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#rst2hooktail_source
============================
ネーターの定理
============================
物理学にはさまざまな保存則があります.エネルギー保存則,...
実は,これらの保存則には対称性との間に密接な関わりがある...
ネーターの定理
========================
まず一般的な保存則であるネーターの定理を示すことにします...
少し難しいかもしれませんが,そのあとのセクションで具体的...
とりあえず結果だけ教えちゃいます.ネーターの定理は次のこ...
.. important::
作用 $I$ にある種の対称性(不変性)が存在すれば,それに対...
なんだか凄そうですよね!では,がんばって計算していきまし...
自由度 $n$ の質点系が時刻 $t_1$ から $t_2$ の間にする運動...
次のように書けました.
<tex>
I=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q};t)\mathrm{d}t \tag{##}
</tex>
運動方程式を求めるときは,運動の両端点を固定して第1変分 $...
したのでした.しかし,運動方程式はすでにもとまっているの...
つまり,運動方程式を満足する経路はすでに分かっているとし...
このとき,もしも今考える変分が $I$ を変化させないならば $...
得ることができるはずです.
とにかく計算してみましょう.計算はほとんど同じですので一...
します.
<tex>\displaystyle
\delta I &= \int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \...
&= \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\p...
\dot{q}_k}\delta\dot{q}_k\right)\mathrm{d}t \\
&= \left [ \sum_{k=1}^{n}{\partial L\over\partial\dot{q}_...
{\partial L\over\partial q_k}-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t...
</tex>
今回は両端を固定していないので,右辺第1項を自動的に $0$ ...
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L\over\partial \dot...
</tex>
となることが分かってますから,右辺第2項は消えます.よって...
て $\delta I$ は次式にまとめられるでしょう.
<tex>
\delta I=\sum_{k=1}^{n}\{p_k(t_2)\delta q_k(t_2)-p_k(t_1)...
</tex>
ここで,経路をずらしたことによる変分 $\delta q_k$ に対し...
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t_2)\delta q_k(t_2)=\sum_{k=1}^np_k(t_1)\...
</tex>
を得ます.これにより,次式で表せる一般的な保存則が成立し...
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t)\delta q_k(t)=const. \tag{##}
</tex>
ここで,微小量 $\delta q_k(t)$ が式中にあると扱いにくいの...
ただし, $\varepsilon$ は微小量の定数, $g_k(q,t)$ は適当...
割ることで, $\delta I=0$ は次式に帰着することが分かりま...
<tex>
\sum_{k=1}^{n}p_k(t)g_k(q,t)=const. \tag{##}
</tex>
この式は経路のずらしについて作用 $I$ が不変であることによ...
ネーターの定理と呼びます.また,このように作用 $I$ (もし...
持つといったりします.
これだけでは,どのように保存則を示しているのかわかりにく...
循環座標に共役な運動量の保存則,普通の運動量保存則,角運...
循環座標に共役な運動量の保存則
====================================
循環座標に共役な運動量が保存することは 一般化運動量と循環...
定理を使って見直すことにしましょう.いま,座標 $q_j$ が循...
循環座標の定義より $q_j$ はラグランジアン $L$ に含まれま...
変化させても ${\partial L\over\partial q_j}=0$ となります...
変化しません.ゆえに作用 $I$ も変化しません.よって, $g_...
ネーターの定理が成立しますので
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t)g_k(q,t)=const.\Leftrightarrow p_j(t)=c...
</tex>
となります. $q_j$ に正準共役な運動量 $p_j$ が保存してい...
運動量保存則
===============
つぎに,運動量保存則をみてみます.例えばラグランジアン $L...
このとき,質点全体を平行に移動してもラグランジアンは変化...
すべての質点を平行移動するわけですから,式(7)をベクトルで...
の質点の運動量を $\bm{p}_l$ ,位置ベクトルを $\bm{r}_l$ ...
