記事ソース/フーリエ変換はある種のπ/2回転と見れること
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#rst2hooktail_source
=========================================================...
フーリエ変換はある種のπ/2回転と見れること
=========================================================...
最近、フーリエ変換は回転の様なものだと別の二人の方からお...
最初、何を言っているか分からなかったのですが、
流石に何度も聞くと「ちょっと考えてみるか」と言う気分にな...
やっといい具体例が見つかったので記事にします。
あんまり説明は要らないと思うので、もっぱら数式を書いてい...
フーリエ変換を何度も行う
========================================
フーリエ変換を次の様に定めます。
<tex>
\hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\inft...
</tex>
ここで
<tex>
f_1(x) = e^{ik_0 x} \tag{##}
</tex>
と置くと、
<tex>
\hat{f}_2(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_1(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k_0...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} 2 \pi \delta(k_0+k) dx \\
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k_0+k)
\tag{##}
</tex>
これで一回目です。次に変数の $k \to x$ の置き換えをしてフ...
<tex>
f_2(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x_0+x) \tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_3(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_2(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 ...
&= e^{-ikx_0}
\tag{##}
</tex>
となります。次に行きましょう!
<tex>
f_3(x) = e^{-i k_0 x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_4(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_3(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k-k...
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k-k_0)
\tag{##}
</tex>
ここで、敢えて $f_4$ ではなく $f_0$ とします。理由は後で...
<tex>
f_0(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0)
\tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_1(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_0(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 ...
&= e^{ikx_0} \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
f_1(x) = e^{ik_0x} \tag{##}
</tex>
となり、これは式 $(2)$ ですね!
つまり、フーリエ変換は線形ですから、
任意の関数 $f(x)$ は積分核 $f_i(x) \ \ (i=0,1,2,3)$ のど...
それぞれの積分核が4回で元に戻るので、これは $x$ と $k$ の...
<tex>
\mathcal{F}^4[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[\mathcal{F}...
</tex>
であることを示しています。さらに言えば、二回のフーリエ変...
<tex>
\mathcal{F}^2[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[f(x)]] = f(...
</tex>
が言えます。しかし、だからといって、
<tex>
\mathcal{F}[f(x)] \neq f(ix) \tag{##}
</tex>
であることにはご注意ください。この事により、確かにフーリ...
この話には続きがあって、整数回のフーリエ変換を実数回に拡...
.. _赤げふさんのページ: http://akaghef.hateblo.jp/entry/2...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-29@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierAnotherPerspective@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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フーリエ変換はある種のπ/2回転と見れること
=========================================================...
最近、フーリエ変換は回転の様なものだと別の二人の方からお...
最初、何を言っているか分からなかったのですが、
流石に何度も聞くと「ちょっと考えてみるか」と言う気分にな...
やっといい具体例が見つかったので記事にします。
あんまり説明は要らないと思うので、もっぱら数式を書いてい...
フーリエ変換を何度も行う
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フーリエ変換を次の様に定めます。
<tex>
\hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\inft...
</tex>
ここで
<tex>
f_1(x) = e^{ik_0 x} \tag{##}
</tex>
と置くと、
<tex>
\hat{f}_2(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_1(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k_0...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} 2 \pi \delta(k_0+k) dx \\
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k_0+k)
\tag{##}
</tex>
これで一回目です。次に変数の $k \to x$ の置き換えをしてフ...
<tex>
f_2(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x_0+x) \tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_3(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_2(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 ...
&= e^{-ikx_0}
\tag{##}
</tex>
となります。次に行きましょう!
<tex>
f_3(x) = e^{-i k_0 x} \tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_4(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_3(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k-k...
&= \sqrt{2 \pi} \delta(k-k_0)
\tag{##}
</tex>
ここで、敢えて $f_4$ ではなく $f_0$ とします。理由は後で...
<tex>
f_0(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0)
\tag{##}
</tex>
<tex>
\hat{f}_1(k)
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_0(x) e...
&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 ...
&= e^{ikx_0} \tag{##}
</tex>
つまり、
<tex>
f_1(x) = e^{ik_0x} \tag{##}
</tex>
となり、これは式 $(2)$ ですね!
つまり、フーリエ変換は線形ですから、
任意の関数 $f(x)$ は積分核 $f_i(x) \ \ (i=0,1,2,3)$ のど...
それぞれの積分核が4回で元に戻るので、これは $x$ と $k$ の...
<tex>
\mathcal{F}^4[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[\mathcal{F}...
</tex>
であることを示しています。さらに言えば、二回のフーリエ変...
<tex>
\mathcal{F}^2[f(x)] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[f(x)]] = f(...
</tex>
が言えます。しかし、だからといって、
<tex>
\mathcal{F}[f(x)] \neq f(ix) \tag{##}
</tex>
であることにはご注意ください。この事により、確かにフーリ...
この話には続きがあって、整数回のフーリエ変換を実数回に拡...
.. _赤げふさんのページ: http://akaghef.hateblo.jp/entry/2...
@@author:クロメル@@
@@accept:2020-03-29@@
@@category:フーリエ解析@@
@@id:fourierAnotherPerspective@@
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