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#rst2hooktail_source
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テンソルの主軸2
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ここまでに勉強したことを復習しておきます。 テンソルの主軸...
<tex>
T_{ij}A_{i} = \lambda A_{j} \tag{1}
</tex>
ただし、座標系は正規直交座標系を考えています。式 $(1)$ で...
この記事では、固有ベクトルや主方向についてもう少し考察を...
対称テンソルの固有ベクトルは直交する
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
二階の対称テンソル $T_{ij}$ を考えます。
<tex>
T_{ij} = T_{ji} \tag{2}
</tex>
まず、 $T_{ij}$ の相異なる二つの固有値を $\lambda_{p},\la...
<tex>
T_{ij}A_{j}^{p} = \lambda_{p}A_{i}^{p} \tag{3}
</tex>
<tex>
T_{ij}A_{j}^{q} = \lambda_{p}A_{i}^{q} \tag{4}
</tex>
式 $(3)$ の両辺に $A_{i}^{q}$ 、式 $(4)$ の両辺に $A_{i}^...
<tex>
T_{ij}A_{j}^{p}A_{i}^{q} - T_{ij}A_{j}^{q}A_{i}^{p} = (\...
</tex>
ここで、左辺は式 $(2)$ より零となりますが、右辺では $\lam...
.. important::
対称テンソルの固有ベクトルは直交します。
テンソルの主軸変換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
対称テンソルの主方向は互いに直交することが分かりましたの...
最初に考えた $xyz$ 座標系でテンソルが $\left( \begin{arra...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{12} & T_{22} & T_{23} \\
T_{13} & T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \ \ \ \ \longmapsto
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}^{*} \\
A_{2}^{*} \\
A_{3}^{*} \\
\end{array}
\right)
</tex>
このような座標変換を、 *主軸変換* と呼びます。テンソルは...
.. figure:: Joh-TensorTrans1.gif
図にうまく書けませんでしたが、固有値が分数や負数なら、縮...
固有方程式が重解を持つ場合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ここまで、固有方程式が重解を持たず、 $3$ つの相異なる固有...
実際に計算してみればすぐに確認できることですが、固有値の...
少し面倒なのは、固有値方程式が二次方程式に縮退してしまう...
.. image:: Joh-TensorTrans2.gif
例えば、先ほどの図を一部再利用し、 $z^{*}$ 方向の固有値が...
.. _テンソルの主軸1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorPrincipalAxis2@@
終了行:
#rst2hooktail_source
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テンソルの主軸2
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ここまでに勉強したことを復習しておきます。 テンソルの主軸...
<tex>
T_{ij}A_{i} = \lambda A_{j} \tag{1}
</tex>
ただし、座標系は正規直交座標系を考えています。式 $(1)$ で...
この記事では、固有ベクトルや主方向についてもう少し考察を...
対称テンソルの固有ベクトルは直交する
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二階の対称テンソル $T_{ij}$ を考えます。
<tex>
T_{ij} = T_{ji} \tag{2}
</tex>
まず、 $T_{ij}$ の相異なる二つの固有値を $\lambda_{p},\la...
<tex>
T_{ij}A_{j}^{p} = \lambda_{p}A_{i}^{p} \tag{3}
</tex>
<tex>
T_{ij}A_{j}^{q} = \lambda_{p}A_{i}^{q} \tag{4}
</tex>
式 $(3)$ の両辺に $A_{i}^{q}$ 、式 $(4)$ の両辺に $A_{i}^...
<tex>
T_{ij}A_{j}^{p}A_{i}^{q} - T_{ij}A_{j}^{q}A_{i}^{p} = (\...
</tex>
ここで、左辺は式 $(2)$ より零となりますが、右辺では $\lam...
.. important::
対称テンソルの固有ベクトルは直交します。
テンソルの主軸変換
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
対称テンソルの主方向は互いに直交することが分かりましたの...
最初に考えた $xyz$ 座標系でテンソルが $\left( \begin{arra...
<tex>
\left(
\begin{array}{ccc}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{12} & T_{22} & T_{23} \\
T_{13} & T_{23} & T_{33} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2} \\
A_{3} \\
\end{array}
\right) \ \ \ \ \longmapsto
\left(
\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{3} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A_{1}^{*} \\
A_{2}^{*} \\
A_{3}^{*} \\
\end{array}
\right)
</tex>
このような座標変換を、 *主軸変換* と呼びます。テンソルは...
.. figure:: Joh-TensorTrans1.gif
図にうまく書けませんでしたが、固有値が分数や負数なら、縮...
固有方程式が重解を持つ場合
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...
ここまで、固有方程式が重解を持たず、 $3$ つの相異なる固有...
実際に計算してみればすぐに確認できることですが、固有値の...
少し面倒なのは、固有値方程式が二次方程式に縮退してしまう...
.. image:: Joh-TensorTrans2.gif
例えば、先ほどの図を一部再利用し、 $z^{*}$ 方向の固有値が...
.. _テンソルの主軸1: http://www12.plala.or.jp/ksp/vector...
@@author:Joh@@
@@accept: 2006-08-25@@
@@category: ベクトル解析@@
@@id: TensorPrincipalAxis2@@
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