<tex>
\sum_{l=1}^{N}\bm{p}_l\cdot\delta\bm{r}_l=const. \tag{##}
</tex>
これは,ベクトル表記したときに成り立つネーターの定理の一...
さて,全体を平行移動するのですから,任意の $l$ について $...
ただし, $\varepsilon$ は微小量です.よって,式(9)より
<tex>
\bm{n}\cdot\sum_{l=1}^N\bm{p}_l=const. \tag{##}
</tex>
が成立します.ここで $\sum_{l=1}^N\bm{p}_l$ は系全体の運...
保存則にほかなりません.つまり,運動量保存則は空間内の平...
なのです.
角運動量保存則
====================
最後に角運動量保存則を見てみましょう.運動量保存則は空間...
その保存則は回転移動についての対称性から得られそうですね.
そこで,質点系全体の一様な無限小回転 $\delta \bm{\theta}=...
考えますから,やはりベクトル表記が有効です.各質点の仮想...
ネーターの定理が成立するとき
<tex>
\sum_{l=1}^{N}\bm{p}_l\cdot(\bm{n}\times\bm{r}_l)=const.\...
=const.\tag{##}
</tex>
となります.つまり,空間の一様な回転 $\delta \bm{\theta}$...
角運動量 $\sum_{l=1}^{N}\bm{r}_l\times\bm{p}_l$ の成分の...
まとめ
============
以上のように作用 $I$ が不変になるような変換を考えれば統一...
大きな強みですね.
ネーターの定理から対称性が存在すれば保存則が成立すること...
角運動量保存則が空間の回転対称性から生まれてくることをみ...
では,エネルギー保存則はどんな対称性から生まれてくるので...
していませんでした.そこで,別の記事でエネルギーの定義と...
.. _一般化運動量と循環座標: http://www12.plala.or.jp/ksp...
@@author:佑弥@@
@@accept:2007-06-05@@
@@category:解析力学@@
@@id:NoethersTheorem@@
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ネーターの定理
============================
物理学にはさまざまな保存則があります.エネルギー保存則,...
実は,これらの保存則には対称性との間に密接な関わりがある...
ネーターの定理
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まず一般的な保存則であるネーターの定理を示すことにします...
少し難しいかもしれませんが,そのあとのセクションで具体的...
とりあえず結果だけ教えちゃいます.ネーターの定理は次のこ...
.. important::
作用 $I$ にある種の対称性(不変性)が存在すれば,それに対...
なんだか凄そうですよね!では,がんばって計算していきまし...
自由度 $n$ の質点系が時刻 $t_1$ から $t_2$ の間にする運動...
次のように書けました.
<tex>
I=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q};t)\mathrm{d}t \tag{##}
</tex>
運動方程式を求めるときは,運動の両端点を固定して第1変分 $...
したのでした.しかし,運動方程式はすでにもとまっているの...
つまり,運動方程式を満足する経路はすでに分かっているとし...
このとき,もしも今考える変分が $I$ を変化させないならば $...
得ることができるはずです.
とにかく計算してみましょう.計算はほとんど同じですので一...
します.
<tex>\displaystyle
\delta I &= \int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \...
&= \int_{t_1}^{t_2}\sum_{k=1}^{n}\left({\partial L\over\p...
\dot{q}_k}\delta\dot{q}_k\right)\mathrm{d}t \\
&= \left [ \sum_{k=1}^{n}{\partial L\over\partial\dot{q}_...
{\partial L\over\partial q_k}-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t...
</tex>
今回は両端を固定していないので,右辺第1項を自動的に $0$ ...
<tex>
{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}{\partial L\over\partial \dot...
</tex>
となることが分かってますから,右辺第2項は消えます.よって...
て $\delta I$ は次式にまとめられるでしょう.
<tex>
\delta I=\sum_{k=1}^{n}\{p_k(t_2)\delta q_k(t_2)-p_k(t_1)...
</tex>
ここで,経路をずらしたことによる変分 $\delta q_k$ に対し...
