレネ=セレの公式
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フレネの標構 $\bm{e_{1}}(s),\bm{e_{2}}(s),\bm{e_{3}}(s)$ ...
<tex>
\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s) =0 \tag{1}
</tex>
<tex>
\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) =0 \tag{2}
</tex>
<tex>
\bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) =0 \tag{3}
</tex>
当然の式のように思いますが、式 $(1)(2)(3)$ を微分すること...
<tex>
\bm{e'_{1}}(s) = \kappa \bm{e_{2}}(s) \tag{4}
</tex>
フレネ=セレの公式
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
まず式 $(1)$ の両辺を微分します。
<tex>
\frac{d}{ds}(\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s)) &= \bm{e'_...
&= \kappa (s) \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s) + \bm{e_{1...
& = \kappa + \bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e'_{2}}(s) \\
&= 0 \tag{5}
</tex>
ここで右辺に出てきた $\bm{e'_{2}}(s)$ をどう表わすかが問...
<tex>
\bm{e'_{2}}(s) = \mu \bm{e_{1}}(s) + \tau \bm{e_{3}}(s) ...
</tex>
さらに式 $(6)$ の両辺と $\bm{e_{1}}(s)$ の内積を取ると、 ...
<tex>
\bm{e'_{2}}(s) = - \kappa \bm{e_{1}}(s) + \tau \bm{e_{3}}...
</tex>
また、式 $(2)$ を微分することで次式を得ます。
<tex>
\frac{d}{ds}(\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s)) &= \bm{e'_...
&= \kappa (s) \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) + \bm{e_{1...
& = \bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e'_{3}}(s) \\
& = 0 \tag{8}
</tex>
右辺に出てきた $\bm{e'_{3}}(s)$ は、式 $(3)$ を微分するこ...
<tex>
\frac{d}{ds}(\bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s)) &= \bm{e'_...
&=(- \kappa (s) \bm{e_{1}}(s)+\tau \bm{e_{3}}(s) )\cdot ...
& = \tau + \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e'_{3}}(s) \\
& = 0 \tag{9}
</tex>
先ほどと同様、 $\frac{d}{ds}(\bm{e_{3}}(s)\cdot \bm{e_{3}...
<tex>
\bm{e'_{3}}(s) = -\tau \bm{e_{2}}(s) \tag{10}
</tex>
式 $(4)(7)(10)$ をまとめると、次のような綺麗な公式を得る...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e'_{1}} \\
\bm{e'_{2}} \\
\bm{e'_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right) \tag{11}
</tex>
ここに出てきた $\tau$ の物理的な意味を考えてみましょう。 ...
.. image:: Joh-FrenetSerret.gif
.. [*] フレネ=セレの公式に出てきた行列が、美しい形をして...
フレネとセレについて
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
フレネ=セレの公式にその名を留めるフレネとセレですが、ど...
.. _無限小回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/in...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: FrenetSerret@@
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フレネ=セレの公式
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フレネの標構 $\bm{e_{1}}(s),\bm{e_{2}}(s),\bm{e_{3}}(s)$ ...
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\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s) =0 \tag{1}
</tex>
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\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) =0 \tag{2}
</tex>
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\bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) =0 \tag{3}
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当然の式のように思いますが、式 $(1)(2)(3)$ を微分すること...
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\bm{e'_{1}}(s) = \kappa \bm{e_{2}}(s) \tag{4}
</tex>
フレネ=セレの公式
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まず式 $(1)$ の両辺を微分します。
<tex>
\frac{d}{ds}(\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s)) &= \bm{e'_...
&= \kappa (s) \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{2}}(s) + \bm{e_{1...
& = \kappa + \bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e'_{2}}(s) \\
&= 0 \tag{5}
</tex>
ここで右辺に出てきた $\bm{e'_{2}}(s)$ をどう表わすかが問...
<tex>
\bm{e'_{2}}(s) = \mu \bm{e_{1}}(s) + \tau \bm{e_{3}}(s) ...
</tex>
さらに式 $(6)$ の両辺と $\bm{e_{1}}(s)$ の内積を取ると、 ...
<tex>
\bm{e'_{2}}(s) = - \kappa \bm{e_{1}}(s) + \tau \bm{e_{3}}...
</tex>
また、式 $(2)$ を微分することで次式を得ます。
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\frac{d}{ds}(\bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s)) &= \bm{e'_...
&= \kappa (s) \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s) + \bm{e_{1...
& = \bm{e_{1}}(s)\cdot \bm{e'_{3}}(s) \\
& = 0 \tag{8}
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右辺に出てきた $\bm{e'_{3}}(s)$ は、式 $(3)$ を微分するこ...
<tex>
\frac{d}{ds}(\bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e_{3}}(s)) &= \bm{e'_...
&=(- \kappa (s) \bm{e_{1}}(s)+\tau \bm{e_{3}}(s) )\cdot ...
& = \tau + \bm{e_{2}}(s)\cdot \bm{e'_{3}}(s) \\
& = 0 \tag{9}
</tex>
先ほどと同様、 $\frac{d}{ds}(\bm{e_{3}}(s)\cdot \bm{e_{3}...
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\bm{e'_{3}}(s) = -\tau \bm{e_{2}}(s) \tag{10}
</tex>
式 $(4)(7)(10)$ をまとめると、次のような綺麗な公式を得る...
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\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e'_{1}} \\
\bm{e'_{2}} \\
\bm{e'_{3}} \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\bm{e_{1}} \\
\bm{e_{2}} \\
\bm{e_{3}} \\
\end{array}
\right) \tag{11}
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ここに出てきた $\tau$ の物理的な意味を考えてみましょう。 ...
.. image:: Joh-FrenetSerret.gif
.. [*] フレネ=セレの公式に出てきた行列が、美しい形をして...
フレネとセレについて
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フレネ=セレの公式にその名を留めるフレネとセレですが、ど...
.. _無限小回転: http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/in...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-10-11@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: FrenetSerret@@
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