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開始行:
#rst2hooktail_source
===============
フーリエ級数
===============
ベクトル空間では、一次独立な基底をつかって、任意のベクト...
フーリエ級数
=============
準備
-------
この記事では、簡単のために $h(t)$ を実関数として話を進め...
まず、思い出してください。直交関数系の「直交関数系から」...
.. [*]
正規直交関数系の定義を忘れた方は、 直交関数系_ を見てく...
計算しみよう!
--------------------
関数 $h(t)$ が周期 $T$ を持つとき(すなわち、 $h(t+T)=h(t)...
.. image:: FourierKyuusuuByKuroko.png
なので、この関数に関しては、 $T$ 以上の周期成分を考える必...
ここで、相関を取るのは一定な間隔 $f_s=1/T$ ずつ離れている...
まず、用意すべき直交関数系を考えると・・・
<tex>
\exp(i 2 \pi f_s n t) =\cos(2 \pi f_s n t)+i\sin( 2 \pi f...
</tex>
この関数列は互いに直交しています。相関を取ってみて、以下...
<tex>
\int^{T/2}_{-T/2} \exp(i2 \pi f_s m t) \exp(-i2 \pi f_s n...
T ,& m=n\end{cases}
</tex>
.. [*]
複素関数の相関を取るとき(関数の内積を求めるとき)は、その...
さて、上の計算結果からさらに、この関数列を正規直交関数系...
このことから、 $h(t)$ と相関を取る関数列を以下のようにし...
<tex>
\Biggl[ \frac{1}{T}, \frac{1}{T}\exp(i2\pi f_s t),\frac{1...
</tex>
関数列を用意できましたので、さっそく $h(t)$ との相関を取...
<tex>
c(n)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\exp(-i2\pi f_s n t)...
</tex>
.. [*]
$h(t)$ は $\exp(i2\pi f_s n t)$ に分解されることを考え...
相関を取ると、 $h(t) $ を $\exp(i2\pi f_s n t)$ に分解し...
<tex>
h(t)=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} c(n)\exp(i2\pi f...
</tex>
さらに、オイラーの公式 $\exp(i2\pi f t)=\cos(2\pi f t)+i\...
<tex>
c(n) &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\{\cos(2\pi f_s n...
&= \frac{a(n)-ib(n)}{2} \tag{3-1}
</tex>
ここで、
<tex>
a(n) &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\cos(2\pi f_s n t...
b(n) &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\sin(2\pi f_s n t...
</tex>
とおきますここで、式(3)から、 $c(-n)=\frac{a(n)+ib(n)}{2}...
<tex>
h(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c(n)\exp(i2\pi f_s n t)\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{a(n)-ib(n)}{2}\exp(i2\...
&= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{a(n)-...
</tex>
上のように書くことが出来ます。この式を $a(n)$ や $b(n)$ ...
<tex>
h(t) &= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl\{ a(n)\...
& \hspace{4cm} +b(n)\frac{\exp(i2\pi f_s n t)-\exp(-i2\pi...
&= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ a(n)\cos(2\...
</tex>
やっと、 $h(t)$ を三角関数に分解した形にたどり着きました...
.. [*]
実は $a(0)/2$ は $h(t)$ の周期 $T$ における、平均値とな...
まとめ
--------
このように有限の周期を持つ関数 $h(t)$ を $\cos$ や $\sin$...
さらに、 $a(n)$ 、 $b(n)$ の前に出てきた $c(n)$ は *複素...
また、関数のフーリエ係数を求めることを *フーリエ級数展開*...
フーリエ級数から、フーリエ変換へ!
===================================
ここまでは、ある周期を持った関数について、考えてきました...
百聞は一見に如かず。実際に、有限だった周期を $T=1/f_s \to...
<tex>
h(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ \frac{1}{T}\int...
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ f_s \int_{-T/2}^{T/2...
</tex>
この式で、 $T$ を十分に大きくしていくと、 $f_s$ はどんど...
<tex>
h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ \Delta f \int_{...
</tex>
さらにここで、この微小な $f_s$ が $\Delta f\to df$ となる...
<tex>
h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left\{ \int_{-\infty}^{\i...
</tex>
なるほど!上の式から、 $T$ と $n$ の極限をとることで、
<tex>
c(n)T &\to H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\exp(-i2\pi f ...
h(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}H(f)\exp(i2\pi f t)df\tag{...
</tex>
という式になることが分かります。
そしてそして、、ご存知の方はご存知のはず。式(7-1)こそ、 *...
.. [*]
フーリエ変換の定義には何通りかあります。詳しくは フーリ...
.. _直交関数系: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _フーリエ変換の第一歩: http://www12.plala.or.jp/ksp/
@@author: 黒子@@
@@accept: 2006-11-15@@
@@category: フーリエ解析@@
@@id: FourierSeries@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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フーリエ級数
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ベクトル空間では、一次独立な基底をつかって、任意のベクト...
