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テンソル成分の加法と乗法
=========================
テンソル同士の基本的な計算を決めることにします。いきなり...
普通の活字の部分は最低限の基礎ですが、註の内容も問題なく...
加法
-----------------------------
テンソルの足し算は、階数が同じテンソル同士でしか定義でき...
<tex>
A^{ij}+B^{ij} = C^{ij} \tag{1}
</tex>
和は、座標変換の際、もとの二つのテンソルと同じ変換則に従...
<tex>
C'_{kl} &=A'_{ki}+B'_{lj} \\
& ={\alpha}_{ki}{\alpha}_{lj} (A^{ij}+B^{ij}) \\
&= {\alpha}_{ki}{\alpha}_{lj}C^{ij} \tag{2}
</tex>
確かに式 $(1)$ によって定義される和も、階数の等しいテンソ...
.. [*] テンソルの基底を明示的につけて、例えば二階のテンソ...
添字の上下による区別
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
テンソル同士の和は階数が同じテンソルにしか定義できないと...
以下に、共変テンソル、反変テンソル、混合テンソルの加法を...
<tex>
A^{ij}+B^{ij} = C^{ij} \tag{3-1}
</tex>
<tex>
A_{ij}+B_{ij} = C_{ij} \tag{3-2}
</tex>
<tex>
A_{i}^{j}+B_{i}^{j} = C_{i}^{j} \tag{3-3}
</tex>
<tex>
A_{ij}^{k}+B_{ij}^{k} = C_{ij}^{k} \ \ \ \ etc.
</tex>
混合テンソルで、添字に順番がある場合、 $A_{i}^{.j}$ と $B...
.. [*] この規則も基底を考えれば当然です。例えば $A^{ij}$ ...
.. [*] テンソル積が可換になるのはどのような場合でしょうか...
.. [*] 成分だけで計算規則を考えると、ベクトル空間の元とし...
テンソル積
-------------------------------------------------------
次式のように、二つの *テンソル積* もしくは *外部積* と呼...
<tex>
A_{ij}B_{kl} = C_{ijkl} \tag{4-1}
</tex>
つまり、あたかも添字だけ足すようにするわけです。ここでも...
<tex>
A^{ij}B_{kl} = C_{kl}^{ij} \tag{4-2}
</tex>
<tex>
A^{ijk}B^{lmn} = C^{ijklmn} \tag{4-3}
</tex>
<tex>
A_{i}B^{jkl} = C_{i}^{jkl} \tag{4-4}
</tex>
一般にテンソルの積は非可換です。(行列の積が非可換である...
<tex>
C_{ijkl}=A_{ij}B_{kl} \ne C_{klij}=A_{kl}B_{ij} \tag{5}
</tex>
.. [*] テンソル積では、添字の上下がどのような組み合わせの...
テンソルの縮約規則
---------------------------------------------------------...
同じ添字が上下に分かれて二回出てきたら、その添字について...
<tex>
A_{i}^{ik}= A_{1}^{1k}+A_{2}^{2k}+A_{3}^{3k} \tag{6}
</tex>
結局、右辺で添字として生き残ったのは $k$ だけですから、こ...
<tex>
{A'}_{i}^{ik} &={\alpha}^{i'l}{\alpha}_{i'm}{\alpha}_{n}^...
&= {\delta}_{m}^{l}{\alpha}_{n}^{k}A_{l}^{mn} \ \ \ \ (\b...
&= {\alpha}_{n}^{k}A_{l}^{ln}
</tex>
確かに、ベクトルの変換則を満たしています。一般に $n$ 階の...
いま、同じ添字を含むテンソルの外部積を考えてみましょう。
<tex>
A_{i}B^{ik} = C_{i}^{ik} = C^{k}
</tex>
中辺から右辺への変形は、さきほどの結果を使いました。この...
.. [*] 縮約規則の復習になりますが、上に二つ、下に二つなど...
.. [*] テンソルの縮約は、テンソル積によってベクトル空間 $...
.. _多重線形性とテンソル空間: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _一般の座標系における内積と外積: http://www12.plala.or...
.. _縮約をもう一度考える:
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorManup@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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テンソル成分の加法と乗法
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テンソル同士の基本的な計算を決めることにします。いきなり...