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t_2)\delta q_k(t_2)=\sum_{k=1}^np_k(t_1)\...
</tex>
を得ます.これにより,次式で表せる一般的な保存則が成立し...
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t)\delta q_k(t)=const. \tag{##}
</tex>
ここで,微小量 $\delta q_k(t)$ が式中にあると扱いにくいの...
ただし, $\varepsilon$ は微小量の定数, $g_k(q,t)$ は適当...
割ることで, $\delta I=0$ は次式に帰着することが分かりま...
<tex>
\sum_{k=1}^{n}p_k(t)g_k(q,t)=const. \tag{##}
</tex>
この式は経路のずらしについて作用 $I$ が不変であることによ...
ネーターの定理と呼びます.また,このように作用 $I$ (もし...
持つといったりします.
これだけでは,どのように保存則を示しているのかわかりにく...
循環座標に共役な運動量の保存則,普通の運動量保存則,角運...
循環座標に共役な運動量の保存則
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循環座標に共役な運動量が保存することは 一般化運動量と循環...
定理を使って見直すことにしましょう.いま,座標 $q_j$ が循...
循環座標の定義より $q_j$ はラグランジアン $L$ に含まれま...
変化させても ${\partial L\over\partial q_j}=0$ となります...
変化しません.ゆえに作用 $I$ も変化しません.よって, $g_...
ネーターの定理が成立しますので
<tex>
\sum_{k=1}^np_k(t)g_k(q,t)=const.\Leftrightarrow p_j(t)=c...
</tex>
となります. $q_j$ に正準共役な運動量 $p_j$ が保存してい...
運動量保存則
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つぎに,運動量保存則をみてみます.例えばラグランジアン $L...
このとき,質点全体を平行に移動してもラグランジアンは変化...
すべての質点を平行移動するわけですから,式(7)をベクトルで...
の質点の運動量を $\bm{p}_l$ ,位置ベクトルを $\bm{r}_l$ ...
<tex>
\sum_{l=1}^{N}\bm{p}_l\cdot\delta\bm{r}_l=const. \tag{##}
</tex>
これは,ベクトル表記したときに成り立つネーターの定理の一...
さて,全体を平行移動するのですから,任意の $l$ について $...
ただし, $\varepsilon$ は微小量です.よって,式(9)より
<tex>
\bm{n}\cdot\sum_{l=1}^N\bm{p}_l=const. \tag{##}
</tex>
が成立します.ここで $\sum_{l=1}^N\bm{p}_l$ は系全体の運...
保存則にほかなりません.つまり,運動量保存則は空間内の平...
なのです.
角運動量保存則
====================
最後に角運動量保存則を見てみましょう.運動量保存則は空間...
その保存則は回転移動についての対称性から得られそうですね.
そこで,質点系全体の一様な無限小回転 $\delta \bm{\theta}=...
考えますから,やはりベクトル表記が有効です.各質点の仮想...
ネーターの定理が成立するとき
<tex>
\sum_{l=1}^{N}\bm{p}_l\cdot(\bm{n}\times\bm{r}_l)=const.\...
=const.\tag{##}
</tex>
となります.つまり,空間の一様な回転 $\delta \bm{\theta}$...
角運動量 $\sum_{l=1}^{N}\bm{r}_l\times\bm{p}_l$ の成分の...
まとめ
============
以上のように作用 $I$ が不変になるような変換を考えれば統一...
大きな強みですね.
ネーターの定理から対称性が存在すれば保存則が成立すること...
角運動量保存則が空間の回転対称性から生まれてくることをみ...
では,エネルギー保存則はどんな対称性から生まれてくるので...
していませんでした.そこで,別の記事でエネルギーの定義と...
.. _一般化運動量と循環座標: http://www12.plala.or.jp/ksp...
@@author:佑弥@@
@@accept:2007-06-05@@
@@category:解析力学@@
@@id:NoethersTheorem@@
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