フーリエ級数
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準備
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この記事では、簡単のために $h(t)$ を実関数として話を進め...
まず、思い出してください。直交関数系の「直交関数系から」...
.. [*]
正規直交関数系の定義を忘れた方は、 直交関数系_ を見てく...
計算しみよう!
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関数 $h(t)$ が周期 $T$ を持つとき(すなわち、 $h(t+T)=h(t)...
.. image:: FourierKyuusuuByKuroko.png
なので、この関数に関しては、 $T$ 以上の周期成分を考える必...
ここで、相関を取るのは一定な間隔 $f_s=1/T$ ずつ離れている...
まず、用意すべき直交関数系を考えると・・・
<tex>
\exp(i 2 \pi f_s n t) =\cos(2 \pi f_s n t)+i\sin( 2 \pi f...
</tex>
この関数列は互いに直交しています。相関を取ってみて、以下...
<tex>
\int^{T/2}_{-T/2} \exp(i2 \pi f_s m t) \exp(-i2 \pi f_s n...
T ,& m=n\end{cases}
</tex>
.. [*]
複素関数の相関を取るとき(関数の内積を求めるとき)は、その...
さて、上の計算結果からさらに、この関数列を正規直交関数系...
このことから、 $h(t)$ と相関を取る関数列を以下のようにし...
<tex>
\Biggl[ \frac{1}{T}, \frac{1}{T}\exp(i2\pi f_s t),\frac{1...
</tex>
関数列を用意できましたので、さっそく $h(t)$ との相関を取...
<tex>
c(n)=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\exp(-i2\pi f_s n t)...
</tex>
.. [*]
$h(t)$ は $\exp(i2\pi f_s n t)$ に分解されることを考え...
相関を取ると、 $h(t) $ を $\exp(i2\pi f_s n t)$ に分解し...
<tex>
h(t)=\lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} c(n)\exp(i2\pi f...
</tex>
さらに、オイラーの公式 $\exp(i2\pi f t)=\cos(2\pi f t)+i\...
<tex>
c(n) &= \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\{\cos(2\pi f_s n...
&= \frac{a(n)-ib(n)}{2} \tag{3-1}
</tex>
ここで、
<tex>
a(n) &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\cos(2\pi f_s n t...
b(n) &= \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}h(t)\sin(2\pi f_s n t...
</tex>
とおきますここで、式(3)から、 $c(-n)=\frac{a(n)+ib(n)}{2}...
<tex>
h(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c(n)\exp(i2\pi f_s n t)\\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{a(n)-ib(n)}{2}\exp(i2\...
&= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \frac{a(n)-...
</tex>
上のように書くことが出来ます。この式を $a(n)$ や $b(n)$ ...
<tex>
h(t) &= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl\{ a(n)\...
& \hspace{4cm} +b(n)\frac{\exp(i2\pi f_s n t)-\exp(-i2\pi...
&= \frac{a(0)}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left\{ a(n)\cos(2\...
</tex>
やっと、 $h(t)$ を三角関数に分解した形にたどり着きました...
.. [*]
実は $a(0)/2$ は $h(t)$ の周期 $T$ における、平均値とな...
まとめ
--------
このように有限の周期を持つ関数 $h(t)$ を $\cos$ や $\sin$...
さらに、 $a(n)$ 、 $b(n)$ の前に出てきた $c(n)$ は *複素...
また、関数のフーリエ係数を求めることを *フーリエ級数展開*...
フーリエ級数から、フーリエ変換へ!
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ここまでは、ある周期を持った関数について、考えてきました...
百聞は一見に如かず。実際に、有限だった周期を $T=1/f_s \to...
<tex>
h(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ \frac{1}{T}\int...
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ f_s \int_{-T/2}^{T/2...
</tex>
この式で、 $T$ を十分に大きくしていくと、 $f_s$ はどんど...
<tex>
h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left\{ \Delta f \int_{...
</tex>
さらにここで、この微小な $f_s$ が $\Delta f\to df$ となる...
<tex>
h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left\{ \int_{-\infty}^{\i...
</tex>
なるほど!上の式から、 $T$ と $n$ の極限をとることで、
<tex>
c(n)T &\to H(f)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)\exp(-i2\pi f ...
h(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}H(f)\exp(i2\pi f t)df\tag{...
</tex>
という式になることが分かります。
そしてそして、、ご存知の方はご存知のはず。式(7-1)こそ、 *...
.. [*]
フーリエ変換の定義には何通りかあります。詳しくは フーリ...
.. _直交関数系: http://www12.plala.or.jp/ksp/
.. _フーリエ変換の第一歩: http://www12.plala.or.jp/ksp/
@@author: 黒子@@
@@accept: 2006-11-15@@
@@category: フーリエ解析@@
@@id: FourierSeries@@
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