普通の活字の部分は最低限の基礎ですが、註の内容も問題なく...
加法
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テンソルの足し算は、階数が同じテンソル同士でしか定義でき...
<tex>
A^{ij}+B^{ij} = C^{ij} \tag{1}
</tex>
和は、座標変換の際、もとの二つのテンソルと同じ変換則に従...
<tex>
C'_{kl} &=A'_{ki}+B'_{lj} \\
& ={\alpha}_{ki}{\alpha}_{lj} (A^{ij}+B^{ij}) \\
&= {\alpha}_{ki}{\alpha}_{lj}C^{ij} \tag{2}
</tex>
確かに式 $(1)$ によって定義される和も、階数の等しいテンソ...
.. [*] テンソルの基底を明示的につけて、例えば二階のテンソ...
添字の上下による区別
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テンソル同士の和は階数が同じテンソルにしか定義できないと...
以下に、共変テンソル、反変テンソル、混合テンソルの加法を...
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A^{ij}+B^{ij} = C^{ij} \tag{3-1}
</tex>
<tex>
A_{ij}+B_{ij} = C_{ij} \tag{3-2}
</tex>
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A_{i}^{j}+B_{i}^{j} = C_{i}^{j} \tag{3-3}
</tex>
<tex>
A_{ij}^{k}+B_{ij}^{k} = C_{ij}^{k} \ \ \ \ etc.
</tex>
混合テンソルで、添字に順番がある場合、 $A_{i}^{.j}$ と $B...
.. [*] この規則も基底を考えれば当然です。例えば $A^{ij}$ ...
.. [*] テンソル積が可換になるのはどのような場合でしょうか...
.. [*] 成分だけで計算規則を考えると、ベクトル空間の元とし...
テンソル積
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次式のように、二つの *テンソル積* もしくは *外部積* と呼...
<tex>
A_{ij}B_{kl} = C_{ijkl} \tag{4-1}
</tex>
つまり、あたかも添字だけ足すようにするわけです。ここでも...
<tex>
A^{ij}B_{kl} = C_{kl}^{ij} \tag{4-2}
</tex>
<tex>
A^{ijk}B^{lmn} = C^{ijklmn} \tag{4-3}
</tex>
<tex>
A_{i}B^{jkl} = C_{i}^{jkl} \tag{4-4}
</tex>
一般にテンソルの積は非可換です。(行列の積が非可換である...
<tex>
C_{ijkl}=A_{ij}B_{kl} \ne C_{klij}=A_{kl}B_{ij} \tag{5}
</tex>
.. [*] テンソル積では、添字の上下がどのような組み合わせの...
テンソルの縮約規則
---------------------------------------------------------...
同じ添字が上下に分かれて二回出てきたら、その添字について...
<tex>
A_{i}^{ik}= A_{1}^{1k}+A_{2}^{2k}+A_{3}^{3k} \tag{6}
</tex>
結局、右辺で添字として生き残ったのは $k$ だけですから、こ...
<tex>
{A'}_{i}^{ik} &={\alpha}^{i'l}{\alpha}_{i'm}{\alpha}_{n}^...
&= {\delta}_{m}^{l}{\alpha}_{n}^{k}A_{l}^{mn} \ \ \ \ (\b...
&= {\alpha}_{n}^{k}A_{l}^{ln}
</tex>
確かに、ベクトルの変換則を満たしています。一般に $n$ 階の...
いま、同じ添字を含むテンソルの外部積を考えてみましょう。
<tex>
A_{i}B^{ik} = C_{i}^{ik} = C^{k}
</tex>
中辺から右辺への変形は、さきほどの結果を使いました。この...
.. [*] 縮約規則の復習になりますが、上に二つ、下に二つなど...
.. [*] テンソルの縮約は、テンソル積によってベクトル空間 $...
.. _多重線形性とテンソル空間: http://www12.plala.or.jp/ks...
.. _一般の座標系における内積と外積: http://www12.plala.or...
.. _縮約をもう一度考える:
.. _テンソルとベクトル空間: http://www12.plala.or.jp/ksp/...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorManup@@
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